Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
Chuyên đề : NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM :
* Đònh nghóa : Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu : F’(x) = f(x) , ∀x∈K

* Đònh lý :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C (C là hằng số) cũng là một ngun hàm của f(x)
trên K.
. Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có 1 nguyên hàm là F(x) thì nó có vô số nguyên hàm, tất cả các nguyên hàm
đều có dạng F(x) + C và còn gọi là họ các nguyên hàm của hàm số f(x), ký hiệu :
∫
f(x)dx
Vậy : F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) thì :
= +
∫
f(x)dx F(x) C
II. SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM :
Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
III. CÁC TÍNH CHẤT :
.
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
.
=
∫ ∫
k.f(x)dx k f(x)dx
(k ≠ 0)

)
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+
+
+
1
x
ln x C+
1
ax b+
1
ln ax b C
a
+ +
x
a
ln
x
a
C
a

a
− + +
cosx sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tanx + C
2
1
cos ( )ax b+
+ +
1
tan( )ax b C
a
2
1
sin x
-cotx + C
2
1
sin ( )ax b+
− + +
1
cot( )ax b C
a
'

1)
2
1 2
( )
x
f x
x
x
−
= +
2)
( )
2
1
( )
1
f x
x
=
+
3)
( )
2
1
4
f x
x
=
−
4)

( )
1
( )
1
f x
x x
=
+
8)
( )
2 1
( )
1
x
f x
x x
+
=
+
9)
2
1
( )
3 2
f x
x x
=
− +
10)
( )

=
3
( ) cosf x x
15)
1
( )
1
f x
x x
=
+ −

16)
2
2x 5
f(x)
x 4x 3
−
=
− +
Ví dụ: Tính
1)
1
2
1
I dx
x 4
=
−
∫

Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
Ph ương pháp 2 : Phương pháp đổi biến số
Định lí cơ bản:
Cách thực hiện: Tính
[ ]
f u(x) u'(x)dx
∫
bằng pp đổi biến số
Bước 1: Đặt
u u(x) du u'(x)dx= ⇒ =
(Vi phân của u)
Bước 2: Tính
[ ] [ ]
f u(x) u'(x)dx f(u)du F(u) C F u(x) C= = + = +
∫ ∫

Ví dụ: Tính
1)
( )
2
I xcos 3 x dx= −
∫
2)
=
∫
2
sinx
I dx
cos x
Kỹ thuật: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân

dx
x
∫
6)
tanx
2
e
dx
cos x
∫
7)
dx
xlnx
∫
8)
dx
sinx
∫
9)
4
dx
cos x
∫
4
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
Ph ương pháp 3 : Phương pháp tính ngun hàm từng phần
Định lí cơ bản:
Dạng thu gọn:

udv uv vdu

I x 1 sinxdx= +
∫
2)
( )
2x
2
I x 2 e dx= −
∫
3)
3
I xlnxdx=
∫
4)
4
I lnxdx=
∫
5)
( )
2
I x 1 lnxdx= +
∫
6)
x
6
I e cosxdx=
∫
5
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên

thì:
( )
b
a
cdx c b a= −
∫
• Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) 0f x ≥
thì
( ) 0
b
a
f x dx ≥
∫
• Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
[ ]
( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈
thì

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫

a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
• Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và c là một hằng số thì

= +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
cb
c
b
a a
f x dx f x dx f x dx
• Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên
[ ]
;a b
cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa là

( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= = =
∫ ∫ ∫
6
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)

5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2

dx
e 1+
∫
. 12)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
13)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
14)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π

1
1 x
dx
x x
−
+
∫Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx

1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện

'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=
∫
2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =
∫
7
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
[ ]
( )

=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
2
2 3

+
∫
7)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
8)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x

9)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π

sin21
π
dx
x
x
13)
3
0
2sin2 3sin
6cos 2
x x
dx
x
π
+
−
∫
14)
1
0
1
x
dx
x+
∫
15)
1
1
0
x

x
π
π
∫
18)
1
3 2ln
1 2ln
e
x
dx
x x
−
+
∫
8
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2:
[ ]
( '(( )) )
b
a
I f x dx f t t dt

; Giải pt
( )
t a
ϕ
=
tìm
α
)
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx−
∫

0
x
dx
1 x−
∫
6)
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫

7)
( )
1
3
3
4 4
dx
x x
−
−
+ + +
∫
8)
2
2 2
0
3sin cos
dx

1
x
dx
x+
∫
3)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫

4)
2
2 3
0
1x x dx+
∫
5)
∫
+
32
5

b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a

∫
3)
( )
3
2
2
ln x x dx−
∫
4)
2
3
1
lnx
dx
x
∫
5)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
6)
2
2
0
xcos xdx
π

1
(xlnx) dx
∫
12)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
13)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
14)
∫
e
dx
x
x
1
ln
15)
∫
+
2

∫
19)
ln8
ln3
1
x
x
xe
dx
e +
∫
20)
2
0
1 sin
1 cos
x
x
e dx
x
π
+
+
∫

IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :
11
1
C
y

y
x 1
y 0
x 0
− −

=

−

=


=


2) (H
2
):
2
2
y x
x y

=


= −



xyC
5) (H
5
):





=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
6)
( )
2
6
4
:
1
6
3
y x
H

:)(
2
1
2
1







=∆
=∆
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1

=
ay
=
by
=
O
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp
Công thức:
[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π

[ ]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π

a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by
=
ay
=