NGUYÊN HÀM

 Dạng 39. Nguyên hàm hàm đa thức, phân
thức

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x2 +
A.

C.

∫

f ( x) dx =x3 +

x2
+C.
4

B.

∫

x2
f ( x) dx =x +
+C.
2

D.

3


+
+C.
∫ 
2÷
4

5

 x3

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x  − 1÷ .
 18 
2

6

A. ∫

6

 x3

f ( x) dx =  − 1÷ + C .
 18 

B.

∫

 x3

− 1.
18

Câu 3. Cho f ′ ( x) = 3( x + 2) , f ( 0) = 8. Hàm số y = f ( x) là hàm số nào trong các
2

hàm sau đây?
A. f ( x) = 2( x + 2) − 8.
3

B. f ( x) = ( x + 2) + 4 .
2

1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


C. f ( x) = 6( x + 2) − 4 .

D. f ( x) = ( x + 2) .
3

Lời giải tham khảo
Sử dụng f ( x) = ∫ f ′ ( x) dx .
Giả thiết f ( 0) = 8 giúp ta tìm được hằng số C .
3
2
Câu 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số F ( x) = mx + ( 3m+ 2) x − 4x + 3 là


.
x3
1

+C.

B.

∫ f ( x) dx = x

+C.

D.

∫ f ( x) dx = ln

4

+C.

3

x +C.

Lời giải tham khảo
I =∫

1
x−2
−1 −2

x−1

B.

1

∫ f (x)dx = 1+ (x − 1)

2

+C .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


C.

∫

f (x)dx =

x2
+ ln x − 1 + C .
2

D.

∫ f (x)dx = x


x− 2
+C.
x− 1
x− 1

∫ f (x)dx = ln x − 2 + C .

1
.
x − 3x + 2
2

x+ 2

B.

∫ f (x)dx = ln x + 1 + C .

D.

∫ f (x)dx = ln x + 2 + C .

x+ 1

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

1 5
− x2 − + .
3
x 3

C.

x3
1 5
− x2 − − .
3
x 3

D.

x3
1
− x2 − − 9 .
3
x

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

C. y =

x2
.
x+ 1

D. y =

x2 + x − 1
.
x+ 1

x(2 + x)
?
(x + 1)2

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................


........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ax + a2 + 3
Câu 11. Tìm giá trị của tham số a để hàm số F(x) =
là một nguyên hàm
x− 2
của hàm số f (x) =

−6

( x − 2)

2


Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. ∫ f ( x) dx = − ln x +
C.

1
+C.
x

1

∫ f ( x) dx = ln x + x + C .

x−1
.
x2
1

B.

∫ f ( x) dx = ln x − x + C .

D.

∫ f ( x) dx = − ln x − x + C .

1

. ..........................................................


1

∫ f (x)dx = 18 ( 3x − 1)

5

+C.

. ..........................................................

1

B.

∫ f (x)dx = 18 ( 3x − 1)

D.

∫ f (x)dx = 6 ( 3x − 1)

1

6

6

+C.

+C.


Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 +
A. ∫
C.

∫

x3
4 3
f ( x) dx = + 3ln x −
x +C.
3
3

B.

x3
4 3
+ 3ln x +
x +C.
3
3

D.

f ( x) dx =

3
−2 x.
x



3
− 2 x ÷dx = ∫ x2dx + ∫ dx − 2∫ xdx
x
x

1

3

1
1
4
= ∫ x dx + 3∫ dx − 2∫ x2dx = x3 + 3ln x − x2 + C .
x
3
3
2

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 1+ x2 .
A. ∫ f ( x) dx =

3
1+ x2
2

)

3
2

1
f ( x) dx = 1+ x2
3

∫

f ( x) dx =

(

1
1− x2
3

(

)

3
2

)

3
2

+C.

+C.


3
2

+C.

Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x+2 .
A. ∫ f ( x) dx =
C.

2
( 3x + 2) 3x+2 + C .
9
9

∫ f (x)dx = 2 ( 3x + 2)

3x+2 + C .

2

B.

∫ f ( x) dx = 3 ( 3x + 2)

D.

∫ f (x)dx = 2 ( 3x + 2)

3


(

x2
f ( x) dx =
2

1+ x2

(

)

2

1+ x2

)

+C.
2

B.

+C.

(

1+ x2

)

Lời giải tham khảo
2
∫ x 1+ x dx =

1
x2
2
2
1
+
x
d
1
+
x
=
2∫
2

(

)

(

1+ x2

)

2


Lời giải tham khảo

∫ f ( x) dx = ∫
⇒ ∫ f ( x) dx =

3

3x + 1dx = ∫ ( 3x + 1)

1
3

d( 3x + 1)
3

=

1
3

1
( 3x + 1) d( 3x + 1)
3∫

3

4
3



B.

∫ f ( x) dx = − 5

D.

∫ f ( x) dx = 5

33

x5 + 14ln 1− x + C .

x5 + 14ln 1− x + C .

Lời giải tham khảo
 23
3 2
14 
1 
33 5
x
+
dx
=
dx
=
x − 14ln 1− x + C .
 x + 14.
÷

.

B.

∫ f ( x) dx =2ln

D.

∫ f ( x) dx =2

x + 1 + C.

x − 2ln x + 1 + C.

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................

. nào sau đây là đúng?

)

2x − 1 + 4 + C.

)

2x − 1 + 4 + C.

(

2x − 1 + 4 + C.

)

(

2x − 1 + 4 + C.

)

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................


x+

1 
÷ + C.
x

1
x+ x

.
1

B.

∫ f ( x) dx =2ln

D.

∫ f ( x) dx =2ln x +

x+1

+ C.

x + C.

. ..........................................................

........................................................



2
x + x+ 1

+C.

1
2x + x x + x

.
2

B.

∫ f ( x) dx = −

D.

∫ f ( x) dx = − 2

x+1

+C.

2
x+x

+C.

. ..........................................................

∫ f ( x) dx = 2

x2 + k +

x
ln x + x2 + k + C .
2
10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


k

C.

∫ f ( x) dx = 2 ln x +

D.

∫ f ( x) dx =

1
x +k
2

x2 + k + C .
+C.

. ..........................................................


2x - 1 là một nguyên hàm của hàm số

1

trên khoảng  ; +∞ ÷. Tính S = a + b + c .
2


A. S = 3 .

B. S = 0 .

C. S = 4 .

D. S = 2 .

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................


. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................
11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 27. Trong các hàm số sau:

( I)

f ( x) = x2 + 1

( III )

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
2


1 
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =  3 x +
÷.
x


A. ∫
C.

3
x
3

∫ f ( x) dx = 5 x

3

x2 + ln x +

12 5 6
x +C.
5

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................

C.

∫ f ( x) dx =

a2 + x2 + C .

D.

∫ f ( x) dx = ln

2

+C .

a2 + x2 + C .

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................


4

D.

∫ f ( x) dx = 2 +

A.

∫ f ( x) dx = 2 −

C.

∫ f ( x) dx = 2 −

x

sin 2x
+C.
4

x

sin 2x
+C.
2

Lời giải tham khảo

∫ sin


∫ f ( x) dx = − cos(2x + 1) + C .

Lời giải tham khảo
1

1

∫ sin ( 2x + 1) dx = 2 ∫ sin ( 2x + 1) d( 2x + 1) = − 2 cos( 2x + 1) + C .
π 
Câu 32. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 1+ sin 3x thoả mãn F  ÷ = 0 .
 6
A. F(x) = x +

1
π
cos3x − .
3
6

1
π
C. F(x) = x − cos3x − .
3
6

1
π
B. F(x) = − cos3x − .
3
6

4
3
2
2

x4
x3
1
1
C. F ( x) = 2 − 3 − x + .cos2x + .
4
3
2
2

B. F ( x) = 2

x4
x3
1
1
+ 3 + x + .cos2x + .
4
3
2
2

x4
x3
1

2
2

Câu 34. Cho f ′ ( x) = 3 − 5sin x và f ( 0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f ( x) = 3x + 5cos x + 2 .

B. f ( π ) = 3π .

 π  3π
C. f  ÷ =
.
 2 2

D. f ( x) = 3x − 5cos x .
Lời giải tham khảo

f ( x) = ∫ f ' ( x) dx = 3x + 5cos x + C ; f (0) = 10 ⇔ C = 5
Vậy f ( x) = 3x + 5cos x + 5 ⇒ f ( π ) = 3π .
Câu 35. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. ∫ cos xdx = sin x + C .
C.

∫ e dx = e
x

x

+C.

B.

2
Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1+ cot x .

A.

∫ f ( x) dx = tan x + C .

B.

∫ f ( x) dx = − tan x + C .

C.

∫ f ( x) dx = cot x + C .

D.

∫ f ( x) dx = − cot x + C .

Lời giải tham khảo
1

∫ ( 1+ cot x) dx = ∫ sin
2

2

x

dx = − cot x + C


∫ f ( x) dx = 4 cos2x − 16 sin8x + C .

1

1

B.

∫ f ( x) dx = 4 sin 2x − 16 cos8x + C .

D.

∫ f ( x) dx = − 4 cos2x + 16 cos8x + C .

1

1

Lời giải tham khảo
1

1

1

∫ f (x)dx = 2 ∫ ( sin 8x − sin 2x) dx = 4 cos2x − 16 cos8x + C .
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A.


C.

2

∫ f ( x) dx = 4 sin x + C.
Lời giải tham khảo

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

16


Đặt t =

1
.
x

Câu 40. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = −
A. – tan x .

1
thoả mãn F ( 0) = 1.
cos2 x

C. 1+ tan x .

B. 1– tan x .

D. tan x − 1.


∫ f ( x) dx =x tan x- ln cosx + C .

C.

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 42. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. ∫ f ( x) dx =
C.

1

∫ f ( x) dx = 3cos

3

1

3

x

x
−

−

1
+C.
cos x

1
+C.
cos2 x

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


. ..........................................................



D.

∫ f ( x) dx = cot x − tan x + C.

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

π

1



π

B.

∫ f ( x) dx = 2 tan  x − 4 ÷ + C.

D.

∫ f ( x) dx = 2 tan  x − 4 ÷ + C.

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................



1
B. A = B = − .
2

1
1
C. A = − , B = .
2
2

D. A =

1
1
,B = − .
2
2

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................


∫ f ( x ) dx =

1 + x 2 cos 1 + x 2 − sin 1 + x 2 + C.

1 + x 2 cos 1 + x 2 − sin 1 + x 2 + C .

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 47. Xét các mệnh sau đây:
19


. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

x 2
2
Câu 48. Cho hàm số F ( x) = e (atan x + btan x + c) là một nguyên hàm của

 π π
f ( x) = ex 2 tan3 x trên khoản  − ; ÷ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2 2

2
2

1
÷.
2÷



2
2
x 2 1
2
tan x −
÷.
D. F ( x) = e  tan x −
2
2 ÷
2

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................
20


∫ f ( x) dx = − tan x + x + C .

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

( )

2
Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = xcos x .

A.

1

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

2
Câu 51. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin x .

A.

1

∫ f ( x ) dx = 2 x

C. ∫ f ( x ) dx =

2

1
− x sin 2 x − cos 2 x + C . B.
2

cos 2 x + C .
2
21

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................

........................................................

dx =

1 ax+b
e +C.
a

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 53. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2x + cos x .
A. ∫ f ( x) dx = cos2x − sin x + C .
C.


........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

Câu 54. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 +

1
− sin 2x .
x

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

22


A.

C.

x3
1
+ ln | x | + cos 2 x + C .
3
2

∫

f ( x ) dx =


. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................

........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

23

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Dạng 42. Nguyên hàm hàm mũ – lôgarit

Câu 55. Mệnh đề nào sau đây là sai?
1


∫e

x

dx = ∫ e− xdx = −e− x + C ⇒ Đáp án B đúng.

∫ −e

dx = − ∫ e− xdx =e− x + C ⇒ Đáp án C đúng.

−x

1

∫−e

x

dx = − ∫

1
dx = − ∫ e− xdx = e− x + C ⇒ Đáp án D sai.
ex

x
Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = x.e .
x
x
A. ∫ f ( x) dx =x.e – e + C .


+ Đặt u = x ⇒ du = dx và dv = ex .dx ⇒ v = ex
+ Vậy

∫ f (x).dx = x.e − ∫ e .dx = x.e
x

x

x

− ex + C

Câu 57. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2xex .
2

A. ∫ f ( x) dx =2ex + C .
2

C.

∫

f ( x) dx =ex + C .
2

B.
D.

∫ f ( x) dx =2x e

1
.
e +1
x

B.

∫ f ( x ) dx = − x + ln ( e

D.

∫ f ( x ) dx = x − ln ( e

x

x

)

+1 + C .

+ 1) + C .

Lời giải tham khảo
Đặt t = ex + 1.
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. ∫ f ( x ) dx = 2e
C.

∫

+C .

Lời giải tham khảo
Đặt t = x .
Câu 60. Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?

( I)

òx

( III )

òe

xdx
1
= ln ( x 2 + 4) + C
+4 2

( II )

2

2cos x

1

ò cot xdx = - sin

2

∫e

2cos x

sin xdx = −

(

)

1 2cos x
1
e d( cos x) = − e2cos x + C .
∫
2
2

25

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất