Trường THPT Lai Vung 2
1

Giáo án đại số 12: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
(Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản:
Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các
kiến thức sau :
1) Bảng các nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm
của những
hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của
những hàm số hợp
đơn giản
Nguyên hàm
của những hàm
số hợp
Trường THPT Lai Vung 2
2
Cxdx 


 
1
1



aC
a
a
dxa
x
x

Cxxdx 

sincos
Cxxdx 

cossin
Cxdx
x


tan
cos
1
2

Cxdx
x


cot
sin










C
bax
a
dxbax
 
0ln
1



xCbax
a
b
ax
dx

Ce
a
dxe
baxbax



tan
1
cos
1
2

 
 
Cbax
a
dx
bax



cot
1
sin
1
2

Cudu 


 
1
1
1


a
dxa
u
u
Cuudu 

sincos
Cuudu 

cossin
Cudu
u


tan
cos
1
2

Cudu
u


cot
sin
1
2

Trường THPT Lai Vung 2
3

( k là hằng số)

[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
  
  

Trường THPT Lai Vung 2
4

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f c dx f x dx
 
  
( với a < c < b )
3) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2

2
a b a b a b
   
*
 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
    
4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
*
1
n
n
a a

và
m
n m
n
a a


Trường THPT Lai Vung 2
5
*
. .
n n n


 




*
 
. .
a b a b

 

;
a a
b b



 

 
 

*


.
a a



B) Ví dụ và bài tập:
I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các
tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp
từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý
Trường THPT Lai Vung 2
6
rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ
sau:
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) I
1
=
1
3
0
(3 1)
x dx



b) I
2
=
2
2
0
x
e dx
 

4
4
0
1 (3 1) 1 5
. 3 1 ( 1)
3 4 12 4
x 
 
    
 

Vậy: I
1
=
5
4

b) I
2
=
2
2
0
x
e dx
 

=
2
2


=
0
1
1
3. ln 2 1
2
x

 

=
3
(ln1 ln3)
2
 
Vậy: I
3
=
3
ln3
2

Ví dụ 2: Tính các tích phân
Trường THPT Lai Vung 2
7
a) J
1
=
 

2
x x
dx
x



Giải:
a) Ta có: (x
2
+ 1)
2
= (x
2
)
2
+2.x
2
.1 + 1
2
= x
4
+ 2x
2
+ 1
suy ra J
1
=
 
2


Vậy: J
1
=
206
15

b) Ta có :
2 3 1
2 7.
2 2
x
x x

  
 

suy ra J
2
=
1
0
2 3
2
x
dx
x




x

 
    

suy ra J
3
=
 
8
8
1/3 4/3
1
1
3
2 2
4
x dx x x
 
  
 
 

=
4/3
3 3
8 2 8 ( 2)
4 4
 
   

0
cos 2
xdx



c) K
3
=
1
2 1
0
1
x
e dx




Giải:
a) Ta có: sin3x.cosx =
 
1
sin4 sin2
2
x x

suy ra K
1
=

b) K
2
=
8
2
0
cos 2
xdx



Ta có: cos
2
2x =
1 cos4
2
x


suy ra K
2
=
1
2
8
0
(1 cos4 )
x dx

 


 

 
 

Vậy: K
2
=
1
1
8 2

 

 
 

c) K
3
=
1
2 1
0
1
x
e dx




0
2
( 1) ( 1)
x x
e dx e dx
 
  
 
=
1
1
2
2 1 2 1
1
0
2
1 1
2 2
x x
e x e x
 
   
  
   
   

=
0 1
1 1 1
0

 
  Vậy K
3
=
1
1 1
1
2 2
e e

  Các bài tập tự luyện:
Tính các tích phân:
1) L =


1
0
24
)23( dxxx
KQ: L =
5
6

2) I =

4ln103



4) K =
dx
x
xx


2
1
2
23
52
KQ: K = – 2
5) M =

12
0
5sin.7sin

xdxx
KQ: M =
8
1

Trường THPT Lai Vung 2
10
6) N =

KQ: 1
4



9) R =
/4
2 2
/6
sin .cos
dx
x x



KQ:
2 3
3

II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I =
( )
b
a
f x dx


1) Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm
hai cận mới.

a) I
1
=
2
2
0
4
x dx



+ Đặt x = 2sint , t
;
2 2
 
 
 
 
 
(u(t) = 2sint)

dx = 2costdt
+ Cận mới:
x= 0

2sint = 0

sint = 0

t = 0

2
2
0
1 sin .cot
t dt



=
4
2
2
0
cos .cost
t dt


=4
2
2
0
cos
tdt



I
1
= 2
2

là 3,141592654.
Trường THPT Lai Vung 2
12
+ Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK
Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính
2 2
0
a
a x dx


, đặt
x = asint , t
;
2 2
 
 
 
 
 
(u(t) = asint)

dx = acostdt rồi thực hiện
các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ.

b) I
2
=
3
2


tant = 1

t =
4


+ I
2
=
3
2
0
1
9
dx
x

=
2
4
2
0
3(1 tan )
9 9tan
t
dt
t




=
1
3
.
4


Vậy I
2
=
12
Chú ý:
Trường THPT Lai Vung 2
13
Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích
12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính
2 2
0
1
a
dx
a x

, đặt x = a.tant ,
t
;

2
2
1
x
xe dx


b) J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x



c) J
3
=
1
3 4 5
0
( 1)
x x dx




1
=
2
2
1
x
xe dx


+ Đặt u = x
2


du = 2xdx

xdx =
1
2
du
+ Đổi cận: x = 1

u = 1
2
= 1; x = 2

u = 2
2
= 4 (

= 1,

( e
4
– e
1
) =
1
2
( e
4
– e)
+ Vậy J
1
=
1
2
( e
4
– e)
b) J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x




1 ln
e
x
dx
x


=
2
1
u.2
udu

=
2
3
2
3
1
u =
2
3
3 3
( 2) 1

) =
2
(2 2 1)
3



+ Đặt u = x
4
– 1

du = 4x
3
dx

x
3
dx =
1
4
du
+ Đổi cận: x = 0

u = 0 – 1 = –1; x = 1

u = 1
4
– 1 = 0
+ J
3
=
1
3 4 5
0
( 1)
x x dx

d) J
4
=
2
2
0
4 .
x xdx



+ Đặt u =
2
4
x


u
2
= 4 – x
2


2udu = – 2xdx

xdx = –udu
+ Đổi cận: x = 0

u =
2

u
du


=
1
3
2
3
0
u
=
8
3

+ Vậy J
4
=
8
3

Trường THPT Lai Vung 2
16
e) J
5
=
/2
4
0
cos

dx
x



=
2
4
1
du
u

=
2
4
1
u du


=
1
3

2
3
1
u

=
7

23 3
.8
KQ: J = –4
c) K =
dxxe
x


1
0

2
KQ: K =
e
e
2
1


d) L =


e
x
dxx
1
)ln3(
KQ: L =
8
13

h) P =
1
2010
0
( 1)
x x dx


KQ: P =
1
4046132

2) Tính các tích phân:
a) I
1
=
2
0
(2sin 3)cos
x xdx



KQ: 4
b) J
1
=
2
2
1

dx
x



KQ: 16/3
e) L
1
=
2
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x


KQ: 116/135
g) N
1
=
2
1
1
x
x
e
dx

thức
Q(x):
sinkx
hay coskx

P(x): Đa
thức
Q(x):e
kx
P(x): Đa thức

Q(x):ln(ax+b)

P(x): Đa thức

Q(x):
2
1
sin
x
hay
2
1
cos
x

Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là


b) I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx



Trường THPT Lai Vung 2
19
c) I
3
=
3
2
2 ln( 1)
x x dx



Giải:
a) I
1
=
/4

–
/4
0
sin 2
xdx


=
/4
0
1
sin 0 cos2
4 2 2
x

 
 
=
1
(cos cos0)
4 2 2
 
  =
1
4 2



Vậy: I
1

 I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx


=
1
2
0
1
( 1)
2
x
x e

–
1
2
0
1
2
x
e dx


e


Trường THPT Lai Vung 2
20
c) I
3
=
3
2
2 ln( 1)
x x dx



 Đặt: u = ln(x – 1)

du =
1
1
x

dx;
dv = 2xdx

v = x
2

 I
3

 



= 9ln2 –
3
2
2
( ln 1)
2
x
x x   = 8ln2 –
7
2

Vậy: I
3
= 8ln2 –
7
2

 Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu
Đặt: u = ln(x – 1)

du =
1
1
x

dx;

b) J
2
=
2
2
1
ln
xdx
x


Giải:
a) J
1
=

4
0
2
cos

x
xdx

 Đặt: u = x

du = dx;
dv =
2
1

=
/4
0
tan 0 ln cos
4 4
x

 
  =
2
ln
4 2

 =
ln 2
4


Vậy: J
1
=
ln 2
4


Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm tan ln cos
xdx x c
  



x
dx

v =
1
x

(HD:
2
2
1
x
x


nên có 1 nguyên
hàm là
1
1
1
x
x

 

)
 J
2
=
2

=
1 1
ln 2 ( 1)
2 2
  
=
1
(1 ln 2)
2

Vậy: J
2
=
1
(1 ln 2)
2

 Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I
1
=
1
1
( 3)
x
x e dx





x
xdx
KQ: M =
4

– ln
2

d) I
4
=
2
1
2ln
e
x
dx
x

KQ: N = 2(1 –
e
2
)

2) Tính các tích phân:
a) K
1
=
2


1
0
dxe
x
KQ: J = 2
d) K
4
=
2
1
ln
e
x xdx

KQ:
3
2 1
9
e


IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể
tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y
= f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính
bởi: S =
( )

2
0
1
x dx



 Phương trình: x
2
-1= 0

x =

1 , nghiệm x = 1

[0;2]
 Vậy S =
1
2
0
( 1)
x dx


+
2
2
1
( 1)
x dx

2
+ x –
2 = 0

x = 1 và x = -2
 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx


thì S =
1
2
2
2
x x dx

 


 Vậy S =
1
2
2
2
x x dx

 

f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính
bởi: V =
2
( )
b
a
f x dx


(3)
Ví dụ 10:
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x
2
và y = 0.
Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó
khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
 Phương trình 2x – x
2
= 0

x = 0 và x = 2
 Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V =
2
( )
b
a
f x dx



.
Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó
khi nó quay quanh trục Ox.
Giải:
 Phương trình – x
2
= x
3


x = 0 và x = –1