MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN.
4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có
thứ tự bộ phận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN
15
2.1 Không gian mêtric nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric
nón có thứ tự bộ phận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề được quan tâm
nghiên cứu trong giải tích, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, lý

Chương 1: Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có
thứ tự bộ phận.
Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ
đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận.
Chương 2: Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón
có thứ tự bộ phận.
Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ
đôi trong không gian mêtric nón.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự chỉ bảo tận tình của PGS.TS
Đinh Huy Hoàng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Giải
tích, khoa Toán học và phòng Đào tạo Sau Đại học của trường Đại học
Vinh đã giúp đỡ chúng tôi có được điều kiện thuận lợi nhất .
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè và các học viên
lớp Cao học 19 - Giải tích.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả


CHƯƠNG 1

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN.

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ
đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận.

1.1

được gọi là một mêtric (hay khoảng cách) trên X.
Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và
ký hiệu là (X, d) hoặc X .
1.1.5. Định nghĩa. ([4]) Cho không gian mêtric (X, d) và tập con M của
X. Ta xác định hàm dM : M × M → d cho bởi dM (x, y) = d(x, y), với
mọi x, y ∈ M . Khi đó dM là một mêtric trên M . Ta gọi không gian mêtric
(M, dM ) là không gian con của không gian (X, d).
Mêtric dM được gọi là mêtric cảm sinh bởi d trên M .
1.1.6. Định nghĩa. ([4]) Dãy {xn } trong không gian mêtric (X, d) được
gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu d(x, xn ) → 0 khi n → ∞ và ký hiệu

xn → x hoặc lim xn = x.
n→∞

1.1.7. Nhận xét.
1) Trong không gian mêtric (X, d) mọi dãy hội tụ về một điểm duy
nhất.
2) Nếu xn → x và yn → y thì d(xn , yn ) → d(x, y).
1.1.8. Định nghĩa. ([4]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric, dãy xn ⊂ X
được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu lim d(xn , xm ) = 0.
n,m→∞

Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu
mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
1.1.9. Định nghĩa. ([4]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric và hàm
f : X → R. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu với mỗi

r ∈ R và tập x ∈ X : f (x) ≤ r là đóng trong X .
1.1.10. Định lý. ([4]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric và hàm f : X →
R. Khi đó, f là nửa liên tục dưới trên X khi và chỉ khi

lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự
bộ phận.
1.2.1 Định nghĩa. ([3]) Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ
phận và ánh xạ F : X × X → X . Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp nếu
với x, y ∈ X ta có

x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1 , y) ≤ F (x2 , y),
y1 , y2 ∈ Y, y2 ≤ y1 ⇒ F (x, y1 ) ≤ F (x, y2 ).
1.2.2 Định nghĩa. ([3]) Ta gọi phần tử (x, y) ∈ X 2 là điểm bất động bộ
đôi của ánh xạ F : X × X → X nếu F (x, y) = x và F (y, x) = y.
Nếu (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận thì không gian tích X 2
có thứ tự bộ phận được xác định như sau

(x, y), (u, v) ∈ X × X, (u, v) ≤ (x, y) ⇔ x ≥ u, y ≤ v.


7

1.2.3. Ví dụ.
1) Giả sử p : R × R → R là hàm cho bởi công thức p(x, y) = x với mọi
(x, y) ∈ R2 . Khi đó, nếu trên R ta xét quan hệ ≤ thông thường thì p có
tính đơn điệu hỗn hợp và mọi điểm (x, y) ∈ R2 đều là điểm bất động bộ
đôi của p.
Chứng minh. Với mọi x1 , x2 ∈ R, x1 ≤ x2 ta có

p(x1 , y) = x1 ≤ x2 = p(x2 , y), ∀y ∈ R
và với mọi y1 , y2 ∈ R, y1 ≤ y2 ta có:

p(x, y1 ) = x = p(x, y2 ), ∀y ∈ R.
Do đó, p có tính đơn điệu hỗn hợp.






d(x, F (x, y))
2
+
d(x,
u)
+
d(y,
v)
M ((x, y), (u, v)) = min
2 + d(x, F (x, y)) + d(y, F (y, x)) 




d(u, F (u, v))
2 + d(x, u) + d(y, v)
Khi đó, nếu


8

1) Tồn tại α, β > 0 với α + β < 1 sao cho

β
d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αM ((x, y), (u, v)) + [d(x, u) + d(y, v)]

yn+1 = F n+1 (y0 , x0 ) = F (F n (y0 , x0 ), F n (xn , yn )).
Ta dễ dàng chứng minh được

x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn+1 ≤ ...
và

y0 ≥ y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn+1 ≥ ...


9

với mọi n ∈ N∗ thì

β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )
) [
]
1−α
2

(1.3)

β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )
) [
].
1−α
2

(1.4)

d(xn+1 , xn ) ≤ (

2

β [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
)
.
1−α
2

Tương tự

d(y2 , y1 ) = d(F (y1 , x1 ), F (y0 , x0 )) = d(F (y0 , x0 ), F (y1 , x1 ))
[d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
≤ αM ((y0 , x0 ), (y1 , x1 )) + β
2
2 + d(y0 , F (y0 , x0 )) + d(x0 , F (x0 , y0 ))
≤ αd(y1 , F (y1 , x1 ))
2 + d(y0 , y1 ) + d(x0 , x1 )
[d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
+β
2
[d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
= αd(y1 , y2 ) + β
.
2


10

Từ đó suy ra


2
β n [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
)
.
≤(
1−α
2
≤ αM ((xn+1 , yn+1 ), (xn , yn )) + β

Chứng minh tương tự, ta có

d(yn+2 , yn+1 ) ≤ (

β n+1 [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
)
.
1−α
2

β
< 1 và từ (1.3), (1.4) ta suy ra {xn }, {yn } là hai dãy Cauchy.
1−α
Mặt khác, vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, nên tồn tại (x, y) ∈
X × X sao cho
Vì 0

Do đó, F (y, x) = y.
✷
1.2.5. Định lý. ([8]) Giả sử (x, ≤) là một tập sắp xếp thứ tự bộ phận, d
là một mêtric trên X sao cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và X có
các tính chất sau:
i) Nếu dãy không giảm {xn } trong X hội tụ tới x ∈ X thì xn ≤ x, ∀n;
ii) Nếu dãy không tăng {yn } trong X hội tụ tới y ∈ X thì yn ≥ y, ∀n.
Cho F : X × X → X là ánh xạ có tính chất đơn điệu hỗn hợp trong

X . Giả sử tồn tại α, β > 0 với α + β < 1 sao cho
β
d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αM ((x, y), (u, v)) + [d(x, u) + d(y, v)]
2
với mọi (x, y), (u, v) ∈ X × X và x ≥ u, y ≤ v. Khi đó, nếu tồn tại
x0 , y0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) và y0 ≥ F (y0 , x0 ) thì F có một điểm
bất động bộ đôi (x, y) ∈ X × X.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Định lý 1.2.4, ta chỉ cần chứng
minh (x, y) là điểm bất động bộ đôi của F. Ta có:

d(F (x, y), x) ≤ d(F (x, y), d(xn+1 , x))
= d(F (x, y), F (xn , yn )) + d(xn+1 , x).

(1.6)

Từ giả thiết dãy không giảm {xn } hội tụ tới x và dãy không tăng {yn } hội
tụ tới y . Theo (i) và (ii) ta có x ≥ xn và y ≤ yn , ∀n.


12



(1.7)

Từ điều kiện trên ta có

d(F (yn , xn ), F (y, x)) ≤ αd(y, F (y, x))

2 + d(yn , yn+1 ) + d(xn , xn+1 )
2 + d(yn , y) + d(xn , x)
β
+ [d(yn , y) + d(xn , x)].
2

Từ (1.7), ta có

d(F (y, x), y) ≤ αd(y, F (y, x))

2 + d(yn , yn+1 ) + d(xn , xn+1 )
2 + d(yn , y) + d(xn , x)

β
+ [d(yn , y) + d(xn , x)] + d(yn+1 , y)
2
→ αd(y, F (y, x)) khi n → ∞.


13

Do đó kéo theo


≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )
2
+ β[d(xn , x) + d(yn , y)] + d(yn+1 , y) + βd(x, y).


14

Do đó

2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
2
β[d(xn , x) + d(y, yn )] + d(yn+1 , y)

(1 − β)d(x, y) ≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )

→ 0 khi n → +∞.
Vì 0 < β < 1 nên d(x, y) = 0, ta suy ra x = y .


CHƯƠNG 2

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất của không gian mêtric
nón và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không
gian mêtric nón có thứ tự bộ phận.

2.1


khi n → ∞.
2.1.3. Định lý. ([6]) Mọi nón chính trong không gian Banach đều là nón
chuẩn tắc.
2.1.4. Mệnh đề. ([6]) Nếu k là hằng số chuẩn tắc của nón P thì k ≥ 1.
2.1.5. Bổ đề ([1]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E , a, b, c là
các phần tử thuộc E và α là số thực dương. Khi đó
(i) Nếu a

b và b

c thì a

c;

(ii) Nếu a ≤ b và b

c thì a

c;

(iii) Nếu a

b, c

d thì a + c

b + d;

(iv) αintP ⊂ intP (trong đó αintP = {αx : x ∈ intP });
(v) Với mọi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ ;

iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X .
Tập X cùng với mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và được ký hiệu là (X, d) hoặc X .
Từ định nghĩa trên ta nhận thấy khái niệm của không gian mêtric
nón tổng quát hơn khái niệm không gian mêtric. Bởi vì mỗi một không
gian mêtric là một không gian mêtric nón trong trường hợp E = R và

P = [0, +∞).
2.1.8. Ví dụ
1) Cho E = R2 và nón P = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}. Xét X = R
và ánh xạ d : X × X → E xác định bởi
d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|), ∀x, y ∈ X,
trong đó α, β là các hằng số dương cho trước. Khi đó, ta dễ dàng chứng
minh được rằng d là một mêtric nón hay (X, d) là không gian mêtric nón.
2) Giả sử C[a,b] là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên

[a, b]. Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn
f = sup |f (x)|, ∀f ∈ C[a,b] .
x∈[a,b]

Trên C[a,b] ta xét quan hệ thứ tự bộ phận "≤" được xác định như sau

∀f, g ∈ C[a,b] , f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b],
trong đó "≤" là quan hệ thứ tự thông thường trên R.
Đặt P = {f ∈ C[a,b] : 0 ≤ f }. Khi đó, P thỏa mãn 3 điều kiện
i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
ii) Với mọi α, β ∈ R, α, β ≥ 0 và mọi f, g ∈ P ta có

0 ≤ αf (x) + βg(x), ∀x ∈ [a, b].
Do đó αf + βg ∈ P ;

2.1.13. Định nghĩa. ([6]) Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy
đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Tập con Y của không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y .
2.1.14. Định nghĩa. ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón. Ánh xạ
g : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {xn } là dãy trong X và
xn → x thì g(xn ) → g(x).
cho d(xm , xn )

2.2

Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không
gian mêtric nón có thứ tự bộ phận.

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi
trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận.


19

2.2.1. Định lý. ([5]) Cho (X, ≤, d) là không gian mêtric nón đầy đủ và

F : X × X → X là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trên X và thỏa mãn
các điều kiện sau:
A1 ) ∃α, β, γ ≥ 0 với 2α + 3β + 3γ < 2 sao cho với mọi u ≤ x, y ≤ v
d(F (x, y), F (u, v)) ≤ α

d(x, u) + d(y, v)
2
d(x, F (x, y)) + d(u, F (u, v)) + d(y, v)

2−β−γ


20

Khi đó, từ (A1 ) ta có

d(x2 , x1 ) = d(F (x1 , y1 ), F (x0 , y0 ))
d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )
≤α
2
d(x1 , F (x1 , y1 )) + d(x0 , F (x0 , y0 )) + d(y1 , y0 )
+β
2
d(x1 , F (x0 , y0 )) + d(x0 , F (x1 , y1 )) + d(y1 , y0 )
+γ
2
d(x1 , x2 ) + d(x0 , x1 ) + d(y1 , y0 )
= αe + β
2
d(x1 , x1 ) + d(x0 , x2 ) + d(y1 , y0 )
+γ
2
d(x0 , x1 ) + d(x1 , x2 ) + d(y1 , y0 )
β
≤ αe + βe + d(x1 , x2 ) + γ
2
2
β+γ
d(x1 , x2 ).


d(y1 , y2 ) ≤

2(α + β + γ)
e = λe.
2−β−γ


21

Chứng minh tương tự ta có với mọi n = 1, 2, ...

2(α + β + γ) d(xn , xn−1 ) + d(y, yn−1 )
.
2−α−β
2
d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 )
=λ
2

d(xn+1 , xn ) ≤

và

2(α + β + γ) d(xn , xn−1 ) + d(y, yn−1 )
.
2−β−γ
2
d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 )
=λ


λn
e
1−λ

C, ∀m > n > N.

Vậy {xn } là dãy Cauchy. Tương tự ta cũng có {yn } là dãy Cauchy.
Vì (X, ≤, d) là không gian mêtric nón đầy đủ nên tồn tại x∗ , y∗ ∈ X
sao cho

xn → x∗ , yn → y∗ .


22

Mặt khác, vì F liên tục nên

x∗ = lim xn = lim F (xn−1 , yn−1 ) = F (x∗ , y∗ )
n→∞

n→∞

và

y∗ = lim yn = lim F (yn−1 , xn−1 ) = F (y∗ , x∗ ).
n→∞

n→∞


d(x∗ , xn−1 ) + d(y∗ , yn−1 )
2−β−γ
d(F (x∗ , y∗ ), xn ) ≤ α
2
2
d(x∗ , F (x∗ , y∗ )) + d(xn−1 , xn ) + d(y∗ , yn−1 )
+β
2
d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , xn ) + d(y∗ , yn−1 )
+γ
.
2
Mặt khác, với mọi C ∈ intP, tồn tại N ∈ N sao cho mọi n > N thì

d(x∗ , xn−1 )

C, d(x∗ , xn )

C, d(y∗ , yn−1 )

C, d(xn−1 , xn )

C


23

Do đó ta có

2−β−γ

+γ
2
d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn )
β + 3γ
≤β
+ (α +
)d(x∗ , y∗ )
2
2
β+γ
+ (α +
)[d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn−1 )]
2
d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn ) + d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn )
+γ
2
β + 3γ
d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn )
+ (α +
)d(x∗ , y∗ )
≤β
2
2
β
d(y∗ , yn ) + d(x∗ , xn )
+ (α + + γ)[d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn−1 )] + γ
.
2
2
Ta có với mọi n = 0, 1, 2, ...

2
2
β
+ (α + + γ)[d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn−1 )]
2
γ
+ (1 + )[d(y∗ , yn ) + d(x∗ , xn )].
2

Mặt khác, vì xn → x∗ , yn → y∗ nên với mọi C ∈ intP, tồn tại N ∈ N sao
cho mọi n > N ta có

d(xn−1 , xn ), d(yn−1 , yn ), d(xn−1 , x∗ ), d(y∗ , yn−1 ), d(y∗ , yn ), d(x∗ , xn )

C.

Từ đó suy ra

(1 −

2α + β + 3γ
)d(x∗ , y∗ ) ≤ (2α + 2β + 3γ + 2)C.
2

Vì 2α + β + 3γ < 2 nên

d(x∗ , y∗ ) ≤

4α + 4β + 6γ + 4
C, với mọi C ∈ intP.

H2 ) Tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) và F (y0 , x0 ) ≤ y0 ;
H3 ) F liên tục hoặc X thỏa mãn
a) Nếu {xn } là dãy tăng, hội tụ tới x ∈ X thì xn ≤ x, mọi n ∈ N;
b) Nếu {yn } là dãy giảm, hội tụ tới y ∈ X thì y ≤ yn , mọi n ∈ N;
khi đó F có điểm bất động bộ đôi x∗ , y∗ ∈ X .
Chứng minh. Với mọi n = 1, 2, ... đặt

xn = F (xn−1 , yn−1 ), yn = F (yn−1 , xn−1 ).
Khi đó

x0 ≤ x1 ≤ ... ≤ xn ≤ xn+1 ≤ ...
... ≤ yn+1 ≤ yn ... ≤ y1 ≤ y0 .
Theo (H1 ) với mỗi n ∈ N, tồn tại

d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) d(xn , xn+1 ) + d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 )
,
,
2
2
d(xn−1 , xn+1 ) + d(yn , yn−1 )
}
2

Zn ∈{

sao cho

d(xn+1 , xn ) = d(F (xn , yn ), F (xn−1 , yn−1 )) ≤ λZn .
Bây giờ, ta xét các trường hợp sau
d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 )