Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Ass Ext
s
s
Ass Ext
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
R I R M R
. . .
Ass(R/I
n
) n n R
Z Z
I = aZ a = p
α
1
1
. . . p
α
t
t
a Ass
Z
(Z/I
n
) = {p
1
Z, . . . , p
t
Z} n.
R

, M)
Tor
R
i
(R/I
n
, M)
i ≥ 0. Ass
R
Tor
R
i
(R/I
n
, M) n
n i ≥ 0. Ass
R
Ext
i
R
(R/I
n
, M)
n n
(R, m) 5
x, y ∈ m I = (x, y)R Ass
R
H
2
I


Ext
2
R
(R/I
n
, M)


n
Ass
R
(R/(x
n
, y
n
)R) Ass
R
Ext
2
R
(R/I
n
, M)
n n
M R I (x
1
, . . . , x
r
)

T
s
M s (x
1
, . . . , x
r
) M
s

n
1
, ,n
r

Ass
R
M/(x
n
1
1
, . . . , x
n
r
r
)M

≥s
M s
Ext
Ext

I
I Q
i
p
i
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
I
√
I
I
√
I
√
I I
Z
mZ m
36Z 36Z = 4Z ∩ 2Z ∩ 9Z 4Z
2Z 2Z 9Z 3Z
2Z
36Z = 4Z ∩9Z 36Z.
Q
1
, Q
2
p R Q
1
∩ Q
2
p R
I

}.
I = Q
1
∩ . . . ∩Q
n
I
Q
i
p
i
{p
1
, . . . , p
n
}
I
{p
1
, . . . , p
n
} I.
Q
i
p
i
Q
i
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
I = Q
1

i
I
L
R N L
a ∈ R, ϕ
a
: L → L
ϕ
a
(x) = ax a L ϕ
a
ϕ
a
n ϕ
n
a
= 0
a
n
x = 0 x ∈ L.
I p a R/I
a /∈ p a ∈ p
Ann
R
L = {a ∈ R | aL = 0}. Ann
R
L
R Ann
R
L L

p L
N
N = Q
1
∩. . .∩Q
n
= Q

1
∩. . .∩Q

m
N Q
i
p
i
Q

i
p

i
n = m {p
1
, . . . , p
n
} = {p

1
, . . . , p

N N
N a ∈ R
a M/N M
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
N :
M
a ⊆ N :
M
a
2
⊆ . . .
k ∈ N N :
M
a
n
= N :
M
a
k
n ≥ k.
N
1
= a
k
M + N N
2
= N :
M
a. N = N
1

∈ Γ N
0
N
0
N
0
N
0
M N
0
N
0
= N
1
∩ N
2
N
1
= N
0
N
2
= N
0
N
0
Γ N
1
, N
2

∩Q
21
∩. . .∩Q
2t
N
0
N
0
∈ Γ
L R N
L m ∈ L Ann
R
m = {a ∈ R | am = 0}
Ann
R
m R
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
p R
L m ∈ L p = Ann
R
m
L Ass
R
L
Γ = {Ann
R
m | m ∈ L, m = 0}. p
Γ p ∈ Ass
R
L. R L = 0

L)
R Ann
R
L. Supp
R
L ⊆ Var(Ann
R
L) L
Supp
R
L = Var(Ann
R
L). T Spec(R)
min T
T R
Ass
R
L ⊆ Supp
R
L
min Ass
R
L = min Supp
R
L
N Ass
R
L/N
N p Ass
R

I S
−1
R.
S R
Ass
S
−1
R
S
−1
M = {S
−1
p | p ∈ Ass
R
M, p ∩S = ∅}.
R I
R L R
R L Γ
I
(L) =

n≥0
(0 :
L
I
n
).
Γ
I
(L) L f : L → L

0 → L → E
0
u
0
→ E
1
u
1
→ E
2
→ . . .
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
L, Γ
I
(−)
0 → Γ(E
0
)
u
∗
0
→ Γ(E
1
)
u
∗
1
→ Γ(E
2
) → . . .

(L) = 0 i ≥ 1.
H
i
I
(L) I i.
H
j
I
(H
i
I
(L)) = 0 j > 0.
0 → L

→ L → L

→ 0 R
n δ
n
: H
n
I
(L

) → H
n+1
I
(L

)

→ H
2
I
(L

) → . . .
N, L R
n ≥ 0
n Hom
R
(L, −) N
n L N Ext
n
R
(L, N)
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Ext
n
R
(L, N)
0 → N → E
0
d
0
→ E
1
d
1
→ . . .
N Hom

∗
n
/ Im d
∗
n−1
.
Ext
n
R
(L, N) M
··· → P
2
.u
2
→ P
1
.u
1
→ P
0
ε
→ M −→ 0.
Hom
R
(−, N)
0 → Hom(P
0
, N)
u
∗

(L, N)
∼
=
Hom(L, N)
L N Ext
n
R
(L, N) = 0 n ≥ 1.
0 → N

→ N → N

→ 0 R
Ext
n
R
(L, N

) → Ext
n+1
R
(L, N

) n ≥ 0
0 → Hom(L, N

) → Hom(L, N) → Hom(L, N

)
→ Ext

, N) → Ext
n+1
R
(L

, N) n ≥ 0
0 → Hom(L

, N) → Hom(L, N) → Hom(L

, N)
→ Ext
1
R
(L

, N) → Ext
1
R
(L, N) → Ext
1
R
(L

, N)
→ Ext
2
R
(M


M = 0 R
p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
R p
i
= p
i+1
i
n R R dim R
R
M dim M R/ Ann
R
M.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Z {0} ⊂ 3Z
1 dim Z = 1.
M Supp
R
M = Var(Ann
R
M) R
min Supp
R
M = min Ass
R
M

∈ m, (M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞

.
R m
x
1
, . . . , x
t
∈ m m = (x
1
, . . . , x
t
)R (M/mM) < ∞
(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞.
dim M < ∞ dim M = d.
(x
1
, . . . , x
d
) ⊆ m
M (M/(x
1

r
)
M
r r = 1.
x ∈ m. dim(M/xM) = k < d − 1. M
1
= M/xM.
x
1
, . . . , x
k
∈ m (M
1
/(x
1
, . . . , x
k
)M
1
) < ∞.
(M/(x, x
1
, . . . , x
k
)M) < ∞. d = dim M  k + 1.
d −1  k,
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Ass
Ext
R

M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M i =
1, . . . , k M = (x
1
, . . . , x
k
)M
((x
1
, . . . , x
i−1
)M :
M
x
i
) = (x
1
, . . . , x
i−1
)M, ∀i = 1, . . . , k.
M = (x
1
, . . . , x
k
)M
(x
1

) M M
R = K[[x, y, z]]
x, y, z K
x, y, z R R = (x, y, z)R (0 :
R
x) = 0, (0 :
R/xR
y) = 0
(0 :
R/(x,y)R
z) = 0.
x, y(1 −x), z(1 −x) R
x, x
1
, . . . , x
k
∈ m
x M x /∈ p p ∈ Ass
R
M.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
(x
1
, . . . , x
k
) M i = 1, . . . , k
x
i
/∈ p p ∈ Ass
R

M
x) x ∈ p
(0 :
M
x) = 0 x M
x, x
1
, . . . , x
k
∈ m x, x
1
, . . . , x
k
∈ R
x, x
1
, . . . , x
k
∈ R
x M x /∈ p p ∈ Ass
R
M.
(x
1
, . . . , x
k
) M i = 1, . . . , k
x
i
/∈ p p ∈ Ass

M r I
Ext
i
R
(R/I; M) = 0 i < r
H
i
I
(M) = 0 i < r
⇔ H
i
I
(M) = 0 i < r.
r M (x
1
, . . . , x
r
) I
r = 1. H
0
I
(M) = 0. I ⊆ p p ∈ Ass
R
M.
x
1
∈ I x /∈ p
p ∈ Ass
R
M. x

2
, . . . , x
r
) I
(x
1
, . . . , x
r
) M I
(x
1
, . . . , x
r
) M I
r H
i
I
(M) = 0 i < r. r = 1 x
1
∈ I
M 0 = (0 :
M
x
1
) ⊇ (0 :
M
I). (0 :
M
I
n

M) → H
i+1
I
(M)
x
1
→ H
i+1
I
(M) i ≥ 0. i < r −1
H
i
I
(M/x
1
M) = 0 x
1
x
n
1
H
i+1
I
(M) n
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Γ
x
1
R
(H

(M)) ⊆ Γ
x
1
R
(H
i+1
I
(M)) = 0.
H
i
I
(M) = 0 i < r.
⇔ r
⇔
M (x
1
, . . . , x
k
) I
M I y ∈ I
(x
1
, . . . , x
k
, y) M
M = IM. M I
M I M I
i
H
i

1
, . . . , x
k
)M) = 0
i  r − k k  r. H
0
I
(M/(x
1
, . . . , x
r
)M)) = 0.
I M/(x
1
, . . . , x
r
)M
M (x
1
, . . . , x
r
) M
I
i H
i
I
(M) = 0.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
M = IM
H

x ∈ R
p
x/1 ∈ R
p
.
x ∈ m M
s x /∈ p p ∈ (Ass
R
M)
>s
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
(x
1
, . . . , x
r
) m M
s x
i
M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M
s i = 1, . . . , r.
(x
1
, . . . , x
r
) ⊆ m M

M
x
1
)  s dim(0 :
M
x
1
) > s.
p ∈ Ass
R
(0 :
M
x
1
) dim(R/p) > s. p ∈ Ass
R
(0 :
M
x
1
)
p ∈ Supp
R
(0 :
M
x
1
) = Var(Ann(0 :
M
x

p
p ∈ Spec(R)
dim(R/p) > s. p ∈ Ass
R
M
dim(R/p) > s x
1
M
p
qR
p
∈ Ass
R
p
M
p
x
1
∈ qR
p
.
q ⊆ p, x
1
∈ q q ∈ Ass
R
M dim(R/q) ≥ dim(R/p) > s.
q ∈ Ass
R
M m ∈ M q = Ann
R


>s
x
1
∈ p.
x
1
∈ pR
p
∈ Ass
R
p
(M
p
) dim(R/p) > s. x
1
M
p
(x
1
, . . . , x
r
) m
(x
1
, . . . , x
k
) M
i = 1, . . . , k x
i

, . . . , x
r
) M M
0
(x
1
, . . . , x
r
) M
x
i
/∈ p p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M))
dim(R/p) > 1 i  r. (x
1
, . . . , x
r
) M
M 1
K d ≥ 2
s 0  s  d − 2
R = K[[x
1
, . . . , x
d

2
}. x
2
M s M
k k  s − 1. s = 0 x
2
M M −1
Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/