✶
➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
❇ï✐ ❚❤❛♥❤ ➜♦➭♥
▼ét ❦Õt q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤♦ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè
❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❚♦r
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
❚❤➳✐ ♥❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
✷
➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲
❇ï✐ ❚❤❛♥❤ ➜♦➭♥
▼ét ❦Õt q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤♦ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè
❣➽♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❚♦r
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ❧ý t❤✉②Õt sè✳
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✺
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣
❚❤➳✐ ♥❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
✸
▼ô❝ ❧ô❝
❚r❛♥❣
▼ô❝ ❧ô❝✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷
▼ë ➤➬✉✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✸
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✻
✶✳✶✳ ▼➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ ➤è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ở
(R, m) ị tr ớ ự
t m, I ủ R M R ữ s A R
rt ể ứ trú ủ tr rt ờ
t tờ q t ế t tố ết tố
ết t ứ ủ ú t t từ ột ết q tr số
Z ế ớ ỗ I = mZ tr ó m = p

1
1
. . . p

k
k
sự
tí t ủ số m tì t Ass
Z
Z/I
n
Z = {p
1
Z, . . . , p
k
Z}
ổ ị ớ ọ n ột tự ờ t t r ỏ r ệ
tí t ò ú t Z ở ột tr tỳ ý
ó ề t ọ ứ ề ề ể ì
ết q ủ r tr ó ứ r

M/I
n
M

=
Tor
R
0
(R/I
n
, M) (0 :
A
I
n
)

=
Ext
0
R
(R/I
n
, A).
ì tế ột tự ỏ r ệ ết q tr ó tể ở rộ
Ext
i
R
(R/I
n
, A) Tor

R

Tor
R
i
(R/I
n
, A)

Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

, n = 1, 2, . . .
ụ tộ n n ủ ớ tr ờ
ỏ tr ì ủ ị t í ò tồ t t
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
✻

n
Att
R

Tor

(R/I
n
, A)

✈➭

n0
Ass
R

Ext
i
R
(R/I
n
, M)

❤÷✉ ❤➵♥✳
▼ét ♣❤➬♥ ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥ ➤➲ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥
✈➭ ▲✳❚✳ ◆❤❛♥ ♥➝♠ ✷✵✵✽✳ ë ➤ã✱ ❜➺♥❣ ✈✐Ö❝ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ M✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉②
✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ✈➭ ➤é s➞✉ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ > s ❝ñ❛ M tr♦♥❣ I depth
>s
(I, M)✱ ❤ä ➤➲
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥Õ✉ dim Supp H
i
I
(M)  s ✈í✐ ♠ä✐ i  r t❤× t❐♣
{p ∈

n0

(Tor
R
t
(R/I
n
, A))

s
,


n
1
,...,n
k
∈N
Att
R
(Tor
R
t
(R/(x
n
1
1
, . . . , x
n
k
k
)R, A



ế tứ ị
r t ộ t ý ệ R tr A
R rrt M R tr ể
ột số ế tứ ợ ù tr tế t trú ủ
rt ố ts ể ễ tứ ề tr ở rộ
í q ộ s. . .
rt ố ts
m ột ự ủ R r m

m
(A) ủ A ợ ị ĩ ở

m
(A) =

n0
(0 :
A
m
n
).
ột số tí t ủ rt ợ r ở r
tờ ợ ù tr ứ ề s
ệ ề ệ ề ổ ề
sử A ột R rt ó ỉ ó ữ
ự m ủ R s
m
(A) = 0 ế ự ệt ó

j
ớ trú ột t ủ
m
j
(A) ột R
ế ỉ ế ó R
m
j
ệt
A
m
j

=

m
j
(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.
(R, m) ị r ủ t t m
ủ R, ý ệ ở

R, t ớ t ủ t
q ệ t ị ở sở ủ tử
m
t
, t = 0, 1, 2, . . .

R ợ tr ị é t é ộ é
ù ớ é t


R
(Hom
R
(M, E), E)
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

Rồ tự ở à
M
(x)(f) = f(x), ớ ọ x M,
f Hom(M, E). ó t ó ết q s ị ý
ệ ề R E rt ớ ỗ f Hom
R
(E, E) tồ t
t a
f
R : f(x) = a
f
x, x E.
ế N R tr tì D(N) rt
ế A R rt tì D(A) tr
Ann M = Ann D(M) ế M R s
R
(M) <
tì
R
(D(M)) =
R
(M).
ổ ề N R tr A R rt j N
ó

)

=
D(A)/I
j
D(A)
D((0 :
A
I
j
)/(0 :
A
I
j1
))

=
I
j1
D(A)/I
j
D(A).
ể ễ tứ
ý tết ể ễ tứ ợ r ở ợ
ố ớ ý tết tí s q ết
tr
ị ĩ ột R M ợ ọ tứ ế M = 0
ế ớ ọ x R é ở x tr M t ỹ r
trờ ợ Rad(Ann
R

M✳ ❈➳❝ ❤➵♥❣ tö N
i
, i = 1, . . . , n✱ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥
t❤ø ❝✃♣ ❝ñ❛ M✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✷✳ ❚❐♣ Att
R
A ❝❤Ø ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ A ♠➭ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦
❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ó✉ ❝ñ❛ A✳ ❍➡♥ ♥÷❛ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣
➤➢➡♥❣ ✈í✐ p ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè✳
✭✐✮ p ∈ Att
R
A.
✭✐✐✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ ❧➭ p✲t❤ø ❝✃♣✳
✭✐✐✐✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Q s❛♦ ❝❤♦ Rad(Q) = p.
✭✐✈✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Q s❛♦ ❝❤♦ p ❧➭ ♣❤➬♥ tö tè✐ t❤✐Ó✉ tr♦♥❣ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥
♥❣✉②➟♥ tè ❝❤ø❛ Ann
R
Q.
✭✈✮ A ❝ã ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣ Q s❛♦ ❝❤♦ Ann
R
Q = p.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✸✳ ✐✮ ❈❤♦ M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ➤➢î❝✳ ❑❤✐ ➤ã M = 0
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ Att
R
M = ∅✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐
t❤✐Ó✉ ❝ñ❛ R ❝❤ø❛ Ann(M) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tè✐ t❤✐Ó✉ ❝ñ❛ Att
R
M.
✭✐✐✮ ❈❤♦ 0 −→ M


R ề t
ủ A ét R

R ừ ó t ó ết
q s ệ q ệ q
ệ ề ệ ề s ú
Att
R
A = {

p R :

p Att

R
A}.
ế R ị ủ tì t ó
ế N R tr tì Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
ế A R rt tì Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
ề tr ủ rt
r ột tố p
0


A = 0, t N-dim
R
A = 1.
ớ A = 0, ột số d 0, t t N-dim
R
A = d ế
N-dim
R
A < d s ớ ỗ t A
0
A
1
. . .
ủ A, tồ t số n
0
s N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d, ớ ọ
n > n
0
.
ừ ị ĩ tr t t r ọ R M tr
ỉ N-dim
R
M = 0. ết r ố ớ ỗ ữ

R
A dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p Att
R
A} tồ
t rt A s N-dim
R
A < dim R/ Ann
R
A.
N-dim

R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p Att

R
A}.
(R, m) ị A R rt ó A ó

A
) ột tứ ớ ệ số ữ tỷ n 0
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : x
1
, . . . , x
t
J
A
s (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < },
tr ó J
A
=

mSupp A
m.
tử ở rộ tử
ụ ể ệ tí t ủ Ext
Tor tờ ợ ù tr

1
, N)
u

2
Hom(P
2
, N) . . .
ó Ext
n
R
(M, N) = Ker u

n+1
/ Im u

n
ố ồ ề tứ n ủ
ố ứ tr ụ tộ ệ ọ ủ
M
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

ị ĩ M, N R n 0 ột số tự
t tr tứ n ủ tử N ứ ớ M ợ ọ
tứ n ủ M N ợ í ệ Tor
R
n
(M, N) ụ tể ể ự
Tor
R

ó Tor
R
n
(M, N) = Ker v

n
/ Im v

n+1
ố ồ ề tứ n ủ
ứ tr ụ tộ ệ ọ ủ M
ột số tí t sở ủ Ext Tor tờ ợ
ù tr
ệ ề Ext
0
R
(M, N)

=
Hom(M, N) Tor
R
0
(M, N)

=
MN
ế M N tì Tor
R
n
(M, N) = 0 ớ ọ n 1

)
Ext
1
R
(M, N) Ext
1
R
(M, N

) Ext
2
R
(M, N

) . . .
ế 0 M

M M

0 ớ tì tồ t
ồ ố Ext
n
R
(M

, N) Ext
n+1
R
(M


−→ N −→ N

−→ 0 ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ t❤× tå♥ t➵✐ ❝➳❝
➤å♥❣ ❝✃✉ ♥è✐ Tor
R
n
(M, N

) −→ Tor
R
n−1
(M, N

) ✈í✐ ♠ç✐ n ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ t❛
❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐
. . . −→ Tor
R
n
(M, N

) −→ Tor
R
n
(M, N) −→ Tor
R
n
(M, N

)
−→ Tor

❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ n✳
❑Õt q✉➯ ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❣✐÷❛ ♠➠➤✉♥ Ext✱ Tor ✈í✐ ❤➭♠
tö ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛ ✈➭ sù t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ tö Ext ✈➭ Tor tr➟♥ ✈➭♥❤
➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ➤➬② ➤ñ✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✹✳✺✳ ✭✐✮ ◆Õ✉ S ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ♥❤➞♥ ❝ñ❛ R t❤× t❛ ❝ã ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N),
S
−1
(Tor
R
n
(M, N))
∼

(Tor
R
n
(M, N))
p
∼
=
Tor
R
p
n
(M
p
, N
p
)
✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ❝ñ❛ R✳
✭✐✐✮ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R✳ ❑❤✐ ➤ã
Ext
i

R
(

R/I

R, D(A))
∼
=
Tor

tử M/(a
1
, . . . , a
i1
)Mí q ớ ọ i = 1, . . . , n
tử (a
1
, . . . , a
n
) R ợ ọ M í q
ế ó ỉ tỏ ề ệ tr ị ĩ tr
I ủ R s M = IM ó ỗ í q ủ
M tr I ề ó tể ở rộ t í q tố tr I
í q tố ủ M tr I ó ộ ộ ợ
ọ ộ s ủ M tr I ợ í ệ depth(I, M). ế M = IM
tì t q ớ depth(I, M) = .
ú ý sử M ữ s ó (a
1
, . . . , a
n
) R
M í q ỉ a
i
/ p, p Ass
R
M/(a
1
, . . . , a
i1
)M.

.
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn