✶
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖
◆●❯❨➍◆ ❚❘❯◆● ❉Ô◆●
❚➑◆❍ ✃◆ ✣➚◆❍ ❚■➏▼ ❈❾◆ ❈Õ❆ ❚❾P ■✣➊❆◆
◆●❯❨➊◆ ❚➮ ▲■➊◆ ❑➌❚ ❈Õ❆ ▼➷✣❯◆ ✣➮■ ✣➬◆● ✣■➋❯
✣➚❆ P❍×❒◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
✷
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖
◆●❯❨➍◆ ❚❘❯◆● ❉Ô◆●
❚➑◆❍ ✃◆ ✣➚◆❍ ❚■➏▼ ❈❾◆ ❈Õ❆ ❚❾P ■✣➊❆◆
◆●❯❨➊◆ ❚➮ ▲■➊◆ ❑➌❚ ❈Õ❆ ▼➷✣❯◆ ✣➮■ ✣➬◆● ✣■➋❯
✣➚❆ P❍×❒◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ▲þ t❤✉②➳t sè
▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✺
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍♦➔♥❣
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
✸
▼ö❝ ❧ö❝
❚r❛♥❣
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣
✤ï tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ tî✐ ♥❣÷í✐ t❤➙♥✱ ❜↕♥ ❜➧ ✈➔ t➜t
❝↔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✽ ♥➠♠ ✷✵✶✵
❍å❝ ✈✐➯♥
◆❣✉②➵♥ ❚r✉♥❣ ❉ô♥❣
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn


(R, m) tr ữỡ
ừ ởt Rổ ỳ s
r ự ữủ r t Ass
R
(J
n
M/J
n+1
M)
Ass
R
(M/J
n
M) ờ n ừ ợ ự t q
tr ổ ỹ t ờ ừ depth(I, J
n
M/J
n+1
M)
depth(I, M/J

0
(I, M) ở s ồ f-depth(I, M) ừ M tr I ữủ
ău depth
1
(I, M) ở s s rở ừ M tr
I ữủ ứ õ t õ ởt ọ t r

ọ
r số depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) depth
k
(I, M/J
n
M) õ
tr ờ ổ n ừ ợ tr ởt
ừ ữớ P ồ tr ớ
ọ tr õ ụ ởt t q rở ởt
ỵ ừ r ử t ỵ s
ỵ ỵ (R, m) ữỡ I, J
R M Rổ ỳ s õ ợ ồ số
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
✻
♥❣✉②➯♥ k ≥ −1✱ ❝→❝ sè depth
k
(I, J

(M)) ❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥
✈î✐ ♠å✐ j ≤ depth
1
(I, M)✳ ❚ø ✤â ✈➔ tø ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✶ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❦❤✐
j ≤ r
1
= depth
1
(I, J
n
M/J
n+1
M) ✈➔ i ≤ s
1
= depth
1
(I, M/J
n
M) t❤➻
❝→❝ t➟♣ Ass
R
(H
j
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ✈➔ Ass
R

❱✳ ❍♦➔♥❣ ✈➔ P✳ ❍✳ ❑❤→♥❤ ✭①❡♠ ❬✽❪✮✱ ❤å ✤➣ tr↔ ❧í✐ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝❤♦ ♠ët
❝➙✉ ❤ä✐ ②➳✉ ❤ì♥ ❝➙✉ ❤ä✐ tr➯♥✱ ❝ö t❤➸ ❤å t❤✉ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✿
✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✷✳ ❬✽✱ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷❪ ❈❤♦ (R, m) ❧➔ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱
I, J ⊆ R ❧➔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ✈➔ M ❧➔ R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ▲➜② r
k
=
depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) ✈➔ s
k
= depth
k
(I, M/J
n
M) ❦❤✐ n ✤õ ❧î♥ ♥❤÷
tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✶✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿
✭✐✮ Ass
R
(H
r
−1
I
(J
n
M/J
n+1


H
i
I
(M/J
n
M)) ❧➔ ❝→❝ t➟♣
ê♥ ✤à♥❤ ❦❤✐ n ✤õ ❧î♥✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn



tj
Ass
R

H
t
I
(J
n
M/J
n+1
M)){m}

ti
Ass
R

H

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð
❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t❛ ❧✉æ♥ ❦➼ ❤✐➺✉ (R, m) ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r ✈î✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t m; ✈➔ M ❧➔ R−♠æ✤✉♥
❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
✶✳✶ ■✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p ❝õ❛ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥
♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ M ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ♣❤➛♥ tû x ∈ M s❛♦ ❝❤♦
Ann(x) = p✳ ❚➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ M ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔
Ass
R
(M) ❤♦➦❝ Ass(M)✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥
❦➳t✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✶✳✷✳
✭❛✮ ❈❤♦ p ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ R✳ ❑❤✐ ✤â p ∈ Ass
R
(M) ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾
♥➳✉ M ❝❤ù❛ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ R/p✳
✭❜✮ ❈❤♦ p ❧➔ ♣❤➛♥ tû tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝â ❞↕♥❣ Ann(x) tr♦♥❣
✤â 0 = x ∈ M✳ ❑❤✐ ✤â p ∈ Ass
R
(M)✳ ❱➻ t❤➳✱ M = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
Ass
R
(M) = 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t➟♣ ZD(M) ❝→❝ ÷î❝ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ M ❝❤➼♥❤
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
✾
❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ M.
✭❝✮ ❈❤♦ 0 −→ M


R
(M) ❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❍ì♥
♥ú❛✱ Ass
R
(M) ⊆ V (Ann M) ✈➔ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ V (Ann M)
✤➲✉ t❤✉ë❝ Ass
R
(M)✳ ❱➻ t❤➳ Ann(M) ❧➔ ❣✐❛♦ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥
❦➳t ❝õ❛ M✳
✭❢✮ ◆➳✉ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤➻
Ass
R
(N) ⊆ Ass
R
(M) ⊆ Ass
R
(M/N) ∪ Ass
R
(N).
✭❤✮ Ass
R
p
(M
p
) = {qR
p
|q ∈ Ass
R
(M), q ⊆ p}.
❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ r➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➲ t➼♥❤

ú ỵ ừ ởt ổ M ổ tỗ t t
sỷ Y ởt s ừ M ồ P
0
=
yY
R
y
ợ R
y
= R
Rổ tỹ tr t õ t õ t : P
0
M
(a
y
)
yY
=
yY
a
y
y t K
1
= Ker Y
1
s ừ K
1

P
1

= Ker à
1

tữỡ tỹ t õ ởt t f
2
: P
2
K
2
s P
2
ổ tỹ Im à
2
= Ker à
1
tr õ à
2
= j
2
f
2
ợ j
2
: K
2
P
1
ú tỹ ự t tử q tr tr t t ữủ ởt
ợ
. . .

M 0.
ở tỷ Hom(, N) ợ tr t õ ự
0 Hom(P
0
, N)
f

0
Hom(P
1
, N)
f

1
Hom(P
2
, N)
f

2
. . . .
õ Ext
i
R
(M, N) = Ker f

i
/ Im f

i1

) ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 0 s❛♦
❝❤♦ t❛ ❝â ❞➣② ❦❤î♣ ❞➔✐
0 −→ Hom(M, N

) −→ Hom(M, N) −→ Hom(M, N

) −→ Ext
1
R
(M, N

)
−→ Ext
1
R
(M, N) −→ Ext
1
R
(M, N

) −→ Ext
2
R
(M, N

) −→ . . .
✭❞✮ ◆➳✉ 0 −→ N

−→ N −→ N” −→ 0 ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ t❤➻ tç♥ t↕✐
❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♥è✐ Ext

(N

, M) −→ . . .
❚ø ❈❤ó þ ✶✳✷✳✷ ✈➔ tø ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ Ext t❛ ❝â ♥❣❛② ❦➳t q✉↔ s❛✉✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✺✳ ◆➳✉ M, N ❧➔ ❝→❝ R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ t❤➻ Ext
n
R
(M, N)
❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈î✐ ♠å✐ n✳
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❣✐ú❛ Ext ✈➔ ❤➔♠ tû ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ❤â❛✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✷✳✻✳ ◆➳✉ S ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤➙♥ ❝õ❛ R t❤➻
S
−1
(Ext
n
R
(M, N))
∼
=
Ext
n
S
−1
R
(S
−1
M, S
−1
N)

M
I
n
) f : M N ỗ
Rổ t t õ ỗ s f

:
I
(M)
I
(N)
f

(m) = f(m) õ
I
() ởt tỷ ợ tr tứ
trũ Rổ trũ Rổ
I
() ữủ ồ
tỷ I
ờ I ừ tr R sỷ M ỳ
s t s ú

I
(M) = 0 I ZD(M) tr õ
ZD(M) = {a R : tỗ t 0 = m M s am = 0}
Ass(
I
(M)) = Ass(M)V (I) Ass(M/
I

1
f
1
E
2
f
2
. . .
ở tỷ I ợ tr t ữủ ự
0
I
(E
0
)
f

0

I
(E
1
)
f

1

I
(E
2
)

H
0
I
(M)✳
✭❝✮ ◆➳✉ 0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0 ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ t❤➻ tç♥ t↕✐
❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♥è✐ H
n
I
(M

) −→ H
n+1
I
(M

) ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝â
❞➣② ❦❤î♣ ❞➔✐
0 −→ Γ
I
(M

) −→ Γ
I
(M) −→ Γ
I
(M

) −→ H

∼
=
H
n
S
−1
I
(S
−1
M). ✣➦❝ ❜✐➺t✱ (H
n
I
(M))
p
∼
=
H
n
IR
p
(M
p
) ✈î✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p ❝õ❛ R✳
❚ø ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ t❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✳
❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✽✳ ❱î✐ ♠é✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p ❝õ❛ R t❛ ❝â p ∈ Ass H
n
I
(M)
♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ pR
p

ồ M õ ở
ữ ỵ
a R tỷ M q a ổ ữợ ừ tr
M
a
1
, . . . , a
n
R ữủ ồ M q
M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0 a
i
/ p ợ ồ p Ass
R
M/(a
1
, . . . , a
i1
)M
ợ i = 1, . . . , n.
R tr M
Rổ ỳ s I ừ R s M = IM
a
1
, . . . , a
n
M q tr I õ r a

)M ú ỵ t õ M = mM t ờ
õ tỷ ừ R M q õ
M q tr m r trữớ ủ ở s ừ M
tr m ồ ở s ừ M depth M.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
✶✺
❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤➦❝ tr÷♥❣ q✉❛ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ tr✐➺t t✐➯✉ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
Ext .
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✹✳✹✳ ❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R ✈➔ M ❧➔
R−♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐ ✤â
depth(I, M) = inf{i | Ext
i
R
(R/I, M) = 0}.
✣ë s➙✉ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ q✉❛ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ tr✐➺t t✐➯✉ ❝õ❛
♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤ç♥❣ ✤✐➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
▼➺♥❤ ✣➲ ✶✳✹✳✺✳ ●✐↔ sû I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R ✈➔ M ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐
✤â
depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) = 0}.
❚❛ ❣å✐ ♠ët ❞➣② ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
✱ tr♦♥❣ ✤â
p

1
, . . . , a
t
M)) < ∞}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

sỷ dim M = d tr õ tỷ a
1
, . . . , a
d
m
s (M/(a
1
, . . . , a
d
M)) < ởt ữ t ữủ ồ t
số ừ M.
t q s r r ừ ởt ổ õ t trữ
tổ q t trt t ổ trt t ừ ổ ố ỗ
ữỡ
I ừ R M Rổ ỳ
s 0 õ
H
i
I
(M) = 0 ợ ồ i > dim M.
(R, m) ữỡ t dim M = sup{i : H
i
m
(M) = 0}.

0
ổ ợ ồ n 0 t A õ trú tỹ
ởt A
0
số tỗ t ỳ tỷ a
1
, . . . , a
n
A
1
s
A = A
0
[a
1
, . . . , a
n
] t t õ A A
0
số ỳ
s tr trữớ ủ A ỗ ừ tự n
tr A
0
A
0
tr t t ỡ s rt
tự tr A
0
tr t A tr
A M Aổ t M ồ Aổ

❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët sè
♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ✤ë s➙✉
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k ✈➔ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✵✳✵✳✶✳
✷✳✶ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ k ≥ 0 ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥✳ ▼ët ❞➣② x
1
, ..., x
r
❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ m ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > k ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐
i ∈ {1, ..., r} t❛ ❝â x
i
/∈ p ✈î✐ ♠å✐ p ∈ Ass
R
(M/(x
1
, ..., x
i−1
)M) ♠➔
dim(R/p) > k✳
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ x
1
, ..., x
r
❧➔ ♠ët M−❞➣② tø ❝❤✐➲✉ > −1 ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾
♥➳✉ ♥â ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ M, ✈➔ x
1
, ..., x
r
❧➔ ♠ët M−❞➣② tø