______Chu Thanh Tiệp – K59E Cử nhân Toán – ĐHSPHN___________________________ 1

Chuyên đề: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
PHƯƠNG TRÌNH–BẤT PHƯƠNG TRÌNH–HỆ CHỨA THAM SỐ

I.CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên tập D và tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên tập đó, kí hiệu tương ứng

xÎD
maxf(x),

xÎD
minf(x) (hay

D
maxf(x),

D
min
f(x)). Khi đó ta có các mệnh đề sau:
F
Mệnh đề 1: f(x) = m
có nghiệm xÎD
Û

xÎD

(ii) f(x) ≤ m
nghiệm đúng "xÎD
Û

xÎD
maxf(x) ≤ m.

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
F Bước 1:
Tìm TXĐ, điều kiện của biến.

F Bước 2:
Từ các dữ kiện của bài toán và các phương trình, tìm cách cô lập
tham số để phương trình về dạng
f(x) = m hoặc f(x) = g(m).

F Bước 3:
Sử dụng phép đặt ẩn phụ t = t(x) nếu cần thiết, chú ý khảo sát
chính xác tập giá trị D của biến.

F Bước 4:
Sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số f(x) trên TXĐ, hay f(t) với
t=t(x), tÎD để suy ra GTLN–GTNN của hàm f(x), f(t).

F
Bước 5: Từ GTLN–GTNN của f(x) hay f(t), suy ra giá trị tham số m thỏa
mãn bài toán.

III.VÍ DỤ MINH HỌA
þ Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm


2x+1
2x5
=m
(I)
Xột hm s y =
x
2

2x+1
2x5
vi x 3. Ta cú:
f(x)=
2x
2

10x+8
(2x5)
2

, f(x)=0 x=4
lim

x đ 3
f(x) = 4; lim

x đ +
f(x) = +
Bng bin thiờn:
x 3 4 +

2

mx = 3x
2

+4x1 m = 3x
1
x
+4 (1)
Xột hm s f(x) = 3x+4
1
x
trờn D =
ở
ờ
ộ
1
2
,+
ứ
ữ
ử
\{0}
Ta cú f(x) = 3+
1
x
2

> 0 "xẻD
lim

ỗ
ổ
3x
1
x
+4
ứ
ữ
ử

= { ; lim

x đ +
f(x) = lim

x đ +
ố
ỗ
ổ
3x
1
x
+4
ứ
ữ
ử
= +
Bng bin thiờn

______Chu Thanh Tiệp – K59E Cử nhân Toán – ĐHSPHN___________________________


+ 2x – 8 = m(x–2)
Giải
Điều kiện: x ≥ 2
Phương trình đã cho tương đương với
(x–2)(x
3

+6x
2

–32–m)=0 Û
ë
ê
é
x=2
x
3

+6x
2

–32–m=0

Ta cần chứng minh phương trình x
3

+6x
2



þ Bài 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định với mọi x
y = cosx+
1
2
cos2x+
1
3
cos3x+m

Giải:
Hàm số xác định với mọi x nếu như:
cosx+
1
2
cos2x+
1
3
cos3x+m ≥ 0 "x (1)

______Chu Thanh Tiệp – K59E Cử nhân Toán – ĐHSPHN___________________________ 4

Dễ thấy (1) có thể đưa về dạng sau:
4
3
cos
3

4
3
t
3

+t
2

trên [–1,1]
Ta có f’(t) = 4t
2

+2t, f’(t) = 0 Û
ë
ê
é
t=0
t=
–1
2

Bảng biến thiên t
–1 –
1
2
0 1


min f(t) = –
1
3
, vậy giá trị m phải thỏa mãn –
1
3
≥
1
2
–
m Û m ≥
5
6
.

þ Bài 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x
2

+x+1 – x
2

–x+1 = m
Giải:
Đặt f(x) = x
2

+x+1 – x
2



x ® +∞
f(x) = lim

x ® +∞
( x
2

+x+1 – x
2

–x+1) = lim

x ® +∞

2x
x
2

+x+1+ x
2

–x+1______Chu Thanh Tiệp – K59E Cử nhân Toán – ĐHSPHN___________________________ 5


Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi –1 < m < 1.

þ Bài 6. (Đề dự bị khối B–2007)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4
x
2

+1– x = m
Giải:
Điều kiện: x ≥ 0
Xét hàm số f(x) =
4
x
2

+1– x trên [0,+∞)
Ta có f’(x) =
x
2
4
(x
2

+1)
3

–
1
2 x
phương trình vô nghiệm
Do đó f’(x) không đổi dấu trên [0,+∞), f’(1) < 0
lim

x ® +∞
f(x) = lim

x ® +∞
(
4
x
2

+1– x) = lim

x ® +∞
x(
4
1+
1
x
2

–1) = 0
Bảng biến thiên
x 0 +
∞
f’(x)

Bình phương 2 vế của (1) ta được phương trình tương đương:
x+9–x+2 x(9–x) = –x
2

+9x+m Û 9+2 –x
2

+9x = –x
2

+9x+m (2)
Đặt t = –x
2

+9x
Ta có t’ =
–2x+9
2 –x
2

+9x
, t’=0 Û x =
9
2x
0
9
2

û
ú
ù
0,
9
2

f’(t) = –2t+2, f’(t) = 0 Û t = 1
Bảng biến thiên

x
0 1
9
2

f’(x) + 0 –

f(x)

10
9

–9
4

(1) có nghiệm xÎ
[ ]
0,9
khi (3) có nghiệm tÎ
ë

1
2 x+1
+
1
2 4–x
> 0, "xÎ[–1;4]
Do đó

xÎ[–1,4]
max f(x) = f(4) = 5
Vậy m ≤ 5 là giá trị cần tìm.

þ Bài 9. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
mx– x–3 ≤ m+1 (1)
Giải:
Điều kiện: x ≥ 3
Biến đổi (1) về dạng:
m(x–1) ≤ x–3+1 (2)
Vì x ≥ 3 nên (2) tương đương với bất phương trình:
m ≤
x–3+1
x–1

Xét hàm số f(x) =
x–3+1
x–1
với x ≥ 3
Ta có f’(x) =
5–x
2 x–3(x–1)


+ 0 –

1+ 2
4
f(x)

1
2
1

Từ bảng trên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
m ≤
1+ 2
4
.

þ Bài 10. Tìm m để bất phương trình có nghiệm
m( x
2

–2x+2 +1)+x(2–x) ≤ 0
có nghiệm xÎ[0,1+ 3]


2 2
1
Từ đó 1 ≤ t ≤ 2. Với 1 ≤ t ≤ 2 ta biến đổi:
t = x
2

–2x+2 Û t
2

= x
2

–2x+2 Û t
2

–2 = –x(2–x)
Bất phương trình (1) trở thành:
m(t+1) ≤ t
2

–2 Û m ≤
t
2



2
3

1
2

Từ bảng biến thiên (1) có nghiệm xÎ
[ ]
0,1+ 3
khi và chỉ khi (2) có
nghiệm tÎ
[ ]
1,2
. Điều này xảy ra khi m ≤

tÎ
[ ]
1,2
max f(t) = f(2) =
2
3

Vậy m ≤
2
3
thỏa mãn bài toán.

þ Bài 11. (Đại học khối A–2007)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

x+1
, vì x ≥ 1 nên 0 ≤ t <1
Xét hàm số f(t) = –3t
2

+2t trên [0;1)
f’(t) = –6t+2
Bảng biến thiên
t
0
1
3
1

f’(t)

+ 0 –

1
3
f(t)

0


2

– 1–x
2Ta có 1+x
2

≥ 1–x
2

Þ t ≥ 0 , t
2

= 2 – 2 1–x
4

≤ 2 , mặt khác t liên
tục trên [–1,1]
Þ Tập giá trị của t là [0; 2]
Phương trình (1) trở thành:
m(t+2) = –t
2

+t+2 Û
–t
2

+t+2

10
[0; 2]
min f(t) m

[0; 2]
max f(t)
Vy giỏ tr ca m cn tỡm l 21 m 1.

ỵ Bi 13. (i hc khi A2008)
Tỡm m phng trỡnh sau cú hai nghim thc phõn bit
4
2x + 2x + 2
4
6x + 2 6x = m (mẻR)
Gii
iu kin 0 x 6
Xột hm s f(x) =
4
2x + 2x + 2
4
6x + 2 6x trờn [0,6]
Ta cú f(x) = (2x)
1
4

+ (2x)
1

4

.(1) +
1
2
.2(6x)
1
2

(1)
=
1
2
.
1
4
(2x)
3

+
1
2x

1
2
.
1
4
(6x)
3

ổ
1
2x

1
6x
ứ
ữ
ử

=
ố
ỗ
ổ
1
4
2x

1
4
6x
ứ
ữ
ử
.
ở
ờ
ộ

1

4
6x
ỷ
ỳ
ự

f(x) = 0
1
4
2x

1
4
6x
= 0
4
2x =
4
6x x = 2
Bng bin thiờn
x 0 2 6

f(x)

+ 0
3 2+6 f(x)


þ Bài 14. Tìm m để phương trình
2+2sin2x = m(1+cosx)
2 có nghiệm trên đoạn
ë
ê
é
û
ú
ù
–p
2
,
p
2

Giải:
Dễ thấy với mọi m thì 1+cosx ≠ 0 (vì nếu 1+cosx = 0 thì vế trái bằng
2,vô lí)
Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2(1+sin2x)
(1+cosx)
2

= m
Đặt tan
x
2

4

–4t
3

+2t
2

+4t+1 trên
[ ]
–1,1

Ta có: f’(t)=(t–1)(t
2

–2t–1)=0 Û
ë
ê
é
t=1
t=1– 2

Bảng biến thiên:
x
–1 1– 2 1
f’(x)

– 0 +

f(x)

x+cos
2

x)
2

–2sin
2

xcos
2

x=m
2

cos
2

4x Û1–
1
2
sin
2

2x = m
2

cos
2


= 4m
2

(3)
Đặt t = cos4x, tÎ[–1,1]. Khi đó (3) có dạng:

3+t
t
2

= 4m
2

(4)
Xét hàm số f(t) =
3+t
t
2

trên [–1,1]. Ta có f’(t) =
–t–6
t
3

, f’(t) = 0 Û t = –
6
lim

t ® 0
+


f(t)
+∞
2
+∞ 4
Phương trình (1) có nghiệm x khi và chỉ khi phương trình (4) có nghiệm
tÎ[–1,1]
Từ kết quả bảng trên cần có 4m
2

≥ 2 Û |m| ≥
1
2

Vậy m ≤ –
1
2
và m ≥
1
2
thỏa mãn bài toán.

þ Bài 16. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
3
sin
2


t
với |t| ≥ 2 . Ta có f’(t) =
–3t
2

–4
t
2

< 0 "|t| > 2

______Chu Thanh Tip K59E C nhõn Toỏn HSPHN___________________________ 13

lim

t đ
f(t) = lim

t đ
4
t
2

3
1
t
= + ; lim

T bng trờn ta c m > 4 , m < 4 tha món bi toỏn.

ỵ Bi 17. Tỡm m phng trỡnh
3 tanx+1(sinx+2cosx) = m(sinx+3cosx) (1)
cú nghim duy nht thuc khong
ố
ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
0,
p
2

Gii:
Xột xẻ
ố
ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
0,
p
2
, khi ú sinx > 0, cosx > 0, tanx > 0 v sinx + 3cosx > 0

3
2 t+1
.
t+2
t+3
+
3 t+1
(t+3)
2

> 0, "t > 0
Bng bin thiờn
t 0 +

f(t)

+

f(t)
+ 2
ng vi mi t > 0 tha món phng trỡnh (3) ta c ỳng mt
nghim xẻ
ố
ỗ
ổ
ứ
ữ

x +
p
4
ứ
ữ
ử
cos
2ố
ỗ
ổ
2x +
p
4
ứ
ữ
ử
+ m = 0
Gii
Ta cú:
4sin3xsinx = 2(cos2x cos4x)
4cos
ố
ỗ
ổ
3x
p
4

ỳ
ự
= 2(sin2x + cos4x)

cos
2ố
ỗ
ổ
2x +
p
4
ứ
ữ
ử
=
1
2

ở
ờ
ộ
1 + cos
ố
ỗ
ổ
4x +
p

Khi ú sin4x = 2sin2xcos2x = t
2

1, phng trỡnh (1) tr thnh:
t
2

+4t+2m2 = 0 t
2

+4t = 22m (2)
Xột hm s f(t) = t
2

+4t trờn [ 2, 2] , f(t) = 2t+4
Bng bin thiờn
x
2 2

f(x)

+

f(x)

2+4 2
24 2


+9t+1) > 9t+1 Û a >
9t+1
t
2

+9t+1

(1)
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x Û (1) đúng với mọi t > 0
Xét hàm số f(t) =
9t+1
t
2

+9t+1

Ta có f’(t) =
–9t
2

–2t
(t
2

+9t+1)
2

< 0 "t > 0
Bảng biến thiên

2

+m+1
Giải:
Do m
2

+m+1 > 0 với mọi m nên phương trình đã cho tương đương với
phương trình sau:
f(x) = |x
2

–2x| = log

1
3
(m
2

+m+1) (1)
Ta có bảng sau:
x 0 1 2
f(x)

x
2

–2x 2x–x
2


1
3
< m
2

+m+1 < 1 Û –1 < m < 0.

______Chu Thanh Tiệp – K59E Cử nhân Toán – ĐHSPHN___________________________ 16

þ Bài 21. Cho phương trình
log
22
x+log

1
2
x
2

–3 = m(log


x–3)
2

(2)
Đặt t = log

2
x (t ≥ 5), (2) trở thành:
t
2

–2t–3 = m
2

(t–3)
2

Û m
2

=
t+1
t–3
(3)
Xét hàm số f(t) =
t+1
t–3
với t ≥ 5
f’(t) =
–4

3

<3mx+1

Giải
Với mọi m, x = 0 không phải là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương
đương với hệ
ë
ê
é
(I)
(II)
với: (I)
î
í
ì
–1<x<0
m>
–x
3

+1
3x
(II)
î
ï
í
ï
ì
0<x<

17t
–1 0
1
3f’(t) + +

f(t)
+∞ 0 –
28
27

–∞
Từ bảng biến thiên suy ra hệ (I) có nghiệm khi m > 0, hệ (II) có
nghiệm khi m < –
28
27
.

þ Bài 23. Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

2x
2

y=y
2

+a
22y
2

x=x
2

+a
2x>0;y>0
Û
î
í
ì
2x
2

y=y
2

2

(1) có một nghiệm x > 0
Xét hàm số f(x) = 2x
3

–x
2

trên (0,+∞) , f’(x)=6x
2

–2x
Bảng biến thiên
x
0
1
3
+∞
f’(x)

0 – 0 +

f(x)

+∞
0
–
1
27

1
y
=5
x
3

+
1
x
3

+y
3

+
1
y
3

=15m10

Gii
T phng trỡnh u ta cú: y +
1
y
= 5
ố
ỗ
ổ
x +

ỗ
ổ
y +
1
y
ứ
ữ
ử
2

3
ỷ
ỳ
ự
= 15m10 (2)
Th y +
1
y
t (1) vo (2) ta c
x
3

+
1
x
3

+
ở
ờ

ố
ỗ
ổ
x +
1
x
ứ
ữ
ử
+ 22
ỷ
ỳ
ự
= 15m10

ố
ỗ
ổ
x +
1
x
ứ
ữ
ử
.
ở
ờ
ộ
ố
ỗ

.
ở
ờ
ộ
ố
ỗ
ổ
x +
1
x
ứ
ữ
ử
2

10
ố
ỗ
ổ
x +
1
x
ứ
ữ
ử
+ 22
ỷ
ỳ
ự


2

, t = 0 x = 1
x 1 0 1 +

f(x)

+ 0 0 + f(x)
2

+
+ 2
T bng trờn ị tẻD = (,2]ẩ[2,+)
Xột hm s f(t) = t
2

5t+8 trờn D. Ta cú f(t) = 2t5
Bng bin thiờn
t
2 2
5

ỵ Bi 25. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m h phng trỡnh sau cú nghim
ợ
ớ
ỡ
x
3

y
3

+3y
2

3x2=0
x
2

+ 1x
2

3 2yy
2

+m=0

Gii
iu kin: 1 Ê x Ê 1, 0 Ê y Ê 2
Phng trỡnh th nht ca h tng ng vi:
x
3

ố
ỗ
ổ
1+
1
1x
2

ứ
ữ
ử
, g(x) = 0 x = 0
Bng bin thiờn
x
1 0 1
f(x)

0 +

f(x)

1 1 2
(3) cú nghim trong [1,1] 2 Ê m Ê 1 1 Ê m Ê 2.

ỵ Bi 26. (i hc Cn Th 2001)
Xỏc nh mi giỏ tr ca tham s m h sau cú hai nghim phõn bit:
ợ

Bin i bt phng trỡnh trong h:
log

3
ố
ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
x+1
x1
> log

3
2
x+1
x1
> 2 x < 3
Kt hp iu kin ta c 1 < x < 3
t y = x
2

2x+5 vi xẻ(1;3)
______Chu Thanh Tiệp – K59E Cử nhân Toán – ĐHSPHN___________________________

2
y Þ tÎ(2,3)
Phương trình của hệ trở thành:
t–
m
t
= 5 Û t
2

–5t = m (*)
Xét hàm số f(t) = t
2

–5t trên (2,3) , f’(t) = 2t–5
Bảng biến thiên
t
2
5
2
3

f’(t)

– 0 + f(t)

–6 –