143
C. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Cách giải cũng giống như giải biện luận các phương trình
khác.
Nói chung ta phải giải quyết 3 vấn đề:
* Điều kiện có nghiệm
* Có bao nhiêu nghiệm
* Nghiệm số bằng bao nhiêu.
Giả sử xét phương trình:
AB (1)=
2
B0 (2)
(1)
AB (3)
≥
⎧
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩

Bước 1
: Giải phương trình (3). Điều kiện có nghiệm của (3) và
số nghiệm .
Bước 2
: Chọn nghiệm thỏa điều kiện (2), có nhiều cách, tổng

−≥
⎧
⎪
⇔−+=−⇔
⎨
−+=−
⎪
⎩

x3
4x 5
5
x3
x (loại)
4
≥
⎧
=
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
≥
=
⎩
⎪
⎩

. Xét x < 1:
x10:−<

x1:(1) x 2xm x1m≥⇔−+=−−
22 2
x1m 0
x1m
2mx 2m 1 (3)
x2xm(x1m)
−− ≥
⎧
≥+
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=+
−+ =−−
⎪
⎩
⎩

+ Nếu m = 0: (3) VN
+ Nếu
2m 1
m0:(3) x
2m
+
≠⇔=
vì
2
2m 1 2m 1
x1m 1m 0

22
(1) x 2x m 1 x m⇔−+=−−

22 2
2mx 2m 1
x2xm(1xm)
(4)
x1m
1xm 0
⎧
=−
⎧
−+ =−−
⎪
⇔⇔
⎨⎨
≤−
−− ≥
⎪
⎩
⎩

+ Nếu m = 0: (4) VN

145
+ Nếu
m0≠
: (4)
2m 1
x

=

Khi
2
m0m
2
≤∨ > VN.
Tóm lại :
2
0m
2
<≤ nghiệm :
2m 1
x,
2m
+
=

2m 1
x,
2m
−
=

2
m0n :
2
≤∨> VN
Ví dụ 2:


(1 m) (1 m) 3m 10m 3
1
0m3m
3
∆= + − − =− + −
∆= ⇔ = ∨ =

. Nếu
1
m3:(*)VN
3
<<

146
. Nếu
1
0m m3:(*)
3
<<∨>
có 2 nghiệm
2
1m 3m 10m3
x
1m
+ ±− + −
=
−

. m = 3 ⇒ x
1

3x 1 2x 1
0
2x 1
2x 1
−>
⎧
−
⎪
=−⇔
⎨
−− +
=
−
⎪
−
⎩

2
1
1
x
x
2
2
22
3x 2x
x0x x
0
33
2x 1

2x 1
−
⇔=
−

Nhận xét với x = 0:
0
(*) 0
1
⇔ =
−
(vô lý)
⇒
x = 0 không là nghiệm của (*)
⇒
x0:
≠
(*)
3x 2
a
2x 1
−
⇔=
−

Đặt
3x 2
f(x)
2x 1
−

>
)
⇒

1
x
3
=
(loại)
f'(x) 0
⇒>
khi
1
x
2
>

BBT:

BBT cho a R
∀∈
, phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4:

Với những giá trò nào của a thì phương trình:
33
1x 1x a
−+ +=
có nghiệm .
(ĐH Ngoại Thương TPHCM năm 1998 Khối D)

f'(x)
3(1x) 3(1x) 3(1x)(1x)
−+ + −
−−
=+=
−+ −+

22
f'(x) 0 (1 x) (1 x) x 0=⇔ − =+ ⇔=

BBT:

BBT cho ta phương trình có nghiệm khi 0 a 2<≤

148
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
3.1. Cho phương trình:
2
2
2
aa
xx x
x1
(x 1)
++ =−
−
−
(1)
1. Giải phương trình (1) khi a = 1
2. Giải và biện luận phương trình (1) theo tham số a.

x1xx1xm+ −+ + −=
(*)
1. Giải phương trình (*) khi
m222=+

2. Đònh m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất. 149
3.7. Giải phương trình :
23 3 2
11x (1x) (1x) 21x
⎡⎤
+− + − − =+−
⎢⎥
⎣⎦
150
HƯỚNG DẪN VÀ TÓM TẮT

3.1.
2
2
2
aa
xx x
x1
(x 1)

a x(x12a)
x2x 0 0
x1 x1
−+
⇔ +=⇔ =
−−
x0
x12a
=
⎡
⇔
⎢
= −
⎣1. Khi a = 1: x = 0, x = - 1
2
1xx1 15 15
(1) x 0 x 1 x
x1 x1 2 2
−− − +
⇔≥ ⇔ ≥⇔ ≤<∨≥
−−

⇒ nghiệm của phương trình : x = 0

2. Giải và biện luận phương trình :
Điều kiện
2

a
4
= : 2 nghiệm
.
3
a
4
> : 1 nghiệm .

3.2.
1.
yx13x=−+− Điều kiện
x10
1x3
3x0
−≥
⎧
⇔≤ ≤
⎨
−≥
⎩

Mxđ:
[ ]
D1,3=
113xx1 2x4
y'
2x1 23 x 2x13 x 2x13 x(3 x x1)
−− − − +
=−= =

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

f'(t) t 1=− +
,
f'(t) 0 t 1=⇔=152
BBT:

BBT
(*)⇒
có nghiệm
1m 2⇔≤ ≤3.3.
3
22
1x 21x a− +−=
(1) MXD:
[ ]
D1,1=−

Đặt
3
22
f(x) 1 x 2 1 x= −+ −

' m m 4m 3 2(m 1) 1 0, m∆ =+−+= −+>∀

Vậy: m < 2: phương trình (1) VN
. m 2≥ : phương trình (1) có 2 nghiệm
2
1
x m 2m 4m 3= +−+,
2
2
x m 2m 4m 3= −−+