CHỦ ĐỀ 7: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Phép thử ngẫu nhiên.
+/ Phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà
- Kết quả của nó không đoán trước được.
- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử
đó
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian
mẫu của phép thử, kí hiệu là
Ω
2/ Biến cố.
+/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của
A tuỳ thuộc vào kết quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra , được gọi là một kết quả thuận
lợi cho A.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là
Ω
A
Khi đó ta nói biểu cố A được mô tả bởi tập hợp
Ω
A.
3/ Xác suất của biến cố.
+/ Định nghĩa cổ điển.
Giả sử phép thử T có không gian mẫu
Ω
là một tập hợp hữu hạn và các kết quả
của T là đồng khả năng.
Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và
Ω
A.
là tập hợp các kết quả thuận lợi

1/ Xây dựng không gian mẫu.
2/ Gọi các biến cố
A. “Lần đầu gieo xuất hiện mặt sấp”
B. “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
C. “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
-Mô tả các tập
Ω
A.
,
Ω
B
,
Ω
C
.?
-Tính P(A), P(B), P(C)?
Giải
Ta ký hiệu S là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp và N là chỉ đồng tiền xu xuất hiện
mặt ngửa.
1/ Không gian mẫu.
Ω
=
{ }
SSS,SSN,SNS,SNN,NSN, NNS, NSS,NNN
Và
Ω
= 8
2/
+/ Với biến cố A; “ lần đầu tiên gieo xuất hiện mặt sấp”
Ta có

Ta có;
Ω
C
=
{ }
SSN,SNS,SNN,NSN, NNS, NSS,NNN
Ω
C
= 7
⇒
P(C) =
7
8
Ví dụ 2
Điểm bài kiểm tra học kỳ I của hai môn Toán, Văn của 10 học sinh như sau;
Môn Toán ; 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10
Môn Văn ; 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10
2
Rút ngẫu nhiên từ tập bài đó mỗi môn một bài. Tìm xác suất để trong hai bài rút ra
1/ Có đúng một bài điểm 5
2/ Có đúng một bài điểm 10
3/ có ít nhất một bài đạt điểm 10
Giải
+/ Ta ký hiệu T là phép thử “ Rút ngẫu nhiên từ tập bài thi, mỗi bài có một bài”
Biến cố A; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 5”
Biến cố B; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 10”
Biến cố C; “ Trong hai bài rút ra, có ít nhất một bài đạt điểm 10”
+/ Do có 10 bài thi môn toán , 10 bài thi môn Văn nên không gian mẫu
Ω
của phép

C
Ω
= 24 + 14 + 6 = 44
⇒
P(B) =
44
100
= 0,44
Ví dụ 3
Trong một hộp có 10 con số; 0, 1, 2….9 . Lờy ngẫunhiên 4 con số trong hộp và
xếp lại thành dãy.
Tìm xác suất đê số xếp được là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hét cho 5.
Giải
+/ Gọi phép thử T “ Lấy ngẫu nhiên 4 con số trong hộp”
Gọi biến cố A; “ Xếp được số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5”
+/ Khi đó không gian mẫu
Ω
, có
Ω
= A
4
10
= 5040
3
+/ Ta đi tìm số các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5(Thực chất là tìm
A
Ω
)
Số này có dạng
abc0

2
20
= 190
1/
+/ Gọi biến cố A ; “ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.”
⇒
A
Ω
= C
1
11
. C
1
9
= 99
⇒
P(A) =
99
190
2/
+/ Gọi biến cố B; “ Hai em đều thi đấu điền kinh”
⇒
B
Ω
= C
2
9
= 36
⇒
P(B) =

Môn Toán ; 8, 9, 12, 15, 15, 17, 18, 19, 19, 19.
Môn Văn ; 7, 10, 15, 16, 18, 18, 18, 19, 19, 20.
Rút ngẫu nhiên mỗi túi một bài thi. Tìm xác suất để.
1/ Cả hai bài đều đạt 19 điểm.
2/ It nhất một bài đạt 19 điểm.
3/ Tổng số điểm thi của hai bài bằng 35.
Bài 4
Trong một trận thi đấu bóng đá , tuổi của 11 cầu thủ thi đấu trên sân như sau.
Đội 1; 17, 17, 18, 19, 19, 19, 22, 23, 24, 24,26.
Đội 2; 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 22, 24, 25, 30.
Khai mạc trận đấu , các cầu thủ của hai đội lần lượt bắt tay nhau ( mỗi cầu thủ của đội
này lần lượt bắt tay với từng cầu thủ của đội kia).
Tìm xác suất để2 cầu thủ bắt tay cùng tuổi.
Bài 5
Cho một khối lập phương mà các mặt của nó đều được sơn. Cưa khối lập
phương đó thành 1000 khối lập phương nhỏ như nhau.
1/ Lấy ngẫu nhiên 1 khối nhỏ. Tìm xác suất để khối đó có hai mặt được sơn.
2/ Lấy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ. Tìm xác suất để 2 khối đó có 1 mặt được sơn.
3/ Lấy ngẫu nhiên 3 khối nhỏ. Tìm xác suất để cả 3 khối đó không có mặt nào được
sơn.
Bài 6
Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước 5 cm . 10 cm . 15 cm. Hai mặt
đáy được sơn màu xanh và các mặt xung quanh được sơn màu vàng . Cưa khối đó
thành 750 khối lập phương nhỏ như nhau. Lờy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ.
Tìm xác suất để;
1/ Một khối không có mặt nào được sơn và một khối kia có 2 mặt được sơn.
2/ Cả hai khối đều chỉ có 1 mặt được sơn màu vàng còn 5 mặt kia không được sơn.
Bài 7
Trong một hộp khối kín có 9 bi màu xanh và 6 bi màu trắng kích thước như
nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp đó.

Hai biến cố A và B xung khắc
A B
W W
⇔ ∩ = ∅
.
c. Quy tắc cộng xác xuất:
+/ Nếu 2 biến cố đối A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B
xảy ra là :

P(A B) P(A) P(B)∪ = ∪
+/ Mở rộng : Cho k biến cố
1 2, k
A ,A A
đôi 1 xung khắc
khi đó
1 2 k 1 2 k
P(A A A )P(A ) P(A ) P(A )∪ ∪ + + +
.
d. Biến cố đối :
+/ Cho A là một biến cố khi đó biến cố không xảy ra A kí hiệu là
A
,
được gọi là 1 biến cố của A.
Ta có tập các kết quả thuận lợi cho
A
là :

A
A
\W W W

và
B
cũng độc lập với
nhau.
c. Quy tắc nhân xác suất
+/ Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB) P(A).P(B)
=
+/ Nếu P(AB)
≠
P(A).P(B) thì A và b không độc lập với nhau.
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN:
+/ Diễn đạt được nội dung các biến cố hợp,biến cố giao biến cố đối.
+/ Vận dụng các quy tắc cộng,nhân để giải toán.
III MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Hai khẩu cao xạ cùng bắn vào 1 chiếc máy bay 1 cách độc lập với
nhau xác suất trúng đích của khẩu thứ nhất là 0.75, khẩu thứ 2 là 0.65
Máy bay bắn rơi nếu đồng thời cả 2 khẩu bắn chúng. Tính xác suất
để máy bay bắn rơi.
Giải:
+/ Ta kí hiệu biến cố:

1
T
: “Khẩu thứ nhất bắn trúng máy bay”.

2
T
: “Khẩu thứ hai bắn trúng máy bay” .


2
T
)= P(
1
T
).P(
2
T
)=0.75
×
0.65=0.4875.
Ví dụ 2: Một nhóm học sinh giỏi gồm 60 học sinh trong đó có 40 học sinh
7
giỏi toán,30 học sinh giỏi lý và 20 học sinh giỏi toán và lý.Chọn ngẫu nhiên 1
học sinh. Tính xác suất để :
1/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi toán.
2/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi lí.
3/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi cả toán và lý.
Giải:
Gọi A,B,C,D là các biến cố ứng với 4 câu hỏi trong bài toán.
Ta có :
1/ P(A)=
40 2
60 3
=
.
2/ P(B)=
30 1
60 2
=

+/ Ta có
| | 10W =A
| | 6W =

6 3
P(A)
10 5
⇒ = =
.

B
A B
/ MÆt kh¸c | | 5
| | 3 .
W
W
∩
+ =
=

5 1
P(B)
10 2
⇒ = =
,
3
P(A B)

B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Văn” .

2
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Sử” .

3
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Địa” .
Khi đó các biến
i j
A ,B ,(i,j 1,2,3) lµ ®éc lËp=
.
1/ Ta cần tính
1 1
P(A B )
,
1 1 1 1
1 1 1
P(A B ) P(A )P(B ) .
4 4 16
= = =
.
2/ Biến cố “Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó”, là

( ) ( )
1 2 3 1 2 3
A A A B B B∪ ∪ ∩ ∪ ∪
.

∩ = = = ×
 ÷
 
4/ +/ Biến cố “Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một
môn”., là
A B∪
.

( ) ( ) ( ) ( )
/ T a cã P A B P A P B P AB
1 1 1 3
2 2 4 4
+ ∪ = + −
= + − = ×

III. BÀI TẬP.
9
Bài 1: Trong một hộp kín có 15 quả cầu kích thước như nhau.Trong đó có 5
viên màu xanh ,10 viên màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 quả.
Tìm xác suất để
1. Ba quả cầu lấy ra không cùng màu.
2. Ba quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu xanh.

Bài 2: Trong một phân xưởng có 10 máy hoạt động.Xác suất để trong 1 ca có 1 máy
phải sửa là 0,2 ; xác suất để có 2 máy phải sửa là 0,3 ; vấc suất để có nhiều hơn
hai máy phải sửa là 0,07. Tìm xác suất để trong 1 ca phân xưởng đó không có
máy phải sửa.

Bài 3: Trong 1 phân xưởng có 3 máy làm việc độc lập với nhau.Trong 1 ca sản xuất
xác suất để máy 1 phải sửa là 0,12 ; máy 2 phải sửa là 0,18 ; máy 3 phải sưa là

xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15;và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8
là 0,4.
Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất là 28 điểm.

Bài 11: Một máy bay có 5 động cơ, trong 2 động cơ ở cánh phải, hai động cơ ở nhánh
trái và 1 động cơ ở thân đuôi.Mỗi động cơ ở cánh phải và ở thân đuôi có xác suất bị
hỏng là 0,1 ; còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,05. Các động cơ
hoạt động độc lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các
trường hợp.
1/ Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc.
2/ Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm
việc.

Bài 12 : Một xí nghiệp xản suất bóng đèn có 4 phân xưởng. Khi xuất xưởng, tỉ lệ
chính phẩm của mỗi phân xưởng như sau:
Phân xưởng I đạt 99,7% ; phân xưởng II đạt 99,85% ; phân xưởng III đạt
99,65% và phân xưởng IV đạt 99,9% .Lấy ngẫu nhiên mỗi phân xưởng 1 sản
phẩm.Tìm xác suất để trong số lấy ra
1/ Có 4 sản phẩm đều là phế phẩm.
2/ Có đúng 2 chính phẩm .
Bài 13: Tỷ lệ thí sinh trúng tuyển vào đại học là 20%. Rút ngẫu nhiên một hồ sơ trong
số hồ sơ của thí sinh dự thi cho đến khi được hồ sơ của thí sinh trúng tuyển thì dừng
lại. Tìm xác suất để phải rút đến lần thứ tư.
Bài 14: Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với nhau.
Xác suất trúng đích của xạ thủ thứ nhất là 0,85 ,xạthủ thứ 2 là 0,75
Tìm xác suất để :
1/ Người thứ nhất bắn 3 phát đầu, có 1 phát trúng đích .
2/ Người thứ 2 bắn 3 phát đầu, có hai phát trúng đích.
3/ Cả 2 người bắn trúng ngay từ phát đầu tiên .
4/ Ít nhất một người bắn trúng đích khi mỗi người bắn 1 phát.