Giáo án BDHSG Toán 6
Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a
M
d và b
M
d thì ma
±
nb
M
d với m, n
∈
Z
+) Nếu a
M
m thì a
±
md
M
d .
với m
∈
Z
+)
a
b
là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8.
Hướng dẫn

Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để
19
2
n
n
+
−
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Ta có:
19
2
n
n
+
−
=
2 21 21
1
2 2
n
n n
− +
= +
− −
Để
19
2
n

≠
3k + 2 (k
∈
N) và n
≠
7p + 2 (p
∈
N) thì
19
2
n
n
+
−
tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được.
Hướng dẫn
Để
4 5
5 4
n
n
+

Vậy với n = 3k + 1 (k
∈
N) thì
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
1
Giáo án BDHSG Toán 6
Hướng dẫn
Ta có:
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−

1; 3
⇒
n
∈
{ }
3; 5
Vậy với n
∈
{ }
3; 5
thì
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản.
Hướng dẫn
Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2
⇒

c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.
Hướng dẫn
Ta cú:
34
187
2
34
187)34(2
34
1938
+
+=
+
++
=
+
+
=
nn
n
n
n
A
a) Để A
∈
N thì 187

4n + 3
⇒
4n +3

⇒
4n + 3
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4n + 3 - 11
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3 - 51
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4(n – 2)
≠
11k (k
∈
N) và 4(n – 12)
≠
17m (m
∈
N)

3≠n
)
a) Tìm
n
để A có giá trị nguyên.
b) Tìm
n
để A là phân số tối giản.
Hướng dẫn
a) Ta cú:
3
4
1
3
43
3
1
−
+=
−
+−
=
−
+
=
nn
n
n
n
A

M
2
⇔
n là số chẵn
Bài 8: Cho phân số:
314
421
+
+
n
n
. Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4

d và 14n + 3

d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1

d
⇒
d = 1
Vậy
314
421
+
+
n

1
1
)1)(1(
)1)(1(
2
2
2
2
++
−+
=
+++
−++
aa
aa
aaa
aaa
(a ≠ -1)
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a
2
+ a – 1 và a
2
+a +1
Vì a
2
+ a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a
2
+a +1 – (a
2

+
là số nguyên
Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau
+ Hai phân số
a c
b d
=
nếu a.d = b.c
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên x biết
3
Giáo án BDHSG Toán 6
a)
5
12 72
x
=
b)
3 1
15 3
x + −
=
Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết
12 21
16 4 80
x z
y
−
= = =
−

+ Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng
thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho
:
:
a a n
b b n
=
( với n
∈
ƯC(a ; b ) )
2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của
nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1)
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ưóc chung của tử
và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với
ước chung lớn nhất của chúng.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau
a)
23 2323 232323
; ;
99 9999 999999
b)
9909 29727 39636
; ;
8808 26424 35232
Bài 2: Tìm phân số bằng phân số
11
15

Bài 2: Cho phân số B =
4
n
n −
( với n
∈
Z )
a) Tìm số nguyên n để B là một phân số
b) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên
Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
a)
2011
10 2
3
+
b)
2010
10 8
9
+
Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
15
15 25
x
=
−
b)
36 44
2 77y

a)
1999 9
9999 95
( có 10 chữ số 9 ở tử và 10 chữ số 9 ở mẫu )
b)
121212
424242
c)
3.7.13.37.39 10101
505050 70707
−
+
Bài 9*: Tìm các phân số
a
b
có giá trị bằng
a)
36
45
và BCNN (a ; b ) = 300 b)
21
35
và ƯCLN( a;b ) = 30
c)
15
35
biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549
Bài 10: Cho phân số
1 2 3 9
11 12 13 19

n
+
+
rút gọn được
Bài 12*Cho p =
4
2 1
n
n
+
−
( với n
∈
Z ) . Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố
Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên
a)
12
3 1n −
b*)
2 3
7
n +
c)
3
2 2
n
n
+
−
Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản

b)
2 3
3 5
n
n
+
+
( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản
Bài 16: Rút gọn cá phân số sau:
a)
22
36
−
b)
147
234
c)
143
363
−
Bài 17: Rút gọn cá phân số sau:
a)
4.7.22
33.14
b)
5 4
6
3 .2
8.3
c)

ab
cd
và
abab
cdcd
6
Giáo án BDHSG Toán 6
7