•
1. Định lý Ceva
•
2. Định lý Menelaus
•
3. Định lý Ptolemy
•
4. Định lý Simson
•
5. Định lý Talet
Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học
cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F
lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB.
Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và
CF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi:
Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách
tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng
qui khi và chỉ khi:
Định lí được chứng minh lần đầu tiên bởi Giovani
Ceva trong tác phẩm De lineis rectis viết năm 1678
của Ông.
Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh tam
giác với một điểm nằm ở phía đối diện.
·
·
·
·
·
·
sin sin sin

(1.3)
Chúng ta sẽ chứng minh rằng (1) dẫn
đến (2), (2) dẫn đến (3), và (3) dẫn đến
(1).
Giả sử (1) đúng. Gọi P là giao điểm
của AD, BE, CF. Theo định lý hàm số
sin trong tam giác APD, ta có:
·
·
·
·
sin sin
.
sin sin
ABE ABP AP
BP
DAB BAP
= =
(1)
(1)
Tương tự, ta cũng có:
·
·
sin
;
sin
BCF BP
CP
EBC
=

sin sin
ADB AB CAD CD
DB CA
BAD ACD
= =
Do đó:
·
·
sin
. .
sin
CAD AB CD
CA DB
BAD
=
·
·
( )
0
180BDA ADC
+ =
(4)
Tương tự, ta cũng có:
·
·
sin
. .
sin
BCF CA BF
BC FA

.
CD
CD
D B DB
=
Do đó:
1
D D
≡
Nhận xét.
Với định lý Ceva, ta có thể chứng minh được các đường
trung tuyến, đường cao, đường phân giác trong của tam giác
đồng quy tại một điểm. Các điểm đó lần lượt là trọng tâm (G),
trực tâm (H), tâm đường tròn nội tiếp tam giác (I). Nếu đường
tròn nội tiếp tam giác ABC cắt AB, BC, CA lần lượt là tại F, D,
E. Khi đó, ta có: AE=AF; BF=BD; CD=CF. Bằng định lý Ceva,
ta chứng minh được AD, BE, CF đồng quy tại một điểm, điểm
đó gọi là điểm Gergonne (Ge) của tam giác ABC (hình dưới).
Lưu ý: Định lý Ceva có thể được suy rộng bởi những giao
điểm nằm ngoài tam giác ABC mà không nhất thiết
phải nằm trong nó. Vì vậy, các điểm D, E, F có thể nằm
ngoài các cạnh BC, CA, AB.
Ví dụ sau sẽ cho thấy rõ tác dụng của định lý Ceva.
Bài toán. [IMO 2001 Short List] Cho điểm A1 là tâm của hình
vuông nội tiếp tam giác nhọn ABC có hai đỉnh nằm trên cạnh
BC. Các điểm B1, C1 cũng lần lượt là tâm của các hình
vuông nội tiếp tam giác ABC với một cạnh nằm trên AC và
AB. Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy.
Lời giải:
Gọi A2 là giao điểm của AA1 và BC. B2 và C2

( )
1 2
0
1
sin
sin 45
TA CAA
AA
C
=
+
hay
µ
( )
·
0
1
1
2
sin 45
sin
C
AA
TA
CAA
+
=
Do đó, ta được
·
·

0
2
0
2
sin 45
sin
. 1.
sin
sin 45
B
BCC
ACA
A
+
=
+
·
·
µ
( )
µ
( )
0
2
0
2
sin 45
sin
. 1.
sin

Phần thuận:
Sử dụng định lý sin trong các tam giác AGH, BFH, CGF, ta được:
·
·
·
·
·
·
sin sin sin
; ;
sin sin sin
AH AGH BF BHF CG GFC
GA HB FC
AHG HFB CGF
= = =
với lưu ý:
·
·
·
·
·
·
sin sin ;sin sin ;sin sin .AGH CGF AHG BHF HFB GFC
= = =
Nhân từng vế ta được điều phải chứng minh.
Phần đảo: Gọi
' .F GH BC
=
I
Hoàn toàn tương tự ta có được:

= = =
I I I
Chứng minh rằng P, Q, R thẳng hàng.
Chứng minh:
Gọi
, , .X EF AB Y AB CD Z CD EF
= = =
I I I
Áp dụng định lý Menelaus cho BC, DE, FA
(đối với tam giác XYZ),
ta có:
( )
. . . . . . 1 .
ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA
QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY
= = = −
P
Y
Z
R
Q
O
F
A
C
D
E
B
X
Do đó:

Có :
Nên đồng dạng với:
Do đó ta có:
Lại có
Và: Nên
Suy ra: hay
Từ và suy ra:
Vậy đẳng thức Ptô –lê- mê được chứng minh
AC.BD=AB.CD+AD.BC

II. Bất đẳng thức Ptolemy.
•
Dựng điểm M sao cho. .
•
ta có
•
Suy ra BA.CD = MA.BD (1)
•
Mặt khác, do có
•
và ∠MBC = ∠ABD
•
Từ đó
•
• Suy ra AD.BC = MC.BD (2)

Cộng (1) và (2) ta suy ra AB.CD + AD.BC = BD.(MA+MC)
•
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD.
BA BD

• Cộng các bất đẳng thức lại và áp dụng bất đẳng thức Nesbit :
Dấu = xảy ra  dấu = ở 3BĐT Ptolemy và ở BĐT Nesbitt.
Dấu = ở BĐT Nesbit xảy ra đều
. Vì ACDE nội tiếp . Tương tự
(Các cân.)
•  ABCDEF là lục giác đều.
Bài toán 1: (IMO SL 1997) Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF
= FA. Chứng minh rằng Dấu bằng xảy ra khi nào?
BC DE FA 3
+ +
BE DA FC 2
≥
DE CE
DA (AC + AE)
≥
FA EA
FC CE + CA
≥
BC EA
BE EA + EC
≥
BC DE FA CE EA CA 3
+ + + +
BE DA FC AC + AE CE + CA EA + EC 2
≥ ≥
ACE⇔ ∆
¼
60CAE⇔ = °
¼
CDE 120= °

   
 ÷  ÷
   
BC +CA BC +AB CF +CA BE + AB AF AE
= MB + MC. = MB. + MC. = MB + MC (1)
BC BC BC BC BC BC
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
AF AF AE EF EF(2)
MB MC MB MC BC
AE
BC BC BC BC BC
 
+ ≤ + + + = + =
 ÷
 
⇒ ≤MA+ MB + MC EF
¼
¼
⇔ ⇔ ∆ ∆ ⇔
MB AF
= MBC AFE MBC = AFE
MC AE
:
•
Chứng minh:
Đặt
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác

, P
3

thẳng hàng. (Đường thẳng đi qua 3 điểm P
1
, P
2
, P
3
được gọi là
đường thẳng Simson
của tam giác ABC ứng với điểm P)
Cách chứng minh tương tụ chứng minh định lý thuận
1 2
P CPP
¼
¼
2 1 1
CP P = P PC
⇒
3 2
AP PP
¼
¼
3 2 3
P P A = APP⇒
¼
¼
3
P AP PCB⇒ =

Tương tự ta cũng có AHE =∠
•
Do đó DHE = AHD + AHE = AH1P + ∠ ∠ ∠ ∠
• = 180. Suy ra D, H, E thẳng hàng.
•
Chứng minh tương tự ta cũng có D, H, F thẳng hàng.
•
Vậy D, E, F cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó luôn đi qua trực tâm H của tam
giác ABC
2
AH P∠
1
AH P∠
2
AH P∠
đường thẳng Simson
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P là một điểm thuộc đường tròn, lấy Q
thuộc (O) sao cho đường thẳng CQ và CP đối xứng nhau qua phân giác góc C. Khi
đó CQ vuông góc với đường thẳng simson của tam giác ABC ứng với điểm P.
1 2 2 1 1 1
2 1
P P C + P CP = P PC + PCP = 90
P P C = 90
CQ
∠ ∠ ∠ ∠
⇒ °
⇒ ⊥
ABC
∆