1
500 b.toán câu 1b trong đề thi ĐH
GV: Trần Điện Hoàng. Giảng viên trường ĐHCN Tp Hồ Chí Minh
Chuyên dạy LTĐH theo từng chủ đề. Nhận HS đầu tháng.
Địa chỉ: 435/18/6 Lê Văn Thọ - F9 – Gò Vấp – Tp Hồ Chí Minh.
ĐT: 0942. 667.889

Phần 2: TIẾP TUYẾN
A. Kiến thức cơ bản
• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số
y f x
( )
=
tại điểm
x
0
là hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm
(
)
M x f x
0 0 0
; ( )
. Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C)
tại điểm
(
)
M x f x
0 0 0
; ( )
là:


=

f x g x
f x g x
( ) ( )
'( ) '( )
(*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai
đường đó.
B. Một số dạng thường gặp và cách giải:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
tại điểm
M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈
:

•
Nếu cho
x
0

.

•
Phương trình tiếp tuyến
∆
là:
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)
′
=
.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

•
Gọi

. Từ đó viết phương trình của
∆
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

•
Phương trình đường thẳng
∆
có dạng:
= +
y kx m
.

•

∆
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

= +

=

f x kx m
f x k
( )
'( )
(*)

•
Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của

= −
k
a
1

+.
∆
tạo với đường thẳng
= +
d y ax b
:
một góc
α
thì
−
=
+
k a
ka
tan
1
α

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )

=
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)•

∆
đi qua
A A
A x y
( ; )
nên:
′
=
A A
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)
(2)

•
Giải phương trình (2), tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình của
∆

( ) ( )
'( )

2

•
Giải hệ trên, tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
∆
.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
tạo với trục Ox một góc
α
αα
α
.

•
Gọi

Phương trình tiếp tuyến
∆
tại M:
′
=
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)

Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
tạo với đường thẳng d:
y ax b
= +

một góc
α
αα
α

α
. Giải phương trình tìm được
x
0
.

•
Phương trình tiếp tuyến
∆
tại M:
′
=
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)

Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
=
y f x
( )
, biết
∆
∆∆
∆
cắt hai trục toạ độ tại A và B sao


•

= ⇔ =
OAB
S S OA OB S
. 2
∆
. (b)

•
Giải (a) hoặc (b) tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
∆
.
Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
= =
C y f x C y g x
1 2
( ) : ( ), ( ) : ( )
.
a) Gọi
∆
:
= +
y ax b
là tiếp tuyến chung của (C
1



f u au b
f u a
g v av b
g v a
( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)

• Từ (2) và (4) ⇒
′ ′
= =
⇒
f u g v u h v
( ) ( ) ( )
(5)
• Thế a từ (2) vào (1)
⇒

=
b k u
( )
(6)
• Thế (2), (5), (6) vào (3)
⇒
v
⇒
a

( ; )
∈ (C). ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính
′
f x
0
( )
.
• Vì ∆ // d nên
′
=
d
f x k
0
( ) (1) hoặc ∆ ⊥ d nên
′
= −
d
f x
k
0
1
( )
(2)

•
Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được
x
0
. Từ đó tìm được
M x y

•

∆
tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

= − +

=

M M
f x k x x y
f x k
( ) ( ) (1)
'( ) (2)•
Thế k từ (2) vào (1) ta được:
′
= +
M M M
f x x f x y
x( ) )( – . ( )
(3)

•
Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Dạng 10: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C):
=


M M
f x k x x y
f x k
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
Th k t (2) vo (1) ta c:

= +
M M M
f x x f x y
x( ) )( . ( )
(3)


Qua M v c 2 tip tuyn vi (C)

(3) cú 2 nghim phõn bit
x x
1 2
,
.


Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau



( ; ) ( )

:
1.
(ĐH Thái Nguyên 2001) Cho đồ thị (C):
24
2xxy
+=
.Viết phơng trình tiếp tuyến tại
(
)
0;2A
.
2.
(ĐH Ngoại Ngữ 1999) Cho đồ thị (C):
4
9
2
4
1
24
= xxy .Viết ph
ng trỡnh ti

p tuy

n
tại các giao
điểm của (C) với Ox.
3.

m (C) v

ng th

ng
d: y = 3x -1.Dng 2: Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
, bit



cú h s gúc k cho trc, hoc tip
tuyn song song hoc tip tuyn vuụng gúc vi ng thng cho trc.
4.
Cho đồ thị (C):
2x 1
y
x 1

=
+

y
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết
a. Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 1
2
1
+= xy
b. Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
4
y x
=
.

7.
Vi

t ph

ng tỡnh ti

p tuy

n v

i

th

(C) c

a hm s

,
L

p
tiếp tuyến c
a
(C) có hệ số góc l
n
nhất.
9.
Cho hm s


2x 1
y
x 1

=
+
(1). Tỡm

i

m M thu

c

th

(C)

s

gúc b

ng - 9.
HD
: +) Ta cú I(- 1; 2). G

i
M I
0 IM
2
0 M I 0
y y
3 3
M (C) M(x ;2 ) k
x 1 x x (x 1)






= =
+ +

+) H

s


= 0; x
0
= -2. Suy ra cú 2

i

m M th

a món: M(0; - 3), M(- 2; 5)

10.
Cho hm s


( )
x 1
y C
x 1
+
=

. Xỏc

nh m



ng th

ng

i A và B song song v
ớ
i nhau.

HD
: Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
d : y 2x m
= +
và
(
)
C
là:
x 1
2x m
x 1
+
= +

⇒
ph
ươ
ng trình (1) luôn luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 1. V
ậ
y
(
)
d
luôn luôn c
ắ
t
(
)
C

t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi

ng trình (1). Theo
đị
nh lí Vi-et, ta có:
( )
1 2
1
x x 3 m
2
+ = − . Ti
ế
p tuy
ế
n
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
t
ạ
i A, B có h
ệ
s
ố
góc l
ầ
n l
ượ

−
= =
−

(
)
(
)
1 2 1 2
/ / k k
∆ ∆ ⇔ =
( ) ( )
2 2
1 2
2 2
x 1 x 1
− −
⇔ =
− −
( ) ( )
2 2
1 2
x 1 x 1
⇔ − = −1 2
1 2
x 1 x 1
x 1 x 1

y, giá tr
ị
c
ầ
n tìm là:
m 1
= −
.

11.
Cho hàm s
ố

4 2
y f(x) x 2x
= = −

1. Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.

ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau.

HD
: Ta có
3
'( ) 4 4
f x x x
= −
. G
ọ
i a, b l
ầ
n l
ượ
t là hoành
độ
c
ủ
a A và B.
H
ệ
s
ố

(
)
(
)
(
)
(
)
y f ' a x a f a f ' a x f(a) af' a
= − + = + −(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y f ' b x b f b f ' b x f(b) bf' b
= − + = + −

Hai ti
ế
p tuy
ế
n c

i ph
ươ
ng trình:

2 2
a ab b 1 0 (2)
+ + − =

M
ặ
t khác hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B trùng nhau

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 2 4 2
a ab b 1 0
a ab b 1 0
a b
f a af ' a f b bf ' b
3a 2a 3b 2b

ng
v
ớ
i cùng m
ộ
t c
ặ
p
đ
i
ể
m trên
đồ
th
ị
là
(
)
1; 1
− −
và
(
)
1; 1
−
.V
ậ
y
đ
i


≠


12.
Cho hàm s
ố

4 2
y x mx m 1
= + − −
, (C
m
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng khi m thay
đổ
i thì (C
m
) luôn luôn
đ
i qua
hai
đ
i
ể
m c
ố

p tuy
ế
n t
ạ
i A và B vuông góc v
ớ
i nhau ⇔
y (1).y ( 1) 1
′ ′
− = −
⇔
2
(4 2m) 1
+ =

⇔
3 5

2 2
m m
= − ∨ = −
.
5
13.
Cho hm s


3 2
y x 3x 1
= +


n AB =
4 2
.
HD
:

Gi

s


3 2 3 2
A(a;a 3a 1), B(b;b 3b 1)
+ +
(a b)
Vỡ ti

p tuy

n c

a (C) t

i A v B song song suy ra
y (a) y (b)

=
(a b)(a b 2) 0
+ =

=

=


A(3; 1) v B(1; 3)
14.
Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1. Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt đờng y = 1 tại 3 điểm phân biệt
C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
15.
Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số: y =
3 2
1 1
3 2 3
m
x x
+
(*) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1.
Tìm m để tiếp tuyến của (C
m

18.
(ĐH Ngoại Ngữ HN 2001) Cho (C)
3
2
3
1
)(
3
+==
xxxfy
. Tìm các điểm trên (C) mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng
3
2
3
1
+= xy

19. Cho (C)
73)(
3
+==
xxxfy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x - 1
b. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
2
9
1
+=

234
++= xxxxy song song với đờng
thẳng y= 2x - 1.
23. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C):
142
24
+=
xxxy
vuông góc với đờng thẳng
3
4
1
+= xy
24. Cho đồ thị (C
m
):
1
24
+=
mmxxy
. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với
đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C
m
).
25.
(ĐH Thơng Mại 1994). Cho đồ thị (Cm)
(3m 1)x m
y
x m
+

tuyến tại các cặp điểm này song song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối các
cặp tiếp điểm đồng qui tại một điểm cố định.
28.
Cho hm s


y f x mx m x m x
3 2
1
( ) ( 1) (4 3 ) 1
3
= = + + +
cú

th

l (C
m
).
Tỡm cỏc giỏ tr


m
sao cho trờn

th

(C
m
) t

2 3 0
+ =
.
HD:
(d) cú h

s

gúc
1
2



ti

p tuy

n cú h

s

gúc
k
2
=
. G

i x l honh


2 2 1
= =
(lo

i)
+ N

u
m
0

thỡ d

th

y ph

ng trỡnh (1) cú 2 nghi

m l
m
x hay x=
m
2 3
1

=

Do


1
( 1) (4 3) 1
3
= + + +
(C
m
). Tỡm cỏc giỏ tr


m
sao cho trờn (C
m
) t

n
t

i

ỳng hai

i

m cú honh

d

ng m ti

p tuy

YCBT

ph

ng trỡnh
y
2

=
cú

ỳng 2 nghi

m d

ng phõn bi

t


mx m x m
2
2( 1) 2 3 0
+ + =
cú

ỳng 2 nghi

m d


1
0
2
1 2
2 3

< <



< <


. V

y
m
1 1 2
0; ;
2 2 3
.

30.
Cho hm s

p
tuy

n c

a (C) t

i M vuụng gúc v

i

ng th

ng MI.
HD:
Giao

i

m c

a hai ti

m c

n l I(1; 2). G

i M(a; b)

(C)


PT

ng th

ng MI:
y x
a
2
1
( 1) 2
( 1)
= +


Ti

p tuy

n t

i M vuụng gúc v

i MI nờn ta cú:
a a
2 2
1 1
. 1
( 1) ( 1)
=



ca (C):
y f x
( )
=
, bit



i qua im
A A
A x y
( ; )
.
31.
Cho hm s


( )
x 2
y C .
x 2
+
=

Vi

t ph


p tuy

n l :
( ) ( )
1 2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
= = +32.
(ĐH NT TPHCM 1999). Cho hàm số (C):
2
2

+
=
x
x
y . Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm
A(-6;5) đến đồ thị (C) .
33. (ĐH Huế 2001 Khối D) .Viết phơng trình tiếp tuyến từ điểm O(0;0) đến đồ thị (C):
2
)1(3

+
=
x
x


c t

a
7

O.

HD
: Ph

ng trỡnh ti

p tuy

n

t

i

i

m
(
)
0 0 0
;
M x y
l

thỡ
: 0
y
=
.

35.
(B2008) Cho hm s

y = 4x
3
6x
2
+ 1 (1).
Viờt pttt c

a

th

(1), bi

t ti

p tuy

n

ú


Cho hàm số: y = 2x
4
- 4x
2
+ 1 (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(1 ;-1).

38.
(ĐH Công Đoàn 2001 ) Tìm điểm M thuộc (C)
11232
23
+=
xxxy
sao cho tiếp tuyến của (C )
tại điểm M đi qua gốc toạ độ.
39.
(ĐH Y Thái Bình 2001) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) đến
xxy
9
3
+=

40.
(HV Ngân Hàng TPHCM 1998). Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến
3
43
xxy
=
.
41.
Cho (C)





2
3
;0A
đến
đồ thị (C).
44.
Cho đồ thị (C):
5312)(
==
xxxfy
. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm






4
27
;2A
đến (C) .
45.
Cho đồ thị (C):
41)(
2
xxxfy +==


3
4
;
9
4
A

đến đồ thị (C)
432
3
1
23
++= xxxy
.
49.
Cho hàm số: y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1)x + 1.
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 đi qua điểm A(1:2).
50.
Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị (C)
2

+
=
x
mx

Cho (C)
42
3
1
23
+= xxxy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 60
0

b. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 15
0

c. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 75
0

8

Dng 5: Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
, bit




54.
Cho (C)
3 2
y f (x) 2x 3x 12x 5
= =
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với
5
2
1
+= xy
góc 45
0

55.
Cho (C):
3 2
1
y x 2x x 4
3
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng
3
2
1
+=
xy
góc
30
0



y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + + + +
(1) (m l tham s

).
Tỡm tham s

m



th

c

a hm s

(1) cú ti

p tuy

n t

o v

i



n

ti

p tuy

n cú VTPT
n k
1
( ; 1)
=



ng th

ng d cú VTPT
n
2
(1;1)
=

.
Ta cú
n n
k
k k k k
n n
k

m:

y
y
3
2
2
3


=




=





x m x m
x m x m
2
2
3
3 2(1 2 ) 2
2
2
3 2(1 2 ) 2

m m
2
2
8 2 1 0
4 3 0









m m
m m
1 1
;
4 2
3
; 1
4










= + + + = =
.

S:
m
2
9

.

Dng 6: Tỡm nhng im trờn ng thng d m t ú cú th v c 1, 2, 3, tip tuyn vi
th (C):
=
y f x
( )
.

59.
Cho hm s


y x x
3
3
=
(C). Tỡm trờn

ng th


(C).
HD:
G

i
M m m d
( ; )

. PT

ng th

ng

qua M cú d

ng:
y k x m m
( )
=
.

l ti

p tuy

n c

a (C)


m
x
3
2
2
3 4
=

(**)
T

M k



c

ỳng 2 ti

p tuy

n v

i (C)

(**) cú 2 nghi

m phõn bi

t

f x
x
4 2
2 2
6 24
( )
(3 4)
−
′
=
−
;
x
f x
x
0
( ) 0
2

=
′
= ⇔

= ±


D
ự
a vào BBT, (**) có 2 nghi
ệ


= − +
y x x
3
3 2
. Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng
d y
: 4
=
các
đ
i
ể
m mà t
ừ

đ
ó k
ẻ

đượ
c
đ
úng 2 ti
ế
p

n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
PT sau có nghi
ệ
m:
x x k x m
x k
3
2
3 2 ( ) 4 (1)
3 3 (2)


− + = − +

− =


(*)
Thay (2) vào (1) ta
đượ
c:
x x m x m
2
( 1) 2 (3 2) 3 2 0 (3)
 

t, trong
đ
ó có 1 nghi
ệ
m b
ằ
ng –1
⇔

m
1
= −

+ TH2: (4) có nghi
ệ
m kép khác –1
⇔

m m
2
2
3
= − ∨ =

V
ậ
y các
đ
i
ể


đ
i
ể
m
M
(1;2)
k
ẻ

đượ
c
đ
úng 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (Cm).
HD:
PT
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
qua M có d
ạ
ng:




⇒

f x x x x m
3 2
( ) 2 5 4 3( 1) 0
= − + − − =
(*)
Để
qua M k
ẻ

đượ
c
đ
úng hai ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n (Cm) thì (*) có
đ
úng 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t

.
Do
đ
ó (*) có
đ
úng 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔

m
A Ox
B Ox
m
4
3
109
81

=


∈
⇔


∈


c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ
t v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
HD:
G
ọ
i
M m d
( ;2) ( )
∈
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng
∆

đ
i qua
đ


− + − = − +

− + =


(*).
Thay (2) và (1) ta
đượ
c:
x m x mx x x m x
3 2 2
2 3( 1) 6 4 0 ( 2) 2 (3 1) 2 0
 
− + + − = ⇔ − − − + =
 

⇔

x
f x x m x (3)
2
2
( ) 2 (3 1) 2 0

=

= − − + =



ệ
t khác 2
m m
f
m
5
0
1
3
(2) 0
2
∆



>
< − ∨ >
⇔ ⇔
 
≠


≠

.
10
V
ậ
y t
ừ

p tuy
ế
n v
ớ
i (C).
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
y x x d Ox
3 2
3 2,= − + − ≡
.
Đ
S:
M m
( ;0)
v
ớ
i
m
m
2
2
1
3


c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ
t
v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
HD:
Ta có
y x x
4 2
2 1
= − +
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
A a
( ; 0)
và có h

4 4

− + = −


− =



Ta có:
k
I A
x
2
0
( ) ( )
1 0

=
⇔

− =

ho
ặ
c
x x k
B
f x x ax
2

=
.
+ V
ậ
y
để
t
ừ
A k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ
t v
ớ
i (C) thì
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
và đủ là

m phân bi
ệ
t khác
1
±⇔

a
f
2
4 3 0
( 1) 0
∆

′
= − >

± ≠


⇔

a hoaëc a
3 3
1 1
2 2
− ≠ < − ≠ >


t m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ớ
i
(C).
HD:
G
ọ
i
o
M y
(0; )
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm. PT
đườ
ng th
ẳ
ng qua M có d
ạ
ng:

( 1)
( 1)

+

= +
− − + + + =

 
−
⇔ ⇔
−
 
−
≠ =
=
 
−


−

(*)
YCBT
⇔
h
ệ
(*) có 1 nghi
ệ
m

 
= = ⇒ = −

⇔ ∨ ⇔
 

=
= + − − + =



= = − ⇒ = −
 

V
ậ
y có 2
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).

65.
Cho hàm s
ố

x
y

t
ti
ế
p tuy
ế
n t
ớ
i (C).
HD:
G
ọ
i
M m m d
( ;2 1)
+ ∈
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
qua M có d
ạ
ng:
y k x m m
( ) 2 1
= − + +

PT hoành
độ

ti
ế
p xuc v
ớ
i (C)
⇔
(*) có nghi
ệ
m kép
⇔

[ ] [ ]
k
m k m k mk m
2
0
( 1) 2 4 (2 4) 0
∆

≠


= + − − − + =



⇔

k
g k m k m m k m

=
có
đ
úng 1 nghi
ệ
m
k
0
≠

⇔

m m g m
m m g m
m k k
2 2
2 2
32( 2) 0; (0) 4 0
32( 2) 0; (0) 4 0
1
1 0 16 4 0
4
∆
∆

′
= − − − > = =

′
= − − − > = =

(C):
23
3xxy +=
trong ®ã cã hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau
67.
Cho ®å thÞ (C):
73
2
1
234
+−−= xxxy
. T×m m ®Ó ®å thÞ (C) lu«n lu«n cã Ýt nhÊt 2 tiÕp tuyÕn
song song víi ®−êng th¼ng y = mx.
68.
T×m trªn trôc Oy c¸c ®iÓm kÎ ®Õn ®å thÞ
2
y 9 x (C)
= −
2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau
69.
Cho hàm s
ố
y = x
4
– x
2
+ 1 .
Tìm t
ấ
t c

®Õn ®å th& (C) .
71.
(HC BCVT TPHCM 1999). Cho (C):
23)(
23
−+−== xxxfy
. T×m c¸c ®I Óm trªn (C) ®Ó
kÎ ®−îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ (C).
72.
(§H D−îc 1996). Cho (C):
cbxaxxxfy +++==
23
)(
. T×m c¸c ®iÓm trªn (C) ®Ó kÎ ®−îc
®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ (C).
73. T×m trªn ®−êng th¼ng y=2 c¸c ®iÓm kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C)
23
23
−+−= xxy
.
74.
( §H QG TPHCM 1999) T×m trªn ®−êng th¼ng x = 2 c¸c ®iÓm kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C)
23
3xxy −=
.
75.
Cho (C)
12)(
24
−+−== xxxfy

79.
Cho hàm s
ố

m x m
y
x
2
(2 1)
1
− −
=
−
. Tìm m
để

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th


−

−

=

−

m x m
x
x
m
x
2
2
2
(2 1)
(*)
1
( 1)
1 (**)
( 1)
có nghi
ệ
m.
T
ừ
(**) ta có
m x

i m). Vì x
≠
1 nên m
≠
1.
•
V
ớ
i x = 2 – m, thay vào (*) ta
đượ
c:
m m m m m
2
(2 1)(2 ) (2 )(2 1)
− − − = − − −

⇔

m
2
4( 1) 0
− =

⇔

m
1
=

⇒

2
đườ
ng sau ti
ế
p xúc nhau:

a.
)(
m
C

mxmxxy 33
23
+−−=

và
Ox.
b.
)(
m
C
:
)12(2)232()1(
223
−++−−+−= mmxmmxmxy và
®−êng th¼ng y = - 49x + 98.
c.
)(
m
C

Ox.
g.
3 2
1
(C ) :y mx (1 2m)x 2mx
= + − +
và

3
2
(C ):y 3mx 3(1 2m)x 4m 2
= + − + −

h.
)(
m
C
:
m
mx
mxxm
y
+
++−−
=
4)2)(1(
2

và
y= 1

(P)
9
2
−=
xy

m.
)(
m
C

818)3(32
23
−++−=
mxxmxy

và
Ox.
n.
2
1
x x 1
(C ) : y
x 1
− +
=
−
và

2

m M sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t tr
ụ
c
tung t
ạ
i
đ
i
ể
m có tung
độ
b
ằ
ng 8.
HD:
Gi
ả
s
ử


i qua
P
(0;8)
⇔

x x
3 2
0 0
8 4 3 1
= − + +

⇔

x
0
1
= −
. V
ậ
y
M
( 1; 4)
− −
.

82.
Cho hàm s
ố

y x x

dài
đ
o
ạ
n AB =
4 2
.
HD:
Gi
ả
s
ử

A a a a B b b b
3 2 3 2
( ; 3 1), ( ; 3 1)
− + − +
thu
ộ
c (C), v
ớ
i
a b
≠
.
Vì ti
ế
p tuy
ế
n c


Ta có:
AB b a b b a a b a b a b a
2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2
( ) ( 3 1 3 1) ( ) ( 3( ))
= − + − + − + − = − + − − −

b a b a ab b a b a b a
2
2 3
( ) ( ) 3 ( ) 3( )( )
 
= − + − + − − − +
 
b a b a b a ab
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 3 3.2
 
= − + − − + −
 

b a b a b a ab
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
 
= − + − + − −
 
b a b a ab

Mà
AB
4 2
=
nên
a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1) 32
− − − + − =
a a a
6 4 2
( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0
⇔ − − − + − − =
(*)
Đặ
t
t a t
2
( 1) , 0
= − >
. Khi
đ
ó (*) tr
ở
thành:

t t t t t t t
3 2 2
6 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4
− + − = ⇔ − − + = ⇔ =

(3;1), ( 1; 3)
− −
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: V
ớ
i
y x x AB
3 2
3 2; 4 2
= − + =
.
Đ
S:
A B
(3;2), ( 2; 2)
− −
.

83.
Cho hàm s
ố

y f x x x x
3 2

k
,
đồ
ng th
ờ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua các ti
ế
p
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó
13
c
ắ
t các tr

i
ể
m
x
0
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:

f x k x x k
2
0 0 0
( ) 3 12 9 0
′
= ⇔ + + − =
(1)
Để
t
ồ
n t
ạ
i 2 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi

0 0
( ; )
c
ủ
a 2 ti
ế
p tuy
ế
n là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
:
0 0
2
0 0
6 2 9
3 3
3 12 9
− −

= +



+ + =

k k

đ
i
ể
m là:
k k
y x
6 2 9
3 3
− −
= +

Do d c
ắ
t các tr
ụ
c Ox, Oy t
ươ
ng
ứ
ng t
ạ
i A và B sao cho:
OA OB
2011.
=
nên có th
ể
x
ả
y ra:


OB
OAB
OA
tan 2011
= =

⇒

k 6
2011
3
−
= ±

⇒

k
6039
=
(tho
ả
(2)) ho
ặ
c
k
6027
= −
(không tho
ả

n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C
m
) t
ạ
i
đ
i
ể
m M có hoành
độ
= −
x
1
c
ắ
t
đườ
ng tròn (C) có
ph
ươ
ng trình
x y
2 2
( 2) ( 3) 4

(2;3)
, R = 2.
PTTT d t
ạ
i
M m
( 1;2 2)
− −
:
y m x m
(3 ) 1
= − + +

⇔

m x y m
(3 ) 1 0
− − + + =m mm
d I d R
m m m
2
2 2 2
1 (3 ) 2. (3 ) 14
( , ) 2
(3 ) 1 (3 ) 1 (3 ) 1
+ − − +−
= = ≤ = <

Ti
ế
p tuy
ế
n d c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m A, B sao cho AB ng
ắ
n nh
ấ
t
⇔

d I d
( , )

đạ
t l
ớ
n nh
ấ
t
⇔


1;
2
= =
.
85.
Cho hàm s
ố

y x mx m
4 2
2
= − +
(1) ,
m
là tham s
ố
.
G
ọ
i A là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) t
ạ
i A là l
ớ
n nh
ấ
t .
HD:

A Cm
( )
∈
nên
A m
(1;1 )
−
.
y x mx y m
3

1
( ; ) 1
16(1 ) 1
∆
−
= ≤
− +
, D
ấ
u ‘=’ x
ả
y ra
⇔
khi m = 1.
Do
đ
ó
d B
( ; )
∆
l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng 1 khi và ch
ỉ
khi m = 1.


ị
(C) t
ạ
i nh
ữ
ng
đ
i
ể
m
thu
ộ
c
đồ
th
ị
có kho
ả
ng cách
đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng
+ − =
d x y
: 3 4 2 0
b
ằ

0 0
2 2
3 4 2
( , ) 2 2
3 4
+ −
= ⇔ =
+
x y
0 0
3 4 12 0
⇔ + − =
ho
ặ
c
x y
0 0
3 4 8 0
+ + =

•
V
ớ
i
x
x y x
x
0
0 0 0
0

V
ớ
i
x y
0 0
3 4 8 0
+ + =

x
x
x
0
0
0
2 3
3 4 8 0
1
 
+
⇔ + + =
 
 
+
 

x M
x M
0 3
0 4
7

= − +
; PTTT t
ạ
i
M
2
1 11
;
3 4
 
 
 
là
y x
9 47
16 16
= − +
;
PTTT t
ạ
i
M
3
7
5;
4
 
−
 
 

x
2 1
1
−
=
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m I(1; 2)
đế
n
ti

y f x x x f x
0 0 0
'( )( ) ( )
= − +

⇔

x x y x x
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0
+ − − + − =
(*)
Kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m I(1; 2)
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n (*) b
ằ
ng

n c
ầ
n tìm :
x y
1 0
+ − =
và
x y
5 0
+ − =

88.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2
2
=
+
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế

ế
n là l
ớ
n nh
ấ
t.
HD:
Ti
ế
p tuy
ế
n (d) c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m M có hoành
độ

a
2
≠ −
thu

−
. Ta có:
a a a
d I d
a
a a
4 2
8 2 8 2 8 2
( , ) 2 2
2 2 2
16 ( 2) 2.4.( 2)
+ + +
= ≤ = =
+
+ + +d I d
( , )
l
ớ
n nh
ấ
t khi
a
a
a
2
0
( 2) 4

ớ
i
x
y
x
1
=
−
.
Đ
S:
y x y x
; 4
= − = − +
.
89.
Cho hàm s
ố
y =
x
x
2
1
+
+
. G
ọ
i I là giao
đ
i

là kho
ả
ng cách t
ừ
I
đế
n
∆
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
d
.
HD:

y
x
2
1
( 1)
−
′
=
+

 
+
 

Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
v
ớ
i
đồ
thi hàm s
ố
t
ạ
i M là:

( )
x
y x x
x
x
0
0
2

x
x
0
4
0
2 1
1 1
+
+ +
=
( )
( )
x
x
2
0
2
0
2
2
1
1
1
≤
+ +
+

V
ậ
y GTLN c

+
=
+
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C), bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n cách
đề
u hai
đ
i

0
0
2
0
0
2 1
1
( )
1
( 1)
+
= − +
+
+

⇔

x x y x x
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0
− + + + + =

Ta có:
d A d d B d
( , ) ( , )
=

⇔
x x x x x x

:
x
y
x
2
1
+
=
−
(C). Cho
đ
i
ể
m
A a
(0; )
. Tìm
a

để
t
ừ
A k
ẻ

đượ
c 2 ti
ế
p tuy
ế

đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua
A a
(0; )
và có h
ệ
s
ố
góc k:
y kx a
= +

d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
H
ệ
PT
x
kx a
x

m
x
1
≠
.
Để
qua A có 2 ti
ế
p tuy
ế
n thì (1) ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m p. bi
ệ
t
x x
1 2
,

⇔

a
a
a
a
1
1
2

1 2
1 2
3 3
1 ; 1
1 1
= + = +
− −

Để
2 ti
ế
p
đ
i
ể
m n
ằ
m v
ề
2 phía
đố
i v
ớ
i tr
ụ
c hoành thì
y y
1 2
. 0
<

3 2 0
+ >

⇔

a
2
3
> −

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c:
a
a
2
3
1

,
đườ
ng th
ẳ
ng
d y x m
:
= +
luôn c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B. G
ọ
i
k k
1 2
,
l
ầ
n l
ượ
t là h
ệ

ấ
t.
Hd:
PT hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a d và (C):
x
x m
x
1
2 1
− +
= +
−

⇔

x
g x x mx m
2
1
2
( ) 2 2 1 0 (*)


m phân bi
ệ
t
x x
1 2
,
.
Theo
đị
nh lí Viet ta có:
m
x x m x x
1 2 1 2
1
;
2
− −
+ = − =
. Gi
ả
s
ử
:
A x y B x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Ti
ế
p tuy

y ra
⇔

m
1
= −
.
V
ậ
y:
k k
1 2
+

đạ
t GTLN b
ằ
ng
2
−
khi
m
1
= −
.

16
93.
Cho hàm s
ố

ế
n
đ
ó
c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B và tam giác OAB cân t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
độ

(2 3)
−
′
= <
+

∆
OAB cân t
ạ
i O nên ti
ế
p tuy
ế
n
∆
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
= −
(vì ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ

= − ⇒ =



+ V
ớ
i
x y
0 0
1; 1
= − =

⇒

∆
:
y x y x
1 ( 1)
− = − + ⇔ = −
(lo
ạ
i)
+ V
ớ
i
x y
0 0
2; 0
= − =


x
2 1
1
−
−
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) sao cho ti
ế
p tuy
ế
n này c
ắ
t các
tr
ụ
c O
x

0 0
( ; ) ( )
∈
c
ắ
t Ox t
ạ
i A, Oy t
ạ
i B sao cho
OA OB
4
=
.
Do
∆
OAB vuông t
ạ
i O nên
OB
A
OA
1
tan
4
= =

⇒
H
ệ

4
( 1) ( 1)
′
= − <
⇒
− = −
− −

⇔

x y
x y
0 0
0 0
3
1 ( )
2
5
3 ( )
2

= − =



= =



Khi

y
x
2
2
=
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n này c
ắ
t các tr
ụ
c O
x
, O
y

0
0
2
4
( )
2
( 2)
−
= − +
−
−

Tam giác vuông OAB có
AB OA
2
=
nên
∆
OAB vuông cân t
ạ
i O. Do
đ
ó d vuông góc v
ớ
i m
ộ
t trong
hai
đườ
ng phân giác

= − +
.
+ N
ế
u
d d
2
⊥
thì
x
2
0
4
1
( 2)
−
=
−

⇒
vô nghi
ệ
m. V
ậ
y PTTT c
ầ
n tìm là:
y x
8
= − +

ộ
t
đ
i
ể
m M ∈ (C) mà ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c to
ạ

độ
m
ộ
t tam giác có tr
ọ
ng tâm n
ằ

−

G
ọ
i A, B là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i tr
ụ
c hoành và tr
ụ
c tung
⇒

B
x x
y
x
2
0 0
2

−
. Vì G
∈
d nên
x x
m
x
2
0 0
2
0
2 4 1
2 1
3(2 1)
+ −
= −
−

17
M
ặ
t khác:
x x x x x
x x x
2 2 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 4 1 6 (2 1) 6
1 1

ậ
y GTNN c
ủ
a m là
1
3
.

97.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 3
2
−
=
−
(C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ

ượ
t t
ạ
i A, B sao cho

=cosABI
4
17
, v
ớ
i I là giao 2 ti
ệ
m c
ậ
n.
HD:
I(2; 2). G
ọ
i
x
M x C
x
0
0
0
2 3
; ( )
2
 
−

0
2 3
1
( )
2
( 2)
−
= − − +
−
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
∆
v
ớ
i các ti
ệ
m c
ậ
n:
x
A
x
0

4
= =

⇔

IB IA
2 2
16.
=

⇔
x
4
0
( 2) 16
− =

⇔
x
x
0
0
0
4

=

=



5
4;
3
 
 
 
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
y x
1 7
4 2
= − +

Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:

−
= =
+
x

x
2 3
2
−
=
−
có
đồ
th
ị
(C). Tìm trên (C) nh
ữ
ng
đ
i
ể
m M sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M c
ủ
a (C)
c
ắ
t hai ti
ệ
m c

C
∈
. Ta có:
y m
m
2
1
( )
( 2)
′
= −
−

Ti
ế
p tuy
ế
n (d) t
ạ
i M có ph
ươ
ng trình:
y x m
m
m
2
1 1
( ) 2
2
( 2)

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) v
ớ
i ti
ệ
m c
ậ
n ngang là:
B m
(2 2;2)
−

Ta có:
AB m
m
2 2
2
1
4 ( 2) 8
( 2)
 
= − + ≥
 
−
 

Cho hàm s
ố
y =
−
−
x
x
2 3
2
.
G
ọ
i
M
là
đ
i
ể
m b
ấ
t kì trên (
C
),
I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ

ạ
i
A
và
B.
Tìm to
ạ

độ

đ
i
ể
m
M
sao cho
đườ
ng tròn
ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có di
ệ
n tích b
ằ
ng
2

0
0
2 3
1
( )
2
( 2)
−
−
= − +
−
−

d c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
x
A B x
x
0
0
0
2 2
2; , (2 2;2)

2 ( 2) 2
3 (3;3)
( 2)
π

=
⇒
= ⇔ − + = ⇔

=
⇒
−


18
100.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 3
2
−
=
−
.G
ọ
i

n c
ủ
a (
C
) t
ạ
i
A
và
B.
G
ọ
i
I
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n. Tìm to
ạ

độ

0
0 0
0
2 3
; ( ) 2
2
 
−
∈ ≠
 
 
−
 
,
( )
y x
x
0
2
0
1
'( )
2
−
=
−

Ph
ươ
ng trình ti


To
ạ

độ
giao
đ
i
ể
m A, B c
ủ
a (
∆
) v
ớ
i hai ti
ệ
m c
ậ
n là:
( )
x
A B x
x
0
0
0
2 2
2; ; 2 2;2
2

0
0
2 3
2 2
−
+
= =
−

⇒
M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB.
M
ặ
t khác I(2; 2) và
∆
IAB vuông t
ạ
i I nên
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác IAB có di

−
 
−
 
 
 

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi
x
x
x
x
2
0
0
2
0
0
1
1
( 2)
3
( 2)

=
− = ⇔

+
=
+
.
Đ
S:
M M
(0;1), ( 4;5)
−
.101.
Cho hàm s
ố

mx
y
x m
2 3
+
=
−
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c

m c
ậ
n t
ạ
i A và B sao cho ∆IAB có di
ệ
n tích
S
64
=
.
HD:
(C) có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
x m
=
, ti
ệ
m c
ậ
n ngang
y m
2
=
. Giao

∆
c
ủ
a (C) t
ạ
i M:
mx
m
y x x
x m
x m
2
0
0
2
0
0
2 3
2 3
( )
( )
+
+
= − +
−
−
.
c
ắ
t TC

IA
x m
2
0
4 6
+
=
+
;
IB x m
0
2
= −

⇒

= = + =
IAB
S IA IB m
2
1
. 4 6 64
2
⇔

m
58
2
= ±
.

p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i 2
đườ
ng ti
ệ
m
c
ậ
n c
ủ
a (C) m
ộ
t tam giác có chu vi
(
)
= +
P

I
(1;1)
.
G
ọ
i
x
M x C x
x
0
0 0
0
; ( ) ( 1)
1
 
∈ ≠
 
 
−
 
. PTTT
∆
c
ủ
a (C) t
ạ
i M:
x
y x x
x

+
 
 
−
 
, c
ắ
t TCN t
ạ
i
B x
0
(2 1;1)
−
.
Ta có:
IAB
P IA IB AB x x
x
x
2
0 0
2
0
0
2 1
2 1 2 ( 1)
1
( 1)
= + + = + − + − +

.
+ V
ớ
i
x
0
0
=

⇒
PTTT
∆
:
y x
= −
; + V
ớ
i
x
0
2
=

⇒
PTTT
∆
:
y x
4
= − +

n. Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C)
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A và B v
ớ
i chu vi tam giác IAB
đạ
t giá tr
ị
nh

+
 
 
−
 
∈
(C).
+ PTTT t
ạ
i M có d
ạ
ng:
y x x
x
x
0
2
0
0
3 3
( ) 2
1
( 1)
−
= − + +
−
−

+ To
ạ

, B
x
0
(2 1;2)
−

+ Ta có:
IAB
S IA IB x
x
0
0
1 1 6
. 2 1 2.3 6
2 2
1
∆
= = ⋅ ⋅ − = =
−
(
đ
vdt)
+
∆
IAB vuông có di
ệ
n tích không
đổ
i
⇒


−
= −



V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
M
1
1 3;2 3
+ +
,
(
)

2 2
+ + +
nh
ỏ
nh
ấ
t khi
và ch
ỉ
khi a = b.
Th
ậ
t v
ậ
y: P =
+ + +
a b a b
2 2
≥

+ = + = +
ab ab ab S
2 2 (2 2) (2 2)
.
D
ấ
u "=" x
ả
y ra
⇔

y
x
2
1
−
=
+
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t

x
1
= −
, TCN
y
1
=
. Giao
đ
i
ể
m 2 ti
ệ
m c
ậ
n là
I
( 1;1)
−
.
G
ọ
i
x
M x C
x
0
0
0
2

−
= − +
+
+
.
c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
x
A B x
x
0
0
0
5
1; , (2 1;1)
1
 
−
− +
 
 
+
 

ế
p c
ủ
a
∆
IAB.
Ta có:
S
S pr r
p p
6
=
⇒
= =
. Do
đ
ó r l
ớ
n nh
ấ
t
⇔
p nh
ỏ
nh
ấ
t. M
ặ
t khác
∆

1 3
= − −

⇒
PTTT
∆
:
(
)
y x
2 1 3
= + +

+ V
ớ
i
x
1 3
= − +

⇒
PTTT
∆
:
(
)
y x
2 1 3
= + −


i
M và N c
ắ
t hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i 4
đ
i
ể
m l
ậ
p thành m
ộ
t hình thang.
HD:
G
ọ
i
M N
M m y N n y
( ; ), ( ; )
là 2
đ
i

m c
ậ
n t
ạ
i C, D.
PTTT t
ạ
i M có d
ạ
ng:
M
y y m x m y
( ).( )
′
= − +

⇒

m
A B m
m
2 4
1; , (2 1;2)
1
 
+
−
 
−
 

k
m n
3
( 1)( 1)
−
=
− −
nên AD // BC.
V
ậ
y m
ọ
i
đ
i
ể
m M, N thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a (C)
đề
u tho
ả
mãn YCBT.

107.
Cho hàm s
ố


i M
0
c
ắ
t các
ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C) t
ạ
i các
đ
i
ể
m A và B. Ch
ứ
ng minh M
o
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
đ
o

0 0
2
0
4
( )
( 1)
− = − −
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) v
ớ
i các ti
ệ
m c
ậ
n là:
A x B y
0 0
(2 1;1), (1;2 1)
− −
.
⇒

A B A B

ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C)
đề
u l
ậ
p v
ớ
i hai
đườ
ng
ti
ệ
m c
ậ
n m
ộ

a
y y a x a
a
2
( ).( )
1
+
′
= − +
−

⇔

a a
y x
a a
2
2 2
3 4 2
( 1) ( 1)
− + −
= +
− −

Các giao
đ
i
ể
m c
ủ

=
 
−
 

⇒
IA
a
6
1
=
−
;
IB a
(2 2;0)
→
= −

⇒
IB a
2 1
= −

Di
ệ
n tích
IAB
∆
: S
IAB

109.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
−
=
−
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n, A là
đ
i
ể

i
ể
m c
ủ
a
PQ và tính di
ệ
n tích tam giác IPQ.
HD:

a
I A a
a
2 1
(1; 2), ;
1
 
−
−
 
−
 
. PT ti
ế
p tuy
ế
n d t
ạ
i A:
a

a
P
a
2
1;
1
 
 
−
 

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ệ
m c
ậ
n ngang và ti
ế
p tuy
ế
n d:
Q a
(2 1; 2)
− −


IPQ
=
1
2
IP.IQ = 2 (
đ
vdt)

21
110.
Cho hm s


x
y
x
2 1
1

=
+
. G

i I l giao

i

m c

a hai


(C) c

t hai

ng ti

m c

n t

i A v
B tho

món:
IA IB
2 2
40
+ =
.
HD:
(C) cú TC

:
x
1
=
; TCX:
y
2

i (C) t

i M:
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0
2 1
3
( )
1
( 1)

= +
+
+



x
A
x
0
0
2 4

2
0
0
36
4( 1) 40
( 1)
0

+ + =

+


>




x
0
2
=
(y
0
= 1)

M(2; 1).

111.
Cho hm s


m c

n c

a (C) t

i A, B sao cho AB ng

n nh

t .
HD
: L

y

i

m
1
M m;2
m 2

+



(
)



Giao

i

m c

a (d) v

i ti

m c

n

ng l :
2
A 2;2
m 2

+

Giao

i



y

i

m M c

n tỡm cú t

a

l : M(2; 2) 112.
Cho hàm số
2x 1
y
x 1

=
+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
I( 1; 2)

tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất .
HD:
0

4 4
2
0
0
0
2
0
3( 1 x ) 3(x 1) 6 x 1
6
d
9
9 (x 1)
9 x 1
(x 1)
(x 1)
+ +
= = =
+ +
+ +
+ +
+
. Theo bất đẳng thức Côsi
692)1(
)1(
9
2
0
2
0
=++

+113.
Cho hm s


2x 4
y (C)
x 1

=
+
.
1. Kh

o sỏt s

bi

n thiờn v v



th

(C) c

a hm s


a (C) t

i A, B. CMR
di

n tớch tam giỏc ABI (I l giao c

a hai ti

m c

n) khụng ph

thu

c vo v

trớ c

a M.

HD
: G

i
( )
2a 4
M a; C a 1
a 1



m v

i ti

m c

n

ng x = -1 l
2a 10
A 1;
a 1




+Giao

i

m v

i ti

m c


x 1

=

cú

th

(C). L

p ph

ng trỡnh ti

p tuy

n c

a

th

(C) sao cho ti

p tuy

n
ny c

t cỏc tr

0 0
( ; )
c

t Ox t

i A v Oy t

i B sao cho OA = 4OB.
Do OAB vuụng t

i O nờn:
OB 1
tanA
OA 4
= =
H

s

gúc c

a d b

ng
1
4
ho

c

2
0
1 1
(x 1) 4
=
0 0
0 0
3
x 1 y
2
5
x 3 y
2


= =






= =





t ph

ng trỡnh ti

p tuy

n d c

a

th

(C) sao cho

ng th

ng d cựng v

i hai ti

m c

n c

a (C) c

t nhau t

o thnh tam giỏc cõn .


)1(1)(
3
++==
xkxxfy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy.
b. Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8.
120.
(ĐH An Ninh 2000 ). Cho (C)
1)(
23
+==
mmxxxfy
. Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các
điểm cố định mà họ (C) đi qua. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó.
121.
Cho đồ thị
4x 5
y
2x 3

=
+
và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao diểm 2 tiệm cận, tiếp tuyến tại M
cắt 2 tiệm cận tại A, B.
a. CMR M là trung điểm AB b. Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. Tt c cú 6 ch liờn quan, Liờn h Thy Hong cú c 5 ch cũn li.