An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
ĐỀ 01
Bài 1: Chứng tỏ phương trình sau không có nghiệm nguyên: x
2
– 2y
2
= 5
HD: Suy ra x lẻ ; x = 2k+1; thay vào PT suy ra y chẵn ; y=2t; dẫn đến m.(m+1) lẻ (vô lý)
Bài 2: Giải phương trình 5
1
3
+
x
= 2 (x
2
+2)
HD: ĐKXĐ: ? Đặt a =
1
+
x
và b =
1
2
+−
xx
; suy ra: a
2
+ b
2
=5ab; KQ: x=

2
từ đó suy ra x(1-x
2
)
33
2
≤
;
Suy ra
2
2
2
33
1
x
x
x
≥
−
;……..
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy D sao cho BD = 2 DC. Trên đoạn AD lấy P sao
cho
·
·
BAC BPD=
. CMR:
·
·
1
2

2
3
+−=−
xxx
HD: C/m VP > 0 ; s/ra: x -1 > 0 ; dùng BĐT Cauchy cho x - 1 ; 2 ; 2 và kết hợp PT s/ra:
(x - 3)
2
≤ 0 ; s/ra: x = 3; thử lại (?).
Bài 3: Tìm GTNN biểu thức B = (x+1)(
1
1
+
y
) + (y+1)(
1
1
+
x
) ; trong đó x, y là các số dương thoã
mãn x
2
+ y
2
= 1 . ( Trích thi HSG Tỉnh BĐònh 2006-2007).
HD: B/đổi B = (x+
x2
1
) + ( y+
y2
1

đoạn DE (?) và MI s/song BC ; hãy c/minh AMIN nội tiếp; để ý rằng
·
·
AIN AMF=
.

ĐỀ 03
Bài 1: Tìm nhgiệm nguyên tố của phương trình : x
y
+ y
x
= z .
HD: z = x
y
+ y
x
≥ 2
2
+ 2
2
; s/ra : z n/tố lẻ ; s/ra: x và y khác tính chẵn lẻ ; giả sử x chẵn , s/ra: x = 2
(?) ; y lẻ , trường hợp y =3 (…) ; nếu y > 3 thì ( y ; 3) =1 (?) ; z = (2
y
+1
y
) + (y
2
-1) ;
Mà (2
y

⇒−
xy
yx
x
21
21
12
3
3
3
(hệ đối xứng loại hai)- Trừ vế theo vế ; đưa về PT tích !
Bài 3: Tìm GTNN biểu thức A =
tx
xz
xz
zy
zy
yt
yt
tx
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+

)(
11
;
Dùng a > 0 ; b > 0 thì
baba
+
≥+
411
( Dấu “=”
0
>=⇔
ba
); KQ: MinA = 0



=
=
⇔
tz
yx

Bài 4: Cho điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O) ; gọi KA và KT là hai tiếp tuyến (A và T là tiếp
điểm) . Trên tia đối của tia TK lấy điểm C sao cho AC cắt (O) tại B và B là trung điểm AC ; BK cắt
(O) lần nữa tại L . CMR: TL // AC .
HD: AKL~ BKA (g.g); TKL ~ BKT (g.g) s/ra: Hai tỉ lệ thức t/hợp cùng với KA = KT , s/ra
BT
TL
BC
AL

121
3
−+=+
xx
. HD: ĐKXĐ: (?); Đặt u =
3
1
+
x
và v =
2
+
x
; lập
hệ (?)
Bài 3: Cho a , b , c là các số dương ; ch/minh BĐT:
2
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
HD: Dùng BĐT Cau chy cho a và b+c thu được (…)

22
−
+
−
b
b
a
a
.
HD: Đặt x = a-1 , y = b-1 ( với x, y > 0) => A =
4)
1
()
1
(
)1()1(
22
++++=
+
+
+
y
y
x
x
y
y
x
x
Bài 3: Giải phương trình : 3


=+
=−
2
13
ytxz
ztxy
; HD: => (x
2
+ 3t
2
)(y
2
+ 3z
2
) = 13 (?)
 x
2
+3t
2
=1 hoặc y
2
+3z
2
= 1
Bài 2: Cho a > 0 , b > 0 và a+b =1 . Tìm GTNN biểu thức K =
ab
ba
11
22

HD: ĐKXĐ: (?) ; đặt u =
1
+
x
; v =
1
2
+−
xx
( với u ≥ 0 ; v > 0) => v
2
- 2u
2
- uv = 0 ;
Bài 4: Cho △ABC vuông ở A ; vẽ đường tròn (B) đường kính AD. Trên đường thẳng BC lấy E và F
sao cho B là trung điểm EF . Các tia DE và DF lần lượt cắt (B) tại các điểm khác là M và N . CMR:
C, M , N thẳng hàng .
HD: Kẽ tiếp tuyến CK (K là tiếp điểm ; K khác A) ; giả sử E , F nằm bên trong (B) và E nằm giữa B
và C ( các trường hợp còn lại CM t/tự) . Hãy CM:
CMEK nội tiếp ;
·
1AND v=
;
△ABE = △DBF (c.g. c) =>
·
·
CME NMD+
= 180
0


0 và x+y+z
≤
3 . Tim GTLN biểu thức A =
111
222
+
+
+
+
+
z
z
y
y
x
x
HD: C/m:
1
1
1
2
2
2
2
+
+
≤
+
x
x

≥ 4xy ;
yxyx
+
≥+
411
( với x,y > 0)
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB . Trên đường thẳng AB lấy điểm C ( C nằm bên
ngoài (O) ). Từ C kẽ tiếp tuyến CE và cát tuyến CMN ( E, M, N thuộc nửa (O) ). Gọi I là hình chiếu
của E lên AB . CMR:
·
·
AIM BIN=
.
HD: C/m: CI . CO = CM . CN ( = CE
2
) => △CIM ∽ △CNO => MION nội tiếp => đpcm
ĐỀ 8
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n để tổng n
4
+ n
3
+ 1 là một số chính phương .
HD: n
4
+ n
3
+ 1 > (n
2
)
2

-1 = 0 => k = 1 => n = 2 ( thử lại ?) - Nếu k
2
-1 ≥ n
2
=> k > n => n - 2k < 0 => (1) > <
Bài 2: Giải phương trình:
2
2
11
2
=
−
+
x
x
. HD: ĐKXĐ: (?) Đặt y =
2
2 x
−
( với y > 0)
Nguyễn Tấn Ngọc
3
An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
=>






31
;1
.
Bài 3: a) Tìm GTNN biểu thức A = x
3
+ y
3
+ z
3
; trong đó x , y , z ≥ -1 và x
2
+y
2
+z
2
= 12 .
HD: (x+1)(x-2)
2
≥ 0  (…) MinA = 24  x = y = z = 2.
b) Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d ≤ 1 . Tìm GTLN biểu thức:
B = (
ba
+
)
4
+ (
ca
+
)
4

·
·
·
PHE QTF BAC= =
.
ĐỀ 9
Bài 1: Tìm tất cả các giá trò hữu tỷ của x để x
2
+ x + 6 có giá trò là số chính phương.
HD: C/m: x phải là số nguyên (?) ; x
2
+x+6 = y
2
(ythuộc N) ; nhân hai vế cho 4 .
Bài 2: Tìm GTNN biểu thức A =
xx
1
2
2
+
−
(với 0 < x < 2)
HD: A =
x
xx
x
xx
2
)2(
2

·
AMB ACB AMC ABC− = −
.
CMR:AM và các đường phân giác
·
·
;ABM ACM đồng quy .
HD: Về phía ngoài △ABC dựng △APB ∽ △AMC => △APM ∽ △ABC (c.g.c) =>
·
APM
=
·
ABC
; k/hợp
·
·
APB AMC=
=>
·
·
·
·
APB APM AMC ABC− = −
hay
· ·
·
BPM AMC ABC= −
(*)
·
·

=>(><).
Bài 2: Giải PT: x
4
+ 3x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1 = 0 . HD: x = 0 (?) → chia hai vế cho x
2
→ đặt ẩn phụ ?
Bài 3: a) Tìm GTNN biểu thức C =
2
3
3
−
+
x
x
(với x > 2); HD: Thêm,bớt 2/3.
b)Cho x + y + z = 5 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 9 . CMR: 1
3
7
,,
≤≤

1
; C’C
1
đồng quy.
Nguyễn Tấn Ngọc
4
An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
HD: ( Dùng ĐL thuận & đảo Xe-Va); gọi M
1
;M
2
;M
3
l/lượt là g/điểm AM và BC ; BM và AC ;
CM và AB – Dùng Xe-Va thuận cho △ABC với ba đường đ/quyAM
1
;BM
2
;CM
3
Có:AM
3
:M
3
B ……= 1 (1); Ta-lét có: M
1
C:M
1
B = A


=−+−+
=++++
)2(754443
)1(1254445
222
222
yzxyzyx
yzxyzyx
HD: (1) +(2) => x + 2y = 10 (x,y > 0) ; (1) – (2) => y + 2z = 5 (y,z > 0) => x = 4z ; y = 5 - 2z
x > 0, y > 0 ; => 0 < z < 2,5 => z = 1;2
Bài 2: Giải PT: x
4
- 5x
3
+ 10x
2
- 10x + 4 = 0 ; HD: x = 0 (?) ; chia hai vế cho x
2
– đặt ẩn phụ (?).
Bài 3: a- Tìm GTNN biểu thức B =
xx
1
1
2
+
−
( với 0 < x < 1) ; KQ: MinB = 3+ 2
2
.

b
bc
a
ab
a
+
≥
++
≥
+
44
;
44
; => E
ab
cba
+
++
≤
4
; dùng (2 - a)(2 - b)
0 ; 2 4c≥ ≤
=>
4+ ab
)(2 ba
+≥
=> 4 +ab + ab
)(2 ba
+≥
(dấu “=”  ab = 0) =>2(4 + ab)

2
+ 3) -2(x
2
+ 3) +(4x -1)

(x
2
+ 3) => (4x -1)

(x
2
+ 3) => (4x -1)(4x + 1)

(x
2
+ 3)
 ( 16(x
2
+ 3) - 49)

(x
2
+ 3) => 49

(x
2
+ 3) => x
2
+ 3 = 7;49 – Thử lại (?)
Bài 2: Giải PT:




+
++
+






−
c
ba
ab
c
ab
ba
22
1
1
222
; KQ:MinP= 2+
2

a
cb
==
22

= ID .IE => IM = IN
Nguyễn Tấn Ngọc
5