Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan
trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri
thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt
những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá
trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài
toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng
.Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ
khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử
dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ,
do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài
toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết
phải giải quyết như thế nào.
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung
khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình ,
hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng
phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
1

GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
2
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.Cơ sở lý luận của vấn đề:
Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số để
phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm vững các
mệnh đề sau:
Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên tập D
* Phương trình f(x) = m có nghiệm
min ( ) max ( )
x D
x D
x D f x m f x
∈
∈
∈ ⇔ ≤ ≤
* Bất phương trình
( )f x m≤
có nghiệm
min ( )
x D
x D f x m
∈
∈ ⇔ ≤
* Bất phương trình
( )f x m≥

( ) ( )
1 2
,C C
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
là :
( ) ( ) (1)f x g x=
Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
II.Thực trạng của vấn đề:
a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất
phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng
( ) ( )f x g m=
hoặc
( ) ( )f x g m≤
sau đó
ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn giản.

Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa
các biểu thức phức tạp ta làm như sau:
* Đặt ẩn số phụ
( )t x
ϕ
=
.
* Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t.
* Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phương
trình ẩn t.Ta được
( ) ( )h t g m=
hoặc
( ) ( ); ( ) ( )h t g m h t g m≤ ≥

* Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
3
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

* Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán
2.Các bài toán minh họa:
2.1 *Dạng 1: Phương trình.
Bài toán 1 : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
2
2 2 1x mx x+ + = +
có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Ta có:
2
2

x
⇔ = + −
Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của
:d y m=
và đồ thị
1
( ): ( ) 3 4C f x x
x
= + −
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
{ }
1
; \ 0
2
x
 
∈ − +∞ ⇔
÷

 
:d y m=
cắt
1
( ): ( ) 3 4C f x x
x
= + −
trên
{ }
1
; \ 0

∞
+
∞
f(x)

9
2
-
∞
Từ bảng biến thiên ta có:
9
2
m ≥
* Nhận xét :
Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải theo cách đưa
về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm
phân biệt thỏa điều kiện
1
;
2
x
 
∈ − +∞
÷

 
.Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của
phương trình bậc hai với
1
2

t
x x
− +
=
− +
;
'
9
0
2
t x= ⇔ =
x 0
9
2
9

'
t
+ 0
− t
9
2 0 0
Do đó :
9


( )f t
10

9
9
4
−
Phương trình (1) có nghiệm
[ ]
0;9x∈ ⇔
phương trình (3) có nghiệm
9
0;
2
t
 
∈
 
 

9
10
4
m⇔ − ≤ ≤
* Nhận xét :
Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt :
2 2
9 2 9 9x x x x m+ − + + − =


+ +
 
(2)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
5
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Đặt
4
1
1
x
t
x
−
=
+
, Do
4 4
1 2
0 1 1 0 1
1 1
x
t
x x
−
≤ = − < ⇒ ≤ <
+ +
Phương trình (2) trở thành :
2 2

1
3
0 -1
Phương trình (1) có nghiệm
[
)
1;x ∈ +∞ ⇔
phương trình (3) có nghiệm
[
)
0;1t ∈

1
1
3
m⇔ − < ≤
* Nhận xét:
Nếu không đặt được ẩn phụ mà giải trực tiếp thì đây là bài toán tương đối phức
tạp. Khi đặt ẩn phụ học sinh hay gặp sai lầm là chỉ nói được
0t ≥
, không chỉ ra
được t<1.
Bài toán 4: Cho phương trình
2 2
2 1 2
2
log log 3 (log 3)x x m x+ − = −
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm
[

t
+
⇔ =
−
(3)
Xét hàm số
1
( )
2
t
f t
t
+
=
−
,
5t ≥
Ta có :
( )
'
2
4
( ) 0 , 5
3
f t t
t
−
= < ∀ ≥
−
Bảng biến thiên

0m
≥
, ta có :
1 3m< ≤
.
* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t
phải kiểm tra nghiệm đó thỏa
5t ≥
. Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về
dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 5 :Cho phương trình
1 1 2 2
4 4 ( 1)(2 2 ) 2
x x x x
m m
+ − + −
+ = + − +
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm
[ ]
0;1x∈
Lời giải :
PT (1)
4(4 4 ) ( 1)4(2 2 ) 2
x x x x
m m
− −
⇔ + = + − +
(2)

0
2
t≤ ≤
PT (2) trở thành :
2
2
2 2 4
2( 2) 2( 1)
2 1
t t
t m t m m
t
− +
+ = + + ⇔ =
+
(3)
Xét hàm số
2
2 2 4 3
( ) , 0;
2 1 2
t t
f t t
t
− +
 
= ∈
 
+
 


Bảng biến thiên :
t 0
3
2'
( )f t

−
( )f t
4
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
7
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

11
8
Phương trình (1) có nghiệm
[ ]
0;1x∈ ⇔
phương trình (3) có nghiệm
3

− + + + =

Lời giải:
Điều kiện:
1 1x≤ ≤
. Đặt
2
1 1
3
x
t
+ −
=
.
Ta có:
2 2
0 1 1 1 1 1 2x x≤ − ≤ ⇒ ≤ − + ≤
Nên
2
1 1 2
3 3 3 3 9
x
t
− +
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Khi đó, phương trình đã cho trở thành

( )
2
2

4 5
( ) 0, 3;9
2
t t
f t t
t
− +
= > ∀ ∈
−
.
Suy ra:
( )f t
là hàm số đồng biến trên
[ ]
3;9
Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi
[ ]
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
3;9
3;9
55
min ax 3 9 1
7
f t m m f t f m f m≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Bài toán 7 : Cho phương trình
( ) ( )
3 tan 1 sin 2cos sin 3cosx x x m x x+ + = +

⇔ + =
+

tan 2
3 tan 1
tan 3
x
x m
x
+
⇔ + =
+
(2)
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
8
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Đặt
tan , 0t x t= >
PT (2) trở thành
2
3 1 .
3
t
t m
t
+
+ =
+
, t >0

t 0
+∞'
( )f t
+
( )f t

+∞ 2
Ứng mỗi
0t
>
thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
của PT (1)
Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa

− +
+ =
Xét hàm số
6 3
( )
x x
f x
x x
− +
= +
,
[ ]
3;6x∈ −
Ta có :
'
2 2
12 6
( )
2 6 2 3
x x
f x
x x x x
− +
= −
− +
Với mọi
[ ]
3;6 12 0, 6 0x x x∈ − ⇒ − < + >
nên
( )


⇔

≥

* Nhận xét :
Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn
thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến
thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 3 2
3 1 2 2 1x x x m− − + + =
(1) trên
1
;1
2
−
 
 
 
Lời giải:
Xét hàm số
( )
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x= − − + +
trên
1
;1
2

 
 
 
.
Ta có
( )
2
3 4 0 0g x x x x
′
= + = ⇔ =
Ta có bảng biến thiên
x
1
2
−
0 1

'
( )g x
+ 0
−
( )g x
1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

x
x
x x x
+
 
+ > ∀ ∈ −
 
 
− + +
Do đó
( )
0 0f x x
′
= ⇔ =
Bảng biến thiên:
x
1
2
−
0 1

'
( )f x

−
0 +
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
10
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số


* Nhận xét :Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến
đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng
bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 10 : Chứng minh rằng
0m∀ >
, phương trình sau luôn có hai nghiệm
thực phân biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −

Giải
Do
0m >
nên
2x ≥

(1)
⇔
[ ]
2
( 2)( 4) ( 2) ( 2)( 4) ( 2)x x m x x x m x− + = − ⇔ − + = −
2
3 2
2
( 2) ( 2)( 4) 0
6 32 0(*)
x
x x x m
x x m
=

+∞'
( )f x
+
( )f x

+∞ 0
Từ bảng biến thiên suy ra
0m∀ >
phương trình (*) có đúng một nghiệm
2x >
.
Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt
0m∀ >
.
* Nhận xét:
Sau khi tìm được điều kiện
2x ≥
việc khảo sát hàm số
( )f x
ở trên là rất dễ
dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng

 

1
;4
2
min 4 2 2 4m x x
 
 
 
 
⇔ > − + −
 
Xét hàm số
( )
4 2 2 4f x x x= − + −
trên
1
;4
2
 
 
 
.
Ta có
( )
( ) ( )
2 1 2 4 4 2
4 2 4
4 2 4
x x

2
min 14f x
 
 
 
 
=
 
.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
14m >
.
Bài toán 2: Tìm tham số
m
để bất phương trình sau có nghiệm:

3 1mx x m− − ≤ +
(1)
Giải
Điều kiện:
3x ≥
. Đặt
2
3 , 0 3t x t x t= − ≥ ⇒ = +
BPT (1) trở thành
2
2
1
( 3) 1
2

1 3
2
t
t t
f t f t t t
t
t

= − +
− − +
= = ⇔ − − + = ⇔

= − −

+

Bảng biến thiên
t 0
3 1−

+∞'
( )f t
+ 0
−


[
0; )
max ( )m f t
+∞
⇔ ≤

3 1
4
m
+
⇔ ≤
* Nhận xét:
Nếu đưa về bất phương trình
1 3
3 1
1
x
mx x m m
x
+ −
− − ≤ + ⇔ ≥
−
. Khi đó hàm số
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
12
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

( )
1 3

− +
= = ⇔ =
− + +
x
4−
1 6

'
t

−
0 +
t
5

0 0
Do đó
0 5t≤ ≤
Bất phương trình (1) trở thành
2 2
24 24t t m m t t≤ − + ⇔ ≥ + −
(2)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
[ ]
4;6x∈ − ⇔
Bất phương trình (2)
nghiệm đúng với mọi

2 9
2 9 1
x
m x x m m
x
+ < + ⇔ <
+ −
, vì
2
2 9 1 0,x x+ − > ∀
Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi
x
2
min
2 9 1
x
m
x
 
⇔ <
 
+ −
 
¡
Xét hàm số
( )
2
2 9 1
x
f x

=

+ + −
Bảng biến thiên:
x

−∞
-6 6
+∞

( )
f x
′
- 0 + 0 -
GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
13
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số1
2
−

3
4
( )
f x

3
4

4
x
π
 
∈
 
 
.
Lời giải
Đặt
tanx
4t =
. Với
[ ]
0; 1;4
4
x t
π
 
∈ ⇒ ∈
 
 
.
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
2
2 2 2 0mt mt m− + − ≥
.
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
0;
4

=
− +
trên
[ ]
1;4
. Ta có
( )
( )
( )
[ ]
2
2
4 1
0, 1;4
2 2
t
f t t
t t
−
′
= ≤ ∀ ∈
− +
Bảng biến thiên
t 1 4

'
( )f t

−


( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
5 5 5 5
1 log 1 log 4 log 5 1 log 4x mx x m x mx x m
 
+ + ≥ + + ⇔ + ≥ + +
 
( )
2
2
2 2
2
4
4 0
1
4
5 1 4
5
1
x
m
mx x m
x
x
x mx x m
m
x
−

>

x
x
m
x

−
 
>

 
+
  
⇔

−
 

≤ +
 

+
 

¡
¡
Xét hàm số
( )
2
4
1


=

+
Bảng biến thiên:
x

−∞
-1 1
+∞

( )
f x
′
+ 0 - 0 +
2 0

( )
f x

0 -2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
( ) ( )
min 2;max 2f x f x
   
= − =
   
¡
¡
.

⇔
( ) ( )
[
)
2
2 1 3 2 0, 2;y mx m x m x
′
= − − + − ≥ ∀ ∈ +∞

[
)
[
)
2 2
2;
6 2 6 2
, 2; ax
2 3 2 3
x x
m x m m
x x x x
+∞
− −
 
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥
 
− + − +
 
Xét hàm số
( )

Bảng biến thiên:
x 2
3 6+

+∞

'
( )f x

−
0 +
( )f x

2
3
0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
[
)
( )
2;
2
ax
3
m f x
+∞
 

x + 36cos
2
x

+ 24m - 12m
2

≥
0 (2)
Đặt t = cosx với t
∈

[ ]
1;1−
Bất phương trình (2) trở thành 3t
4
- 20t
3
+ 36t
2
+ 24m - 12m
2

≥
0

⇔
3t
4
- 20t

+ 72t = 12t(t
2
- 5t + 6)
f’(t) = 0
⇔
12t(t
2
- 5t + 6) = 0
⇔






=
=
=
3t
2t
0t
Bảng biến thiên
t -1 0
1

'
( )f t

−
0 +


⇔
12m
2
- 24m
≤
0
⇔
0
≤
m
≤
2
Vậy: 0
≤
m
≤
2
2.3* Dạng 3: Hệ phương trình
Bài toán 1: Tìm m để hệ phương trình
( ) ( )
2 2
8
1 1
x y x y
xy x y m

+ + + =



=


GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
16
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Vì
1 1 33
8
4 4 4
v u u≥ − ⇒ − ≥ − ⇔ ≤
. Do đó:
1 33
4 4
u− ≤ ≤
Hệ phương trình (1) có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm
1 33
;
4 4
u
 
∈ −
 
 
Xét hàm số
2
( ) 8f u u u= − +

+
0
−
( )f u
16

33
16
−

33
16
−
Từ bảng biến thiên ta có
33
16
16
m− ≤ ≤
*Nhận xét
Ta có thể giải cách khác là: Hệ phương trình có nghiệm
⇔
phương trình (2) có
hai nghiệm u, v lớn hơn hoặc bằng
1
4
−
. Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm với

1 1x y x x⇒ + − = − +

1 1
( ) ( )
x x y y
f x f y
⇔ − − = − −
⇔ =
Xét hàm số
[ ]
( ) 1 , 0;1f t t t t= − − ∈

( )
'
1 1
( ) 0 , 0;1
2 2 1
f t t
t t
= + > ∀ ∈ ⇒
−
hàm số
( )y f t=
đồng biến trên
[ ]
0;1
Khi đó :
( ) ( )f x f y x y= ⇔ =
Thay vào hệ ta được :
[ ]

1
2

1

'
( )f x

+
0
−
( )f x

21

1
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
⇔
phương trình (2) có nghiệm duy
nhất.
Từ bảng biến thiên ta có :
1 2 2 1m m+ = ⇔ = −
* Nhận xét :
Ta có thể giải hệ trên dùng điều kiện cần và đủ. Giả sử

(1) có nghiệm
Lời giải :
Hệ phương trình (1)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 1 2
x x x y m
x x x y m

− − =

⇔

− + − = −


Đặt
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y= − ≥ − = −
Hệ đã cho trở thành
2
(2 1) 0 (2)

2 1
u u
m u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+
Xét hàm số
2
( )
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
, với
1
4
u ≥ −
Ta có :
( )
2
' '
2
2 2 1 3 1
( ) , ( ) 0
2
2 1
( )f u

2 3
2
−5
8
−

−∞
Từ bảng biến thiên ta có :
2 3
2
m
−
≤
.
* Nhận xét :
Đây là một câu trong đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011. Nếu học sinh
không trang bị đầy đủ kiến thức về dạng toán trên thì gặp khó khăn khi giải bài
này.
Bài toán 4: Tìm m để hệ phương trình
2 3
3 3
2
3 3

x y
x y m
m
+ +
− +
+

+ =

⇔

+ =


Đặt
2
3
3
( 0, 0)
3
x y
x y
u
u v
v
+
+

=
> >

( )
1
( ) 3 , 0;3f v v v
v
= − + ∈
Ta có :
( )
'
2
1
( ) 1 0 , 0;3f v v
v
= − − < ∀ ∈
Bảng biến thiên :
v 0 3

'
( )f v

−
( )f v

+∞


0 4
x
y
− ≤ ≤


≤ ≤

Ta có
( ) ( )
3
3
(1) 12 2 12 2x x y y⇔ − = − − −
Xét hàm số
[ ]
3
( ) 12 , 2;2f t t t t= − ∈ −

( )
( )
' 2 2
( ) 3 12 3 4 0 , 2;2f t t t t t⇒ = − = − < ∀ ∈ −
Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên
[ ]
2;2−
(3)
Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn
[ ]
2;2−
và

= − = − +
 ÷
− −
 
= ⇔ =
Bảng biến thiên
x
2−

0

2

'
( )g x

+
0
−
( )g x

6
16
−

x x x x x
x x
+ + + + +
− + ≤ ⇔ − ≤ −
(3)
Nếu x = 1thỏa bất phương trình (3).Do đó bất phương trình (3) có nghiệm x = 1
Nếu
1x >
thì VT > 0 còn VP < 0 nên bất phương trình (3) vô nghiệm
Nếu
1 1x− ≤ <
thì VT < VP nên bất phương trình (3) có nghiệm là
1 1x− ≤ <
Do đó:Bất phương trình (3) có tập nghiệm là
[ ]
1;1T = −
Để hệ bất phương trình có nghiệm thì bất phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1;1x∈ −

GV: Trần Dũng Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
20
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

Ta có :
( )
[ ]
2
2 2
2 3

2
2 3
x
x x
f x f x x x
x
x

= +
− +
= = ⇔ − + = ⇔

−
= −



Bảng biến thiên
x -1
2 3−
1

'
( )f x

+
0
−
21
Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

C. KẾT LUẬN
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn
ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm
và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm
của một phương trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế,
học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có
những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình .
Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển
sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách
giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn
điệu của hàm số. Đề tài này chỉ giới thiệu cách giải một số phương trình, bất
phương trình, đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số bằng việc
sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết,
vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian
có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người
yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường.
Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.
Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan
đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp.

Quảng Điền, ngày 20 tháng 3 năm 2012.
Người viết
Trần Dũng