Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan
trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri
thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt
những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá
trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài
toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng
.Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ
khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử
dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ,
do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài
toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết
phải giải quyết như thế nào.
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung
khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình ,
hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng
phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự
GV: Trần Dũng

trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình
, hệ phương trình có chứa tham số.
- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình
đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình,
bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình
mũ và logarit, hệ phương trình.
IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh

GV: Trần Dũng

2

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.Cơ sở lý luận của vấn đề:
Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số để
phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm vững các
mệnh đề sau:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên tập D
* Phương trình f(x) = m có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x) ≤ m ≤ max f ( x)
x∈D

x∈D

* Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x) ≤ m

* Tính f ' ( x)
* Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
* Xác định max f ( x); min f ( x) .
x∈D

x∈D

* Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán.
Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa
các biểu thức phức tạp ta làm như sau:
* Đặt ẩn số phụ t = ϕ ( x) .
* Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t.

GV: Trần Dũng

3

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phương
trình ẩn t.Ta được h(t ) = g (m) hoặc h(t ) ≤ g (m); h(t ) ≥ g (m)
* Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
* Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán
2.Các bài toán minh họa:
2.1*Dạng 1: Phương trình.
Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + mx + 2 = 2 x + 1

1

(C ) : f ( x) = 3x + 4 −

1
1
1
1
trên ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0} .Ta có: f ' ( x) = 3 + 2 > 0, ∀x ∈ ⎡⎢ − ; +∞ ⎞⎟ \ {0}
x
x
⎣ 2
⎠
⎣ 2
⎠

Bảng biến thiên:
x

−

1
2

f’(x)

0

+∞


x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m (1)
GV: Trần Dũng

4

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lời giải:
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 9
PT (1) ⇔ x + 9 − x + 2 x(9 − x) = − x 2 + 9 x + m
(2)

⇔ 9 + 2 − x2 + 9 x = − x2 + 9 x + m

Đặt t = − x 2 + 9 x
−2 x + 9

Ta có: t ' =

2 −x + 9x
2

; t' = 0 ⇔ x =
9
2


Bảng biến thiên :
t 0

1

9
2

+ 0 −
10

f ' (t )
f (t )

9

−

9
4

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ 0;9] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡⎢0; ⎤⎥
⎣ 2⎦
9

⇔−

9
≤ m ≤ 10
4

x −1 4
2
, Do 0 ≤ 4
Đặt t = 4
= 1−

'

3
2

t
0
Do đó : 0 ≤ t ≤

3
2

PT (2) trở thành : 2(t 2 + 2) = 2(m + 1)t + m ⇔

2t 2 − 2t + 4
= m (3)
2t + 1

2t 2 − 2t + 4
⎡ 3⎤
, t ∈ ⎢0; ⎥
2t + 1
⎣ 2⎦
⎡ −1 + 11
⎢t =
2
4t + 4t − 10 '
2
⎢
Ta có : f ' (t ) =

t 0
−

f ' (t )
f (t ) 4

11
8

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [0;1] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡⎢0; ⎤⎥
⎣ 2⎦
3

⇔

11
≤m≤4
8

* Nhận xét :
Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t
phải kiểm tra nghiệm đó thỏa t ∈ [ 0;1] . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về
dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên.
Bài toán 6 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

91+

1− x 2

− ( m + 3) 31+

2
(t − 2)
2

Suy ra: f (t ) là hàm số đồng biến trên [3;9]
Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi

55
7
Bài toán 7 : Cho phương trình 3 tan x + 1 ( sin x + 2 cos x ) = m ( sin x + 3cos x ) (1)
min f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( 3) ≤ m ≤ f ( 9 ) ⇔ 1 ≤ m ≤
[3;9]

[3;9]

π

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟
⎝ 2⎠
Lời giải :

π

Xét x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ , khi đó sin x > 0, cos x > 0, tan x > 0 ,sin x + 3cos x > 0
⎝ 2⎠
GV: Trần Dũng

8

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

PT (1) ⇔ 3 tan x + 1

Bảng biến thiên
t 0

+∞

+

'

f (t )
f (t )

+∞

2

π
Ứng mỗi t > 0 thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ của PT (1)
⎝

2⎠

π
Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa x ∈ ⎛⎜ 0; ⎞⎟ khi và chỉ khi PT (3) có duy
⎝

2⎠



Bảng biến thiên :

GV: Trần Dũng

9

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh


Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0

x −3
f’(x)
−
-1
f(x)

6
−

+∞
1
2

-∞


−
x3 + 2 x 2 + 1
x
1 − x2
1
⎝
−1
trên ⎡⎢ ;1⎤⎥ .

g ( x ) = x3 + 2 x 2 + 1

Xét hàm số

⎞
⎟
x3 + 2 x 2 + 1 ⎠
3x + 4

⎣2

Ta có g ′ ( x ) = 3x + 4 x = 0 ⇔ x = 0

⎦

2

Ta có bảng biến thiên
x −

1

Suy ra
⎣ 2 ⎦
1 − x2
x3 + 2 x 2 + 1
Do đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0

GV: Trần Dũng

10

Trường THPT Nguyễn Chí Thanh