Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Đường bậc hai tổng quát vẫn còn là xa lạ với học sinh THPT. Vì
vậy các vấn đề liên quan vẫn còn mới lạ và khó hiểu vơí nhiều học sinh,
Phương trình tiếp tuyến với các đường bậc hai không là ngoại lệ.
Nguyên nhân là do thiết kế chương trình, học sinh học lên lớp 12 mới
được tìm hiểu và tiếp xúc với một số đường bậc hai. Mặt khác khi xây
dựng các đường bậc hai sách giáo khoa giới thiệu các đường bậc hai
không trong một tổng thể, mà chia ra từng loại cụ thể. Nên dẫn đến mỗi
bài tương ứng với mỗi đường ta đều phải xây dựng toàn bộ lý thuyết về
các đường đó và các vấn đề liên quan, việc xuất hiện nhiều khái niệm
mới và nhiều tính chất mới của các đường lại càng làm cho học sinh
thêm bối rối và khó tiếp nhận vấn đề hơn. Ngoài ra mỗi đường bậc hai lại
có những đặc điểm những tính chất khác nhau, nên việc nghiên cứu về
chúng có nhiều điểm khác nhau, phương pháp nghiên cứu và xây dựng
cũng khác lại càng tạo cho các em học sinh khó khăn hơn trong việc phân
định rõ ràng tính chất và bản chất từng loại.
Với mục tiêu không để đường bậc hai còn xa lạ, đặc biệt là vấn đề
tiếp tuyến với các đường bậc hai không còn là khó khăn với các em học
sinh. Bài viết này xin trình bày hai phương pháp xây dựng phương trình
tiếp tuyến với các đường bậc hai tổng quát. Trên cơ sở đó triển khai cho
các đường bậc hai trong chương trình THPT, nhằm rút ngắn khoảng cách
cho các em học sinh với các đường bậc hai và những vấn đề liên quan
đến đường bậc hai.
II. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1.MỤC TIÊU:
Giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan về các đường bậc hai nói
chung và các đường bậc hai trong chương trình THPT. Rút gần khoảng
cách giữa các em và các đường bậc hai. Đặc biệt là bài toán về phương
trình tiếp tuyến với các đường bậc hai
Trên cơ sở đó học sinh có thể vận dụng vào nghiên cứu các vấn đề

V. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Dựa trên cơ sở lí thuyết về ứng dụng của Đại số, Giải tích vào
Hình học sơ cấp nói chung và đường bậc hai nói riêng.
Dựa vào khả năng tìm hiểu, nghiên cứu và sử lý vấn đề của đối
tượng nghiên cứu.
Bài viết được chia làm hai phần:
Phần I: Sử dụng phương pháp Giải tích xây dựng phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai trong trường hợp tổng quát
Phần II: Sử dụng phương pháp Đại số xây dựng phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai trong trường hợp tổng quát
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
VI. NỘI DUNG
PHẦN I
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH XÂY DỰNG
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT
A. LÝ THUYẾT
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG
- Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) có miền xác định D.
Điểm x
0
thuộc D sao cho tại x
0
có f
’
(x
0
). Khi đó đường cong (C) có

Đường bậc hai là một tập hợp (S) gồm tất cả các điểm M(x;y) thảo mãn
phương trình Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2
+ 2Dx +2Ey + F = 0 (S).
(Trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
2.2 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT
- Trong chương trình THPT đã đề cập đến các đường bậc hai là Elíp,
Hypebol, Parabol và Đường tròn và đề cập đến chúng đều ở dạng chính
tắc.
- Đường bậc hai (S) là phương trình đường bậc hai tổng quát cho tất cả
các đường bậc hai nói trên. ứng với mỗi giá trị của các số A, B, C, D, E,
F thì S sẽ là các đường Elíp hoặc Hypebol hoặc Parabol hoặc Đường
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
tròn ở dạng tổng quát hoặc một số đường bậc hai khác trong chương trình
THPT không đề cập đến.
Cụ thể: Ta có (S)
⇔

F
C
E
A
D
C
E
yC
A




+






≠=
=
0
0
0
22
A
F
A
E
A
D
CA
B
thì (S) là một đường tròn có phương
trình dạng: Ax
2
+ Ay
2
+ 2Dx + 2Ey + F = 0 (C)

0
22
F
C
E
A
D
C
A
B
hoặc









<−






+







≠−






+






<
=
0
0
0
22
F
C
E
A
D
CA

BC
DC
BA
.
.
thì (S) là một Parabol có phương trình



=+++
=+++
0 F 2Ey 2Dx Ax
0 F 2Ey 2Dx Cy
2
2
(Chúng ta có thể dễ dàng kiểm chứng kết luận trên)
3. KHÁI NIỆM HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
3.1 KHÁI NIỆM HÀM ẨN
Cho phương trình F(x;y) = 0 (1) . Nếu x thuộc một miền nào đó mà tồn
tại hàm số : y = f (x) duy nhất sao cho F(x. f(x)) = 0 thì hàm y = f (x)
được gọi là hàm ẩn của xác định bởi phương trình (1)
3.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
- Phương trình F(x;y) = 0 xác định y là hàm ẩn của x ( xem là hàm khả
vi) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F(x;y) = 0 theo x ta được
phươngtrình bậc nhất đối với y
’
. Từ phương trình này ta tìm được y
’

F(x;y) = x
2
+ y
2
– 2x - 2y + 3 = 0
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phương trình theo x ta
được. 2x – 2 + 2y. y
‘
- 2 y
‘
= 0
⇒
y
‘
=
1
22
12
≠
−
+
− y
y
x
;
VD2: Tìm y
‘
của đường bậc hai có phương trình
1
2

′
⇒−=
′
⇒=
′
+ y
a
x
y
b
y
a
x
b
yy
b
yy
a
x
;
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
B .BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI
(Trong trường hợp tổng quát)
Bài toán: Cho đường bậc hai : F(x;y) = 0 (S) với
F(x;y) = Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2

222222222222
222
222
00000
2
00
2
00000
0
00
00
0
000
−+−+−=−−−++⇔
−
++
++
−=−⇔
−
′
=−
)(
))((

EMBED Equation.3
0
000000
=++++++++⇔ FyyExxDyCyxyyxBxAx )()()(

(*)

++
++
−=
′
⇒
++
++
−=
′
⇔
=+++++
′
⇔
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
Để cho việc triển khai vào ứng dụng làm các bài tập thuận lợi, rễ học rễ
nhớ. Người ta đặt cho phương trình (*) một cái tên là phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai viết bằng "Công thức phân đôi toạ độ"
Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của bài toán tổng quát trên cho các đường
bậc hai trong chương trình THPT. Từ đó tìm ra điều kiện cần và đủ để
một đường thẳng là tiếp tuyến của đường bậc hai tương ứng
5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
(Trong chương trình THPT)
5.1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
a) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M
Cho đường tròn (C)và điểm M(x
0
; y
0
) nằm trên (C) vận dụng kết quả của
bài toán tổng quát trên viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

F
C
E
A
D
A
Phương trình tiếp tuyến của (C) là ( Sử dụng "Công thức phân đôi toạ
độ" ) EMBED Equation.3
0
0000
=++++++ FyyExxDyAyxAx )()(
Dạng 2: Đường tròn (C) có phương trình (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
Dùng "Công thức phân đôi toạ độ " cho ta phương trình tiếp tuyến là:
(x
0
- a )( x - a ) + (y
0
- b )( y - b) = R
2
b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Đường thẳng (l ) : A
1
x + B
1
y + C










>−






+






>
>
=
0
0
0
0




<
<
=
0
0
0
0
22
F
C
E
A
D
C
A
B

áp dụng Công thức phân đôi toạ độ :
Khi đó phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M trên Elíp là:
EMBED Equation.3
0
0000
=++++++ FyyExxDyCyxAx )()(
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
Dạng 2: Phương trình EMBED Equation.3
1

(Ta chỉ cần xét trong trường hợp E ở dạng chính tắc các trường hợp còn
lại sử dụng công thức đổi trục toạ độ chuyển về dạng chính tắc sẽ đơn
giản hơn nhiều)
Cho Elíp (E) có phương trình: EMBED Equation.3
1
a
x
2
2
2
2
=+
b
y
Đường thẳng (l ) có phương trình A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
áp dụng công thức phân đôi toạ độ cho ta phương trình tiếp tuyến với E
tai điểm M(x
0
; y
0
) là EMBED Equation.3
1
2
0

0
1
2
1
0
2
1
0
1
C
bB
y
C
aA
x
C
bB
y
aA
x
thay vào Phương trình
(E) cho ta điều kiện cần và đủ là: EMBED Equation.3
2
1
22
1
22
1
CbBaA =+


a
X
E
nyY
mxX
:)(

Đường thẳng (l) có phương trình A
1
x + B
1
y +A
1
m+ B
1
n+ C
1
= 0
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
(trong hệ toạ độ XIY thì E ở dạng chính tắc , nên ta có quyền áp dụng
điều kiện đã xây dựng ở mục trên )
. Bước 2:áp dụng điều kiện để đường thẳng (l) là tiếp tuyến của (E) là
EMBED Equation.3
2
111
22
1
22
1


>
>
=
0
0
0
0
22
F
C
E
A
D
C
A
B
hoặc EMBED
Equation.3









<−


1
x + B
1
y + C
1
= 0 là tiếp tuyến ta sẽ chuyển (E) về dạng tổng quát
EMBED Equation.3
1
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ny
a
mx )()(
và vận dụng công thức đã xây
dựng trên
5.2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M trên (H)
-Xét phương trình Hypebol ở hai dạng
Dạng1: Ax
2
+ Cy
2
+ 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK: EMBED Equation.3

A
D
CA
B
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M(x
0
; y
0
) trên Elíp là:
áp dụng " Công thức phân đôi toạ độ" ta được
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
EMBED Equation.3
0
0000
=++++++ FyyExxDyCyxAx )()(
Dạng 2: Phương trình EMBED Equation.3
1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ny
a

a
x
Đường thẳng (l ) có phương trình A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" cho ta phương trình tiếp tuyến
với Hypebol tại điểm M(x
0
; y
0
) là EMBED Equation.3
1
2
0
2
0
=−
b
yy
a
xx
Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với (H) tại M(x
0
; y
0
) điều kiện cần và đủ

C
aA
x
C
bB
y
aA
x
thay vào Phương
trình (H) cho ta điều kiện cần và đủ là: EMBED Equation.3
2
1
22
1
22
1
CbBaA =−
( Kết quả này đã được trình bày trong sách giáo khoa hình
giải tích 12)
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
- Ta sẽ mở rộng cho đường Hypebol có phương trình tổng quát
EMBED Equation.3
1
2
2
2
2
=
−

y +A
1
m+ B
1
n+ C
1
= 0
(Trong hệ toạ độ XIY thì (H) ở dạng chính tắc, nên ta có quyền áp dụng
điều kiện đã xây dựng ở trên )
. Bước 2: áp dụng điều kiện để đường thẳng (l) là tiếp tuyến của E là
EMBED Equation.3
2
111
22
1
22
1
C nB mA )( ++=− bBaA
Chú ý : Đối với (H) có phương trình dạng
Ax
2
+ Cy
2
+ 2Dx + 2Ey + F = 0 ĐK: EMBED Equation.3







1
x + B
1
y + C
1
= 0 là tiếp
tuyến ta sẽ chuyển (E) về dạng tổng quát EMBED Equation.3
1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ny
a
mx )()(
EMBED Equation.3 và vận dụng công thức đã xây
dựng trên
5.4 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA PARABOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M trên (P)
-Xét phương trình Parabol ở các dạng
Dạng1: Dạng chính tắc y
2
= 2px ( với p > 0) (P)
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí


= ax
2
+ bx + c (a EMBED Equation.3
)0≠
Điểm
M(x
0
; y
0
) trên (P)
Phương trình tiếp tuyến tại M là: EMBED Equation.3
2
0
yy +
= ax
0
x
EMBED Equation.3
( )
cxx
b
+++
0
2
b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Parabol
Phương pháp xây dựng điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến
của Parabol tương tự như phần xây dựng điều kiện cần và đủ để đường
thẳng là tiếp tuyến của Elíp cho ta các kết quả sau:
Cho đường thẳng (l) có phương trình A

= 2py ( với p > 0)
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2B
'
C
'
= p.A
1
2
Dạng4: (P) có dạng x
2
= - 2py ( với p > 0)
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của
Parabol là: - 2B
'
C
'
= p.A
1
2
Chú ý: Nếu (P) ở dạng EMBED Equation.3



≠=+++
≠=+++
0AE 0; F 2Ey 2Dx Ax
0C.D 0; F 2Ey 2Dx Cy

F -2Ey -
A
D
x A
0C.D ;
C
E
F -2Dx -
C
E
y C
2
2
2
2
Bước2: Dùng công thức đổi trục toạ độ chuyển (P) về 1 trong 4 dạng đã
trình bày ở trên
Chuyển phương trình của đường thẳng (l) sang hệ toạ độ mới
Bước 3: Trong hệ toạ đô mới áp dụng điều kiện cần và đủ cho từng dạng
cụ thể cho ta kết quả.
Như vậy các bạn chú ý cho rằng đối với các đường bậc hai khi xét chúng
ta nên xét chúng ở dạng chính tắc. Còn những dạng phức tạp khác chúng
ta nên dùng công thức đổi hệ trục toạ độ để chuyển chúng về dạng chính
tắc và vận dụng công thức đã xây dựng trong phần đường bậc hai xét ở
dạng chính tắc.
Kết luận 1:
Bằng phương pháp giải tích ta đã xây dựng được phương trình tiếp tuyến
với đường bậc hai nói chung và các đường bậc hai đã nghiên cứu trong
chương trình THPT nói riêng. Trên cơ sở đó đã vận dụng tìm điều kiện
cần và đủ để một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường bậc hai cụ

0
) trên (S) và đường thẳng d có phương trình EMBED
Equation.3



+=
+=
btyy
atxx
0
0
(trong đó a,b không đồng thời bằng 0)
Xác định a,b để đường thẳng d là tiếp tuyến của (S)
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Hai phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của Đường bậc hai
Xét phương trình giao điểm của (S) và d EMBED Equation.3
)(,
)()()())(()(
10
0222
0 F 2Ey 2Dx Cy 2Bxy Ax
2
00
2
000
2
0
22
0

2
000
2
0
0000
22
R
EbDaCbybxayBAaxQ
CbBabaAP
)(
.
Do M EMBED Equation.3
∈
(S) nên ta có EMBED Equation.3
F 2Ey 2Dx Cy y2Bx Ax
00
2
000
2
0
+++++
EMBED Equation.3
⇒
R = 0
nên ta có (1) trở thành Rt
2
+ Qt = 0 (2)
Để d là tiếp tuyến của (S) thì phương trình (2) phải có hai nghiệm trùng
nhau. Cần và đủ là Q = 0 EMBED Equation.3
⇒

không xảy ra. vì đây là trường hợp hàm bậc hai suy biến"
- Nếu EMBED Equation.3



=++
≠++
0
0
00
00
ECyBx
DByAx
thì ta chọn EMBED
Equation.3



++−=
++=
)( ECyBxa
DByAxb
00
00

Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
(Ax
0

0
+ E
(4) trở thành : F
x
(x
0
; y
0
) (x - x
0
) + F
y
(x
0
; y
0
) (y- y
0
)= 0 (5)
Vậy phương trình (5) là phương trình đường thẳng d cũng là phương
trình tiếp tuyến cuả đường bậc hai (S) tại điểm M
Ta có thể biến đổi (4) về phương trình:
(4) EMBED Equation.3
⇔
Ax
0
x+ B(x
0
y + y
0


+






≠
0
0
22
F
C
E
A
D
A
, M(x
0
; y
0
) EMBED Equation.3
∈
(C).
Ta có: F
x
(x
0
; y

0
) (y- y
0
) = 0
EMBED Equation.3
⇔
(Ax
0
+ D) (x - x
0
)+ (Ay
0
+ E) (y- y
0
) = 0
EMBED Equation.3
⇔
Ax
0
x+ Ay
0
y + D(x
0
+ x) + E(y
0
+ y) + F
= 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là:
Ax
0

2
* Đối với các đường Elíp, Hypebol và Parabol ta để viết phương trình
tiếp tuyến với các đường ta cũng thực hiện hoàn toàn tương tự như
phương trình đường tròn. Tức là bằng cách áp dụng phương trình (5)
hoặc phương trình (6) sẽ cho ta kết quả ngắn gọn.
* Giống như Phần I việc xây dựng điều kiện cần và đủ để một đường
thẳng là tiếp tuyến của đường bậc hai. Kết quả cho ta hoàn toàn như kết
quả đã xây dựng trong Phần I.
Kết luận 2: Trên cở sở sử dụng phương pháp đại số ta cũng xây dựng
được phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai tại một điểm nằm trên
nó trong trường hợp tổng quát và thiết lập được điều kiện cần và đủ để
một đường thẳng là tiếp tuyến của đường bậc hai
VII. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
- Trên cở sở giải tích, đại số ( cổ điển) ta xây đựng được phương trình
tiếp tuyến của một đường bậc hai trong trường hợp tổng quát và tìm được
điều kiện cần và đủ để một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường bậc
hai trong các trường hợp của đường bậc hai đã xét trong chương trình
THPT.
- Kết quả xây dựng được có thể vận dụng trực tiếp vào giải quyết các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến của đường bậc hai ở bậc THPT một cách
đơn giản và tất nhiên hiệu quả trông thấy.
- Vấn đề này đã giải quyết được nhiều vướng mắc trong lí luận và nhận
thức về đường bậc hai . Đặc biệt là vấn đề phương trình tiếp tuyến.
- Nghiên cứu trong một tổng thể tương đói hoàn chỉnh về một đối tượng
hình học trên cỏ sở của đại số và giải tích sẽ mở ra cho các bạn học sinh
Ngày 15 tháng 5 năm 2006
Trường THPT Lưu Đình Chất Giáo viên: Lê Văn Chí
một tầm nhìn mới không chỉ cho việc vận dụng thực hành mà còn cho
nhận thức tổng quan về sự qua lại giữa các đối tượng trong một chỉnh thể
hoàn chỉnh đó là khoa học tự nhiên.