1 / 5
Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong
tam giác (phần 1)
I.L ời g i ới t h i ệ u
Trong môn hình học ởtrườngphổ thông, hình học phẳng cókhánhiều phân môn, thểloại, vàhình tamgiác, có
vaitròr ấ t đặc biệt. Việc chứng minh nhiều định lý vàgiải r ấ t nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vậndụng h ợ p
lý nhiều kiếnthứcvềhình tamgiác(tam giác bằng nhau, tamgiác đồng dạng, cácđường thẳng đặc biệt trong
tamgiác, v.v…)
Hìnhtamgiác đ ã đ ư ợ c nhiều nhà toán học trênthếg i ớ i nghiên cứutừhàng nghìn năm nay vàmãi chođến
những năm gần đây, nhiều tính chất, định lý mớ i, hoặc nhiều cách chứng minh mớ i củacácđịnh lý đ ã biết lần
lượt r a đ ờ i . Ở bài viếtnày, tácg i ả xing i ớ i thiệu đến bạn đọc những định lý, những bài toán hay vềđẳng thức
lượng giác trong tamgiác, bao gồm định lý Stewart, định lý Morley, định lý SteinerLenmus vềtamgiác cân, bài
toán Napoleon … vànhững mở rộng, chúý,cách chứng minh độc đáo củanhiều nhà toán học cũng đ ư ợ c nêu
r a trong bài viếtnày, chúng tahãy cùng tìm hiểu.
II. ĐịnhlýSTEWART
Bàitoán: Cho . là một điểm trêncạnh .Đặt .Khi đ ó tacócông
thứcsau:
Lời giải.
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
2 / 5
Kẻ đường cao .Xét hai tamgiác và vàtheo định lý hàm số ,tacó:
Nhân từngvế theo thứtựvới và r ồ i cộng lại, tacó:
Do ,nên từ tacó:
Địnhlý Stewart chứng minh xong.
Chúý :
Stewart(1717 – 1785) là nhà toán học vàthiên vănhọc người Scotland.
Nếutrong h ệ thứcStewart xét là đường trung tuyến, thìtừh ệ thứcStewart có:
Hệthứctrênchính là h ệ thứcxácđịnh trung tuyến quen biết trong tamgiác.

G ọ i là đường kínhđường trònngoại tiếptamgiác này. Theo định lý hàm số trong tamgiác này có:
Vậy thay vào ,tacó:
ớ
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
5 / 5
Dovaitròbình đẳng, tacũng có
Vậy là tamgiác đều (đpcm).
Chúý :
Frank Morl ey (1860 – 1937) sinhtạiAnh, nhưng hầu như suốt đ ờ i sống ởMĩ. Trong vàichục năm ông là giáo
sưtoán học ởtrườngđại học tổng h ợ p thuộc bang Baltimore. Bản thân học cách chứng minh củaông r ấ t phức
tạp. Cáchchứng minh ở trênlà củanhà toán học Ấn ĐộNaranengar tìm r a vàonăm 1909. Một nhà toán học
Ấn Độkhác là Xachianarian chocách giải "phi lượng giác" ( c h ỉ dùng đến kiếnthứchình học lớp 9 )
Địnhlý vềđường chiab a góc đ ư ợ c Morley tìm r a từ1899, nhưng mãi đến năm 1914 ông mới công b ố cách
chứng minh vàmở rộng định lý vớiviệcxétkhông chỉcácđường chiab a góc trong mà cảcácđường chiab a
góc ngoài củatamgiác. Địnhlý Morley đ ã hấp dẫn nhiều người, trong đ ó cónhà toán học Pháp nổi tiếng Henri
Lebesgue (1875 – 1941). Năm1939, Lebesgue công b ố chứng minh sơ cấp của định lý này. Ô n g xét các
đường chiab a cácgóc trong vàngoài củatamgiác ( c ó tấtcả1 2 đường), vàđ ã chứng minh đ ư ợ c rằng trong
cácgiao điểm củacácđường đ ó có2 7 b ộ b a điểm là cácđỉnh củatamgiác đều.
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping