Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN DŨNG
NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN – 2009

▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉ ✸
✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✻
✶✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✸✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✸✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✶✳✸✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✷✵
✷✳✶✳ ➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

ụ í ủ trì tt t t
tứ ế ự tr ì ế

ồ trì ột số ế tứ ề
t tứ ế ề ệ tồ t ệ ột số t
ế t tứ ế
r sẽ ớ tệ tt t ì ế t t
tứ ế ệ ụ tể t ờ
ì ế s
sẽ r tt t tứ ế ự
tt t ự tr sr
ệ ỉ s

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ờ
ợ t ớ sự ớ ủ ũ
tỏ ò ết s s t ế ề t
ù ớ sự ớ t tì tr tờ t ọ ọ
t
r q trì ọ t t ợ sự q t ú ỡ sự
ệt tì ủ P ỗ P ị P
Pợ r ũ ệ ễ ị ủ ù ề
t t ệ ọ ệ ệ rờ
ọ s ọ t tỏ ò ết s
s ế
t ễ ị ủ ộ ú ỡ
t rt ề tr sốt q trì ọ t
tỏ ò ết tớ rờ ọ
ọ ọ
t trờ s

∗
s❛♦ ❝❤♦✿
x
∗
∈ K, F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K. ✭✶✳✶✮
❚❐♣ ❤î♣ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ x
∗
t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✮ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ V IP (K; F )
✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ SOL − V IP (K; F ).
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❙❛✉ ➤➞②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ sö r➺♥❣ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ ✈➭ F ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥
tô❝ tr➟♥ K.
✶✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇r♦✇❡r✮ ❈❤♦ K ⊂ R
n
❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❧å✐✱
➳♥❤ ①➵ F : K −→ K ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝✱ t❤× F ♣❤➯✐ ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳
❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✷✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✮ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ R
n
✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ R
n
✱ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t y ∈ K✱
s❛♦ ❝❤♦✿
x − y = inf

+ 2y
2
, x, y ∈ R
n
.
➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❤×✿
η
k
− η
h

2
= 2x − η
k

2
+ 2x − η
h

2
− 4x −
1
2
(η
k
+ η
h
)
2
. ✭✶✳✹✮

≤ 2x − η
k

2
+ 2x − η
h

2
− 4d
2
,
✈➭ tõ ✭✶✳✸✮ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥ r➺♥❣✿
lim
k→∞
η
k
− η
h
 = 0.
❉♦ ➤ã✱ ❝ã ♠ét ❣✐➳ trÞ y ∈ K s❛♦ ❝❤♦
lim
k→∞
η
k
= y.
◆❣♦➭✐ r❛✱
x − y = lim
k→∞
x − η
k

2
= 0,
❤❛②✿
y = y

. ✷
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✸✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✮ ❈❤♦ K ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ R
n
✱ t❤× y = P r
K
x ❧➭ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝ñ❛ ① ❧➟♥ K ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐✿
y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y ∀η ∈ K ✭✶✳✺✮
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ x ∈ R
n
✈➭ y = P r
K
x ∈ K✱ ✈× K ❧å✐ ♥➟♥
(1 − t)y + tη = y + t(η − y), ∀η ∈ K, 0 ≤ t ≤ 1
✈➭ ✈× ✈❐②✱ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✶✳✷✳✷✱ ❤➭♠✿
φ(t) = x − y − t(η − y)
2
= x − y
2
− 2t(x − y, η − y) + t
2
η − y
2

 ≤ x − x

, x, x

∈ R
n
.
✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❈❤♦ tr➢í❝ x, x

∈ R
n
✱ ❝❤♦ y = P r
K
x ✈➭ y

= P r
K
x

✱ ❧ó❝
♥➭②✿
y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y, η ∈ K.
y

∈ K : y

, η − y



. ✷
❉ù❛ ✈➭♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✇❡r✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ sù tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✺✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✮ ❈❤♦ K ❦❤➳❝ rç♥❣✱ K ⊂ R
n
❧➭ t❐♣
❝♦♠♣❛❝t ✈➭ ❧å✐✱ ➳♥❤ ①➵ F : K −→ K ❧✐➟♥ tô❝✱ ❦❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ x
∗
∈ K t❤á❛ ♠➲♥✿
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❳➞② ❞ù♥❣ ➳♥❤ ①➵ Φ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ✈í✐ ♠ç✐ x ∈ K ➤➷t✿
Φ(x) := P
K
(x − F (x)).
❚❛ ❝ã✿
Φ : K −→ K.
❉♦ F ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ K ✈➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ P
K
❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ Φ ❧✐➟♥ tô❝✳ ❱❐② t❤❡♦
➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✇❡r tå♥ t➵✐✿
x
∗
= Φ(x
∗

❈❤♦ t❐♣ ❧å✐ K = ∅✱ ➤➷t K
R
= K ∩

R
tr♦♥❣ ➤ã

R
❧➭ ❤×♥❤ ❝➬✉ ➤ã♥❣ ❜➳♥
❦Ý♥❤ ❘ ✈➭ t➞♠ O ∈ R
n
✳ ❑❤✐ ➤ã K
R
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❱❐② t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✺✱
t❛ ❝ã✿
x
R
∈ K
R
: F (x
R
), y − x
R
 ≥ 0 ∀y ∈ K
R
. ✭✶✳✻✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✻✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✷✮ ❈❤♦ K ⊂ R
n
❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈➭ ➳♥❤
①➵✿

t♦➳♥ ✭✶✳✶✮✳
◗✉➯ t❤❐t✱ ✈× |x
R
| < R✱ ❝❤♦ y ∈ K, w = x
R
+ ε(y − x
R
) ∈ K
R
✈í✐ ε ≥ 0
➤ñ ♥❤á✳
❱× ✈❐②✿
x
R
∈ K
R
⊂ K : 0 ≤ F (x
R
), w − x
R
 = εF (x
R
), y − x
R
 ∀y ∈ K.
➜✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x
K
❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮✳
✷
❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② t❛ ❝ã t❤Ó rót r❛ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ➤Ó tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✳

0
|, |x| ≥ R, x ∈ K,
t❤×✿
F (x), x − x
0
 ≥ H|x − x
0
| + F (x
0
), x − x
0

≥ H|x − x
0
| − |F (x
0
)), x − x
0
|
≥ (H − |F (x
0
)|)(|x| − |x
0
|) > 0, |x| = R. ✭✶✳✾✮
❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ❝❤♦ x
R
∈ K
R
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✻✮ t❤×
F (x

), x − x

 > 0 ♠✐Ô♥ ❧➭ x, x

∈ K, x = x

✭✶✳✶✵✮
❱❐②✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✶✵✮ ❦Ð♦ t❤❡♦ tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✶✵✮
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t✳
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✽✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✹✳✺✮ ❚❛ ❣ä✐ ➳♥❤ ①➵ F : K −→ R
n
❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tr➟♥ K ♥Õ✉✿
F (x) − F (x

), x − x

 ≥ 0 ∀x, x

∈ K.
❚❛ ♥ã✐ F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ♥Õ✉ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝❤Ø ①➯② r❛ ❦❤✐ ①❂①✬✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✾✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✻✮ ❈❤♦ F : K
1
−→ R
n
❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵
❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ K
1
⊂ R

t❤× s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ F (x
2
), y − x
2
 = 0 t➳❝❤ x
1
tõ K
2
.
✶✳✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➱♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭②✱ t❛ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ t❛ ①Ðt ➤Õ♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥
➤✐Ö✉✳
❈❤♦ f ∈ C
1
(K), K ⊂ R
n
✱ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ ✈➭ ➤➷t✿
F (x) = gradf(x)✭➜➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❢✮✳
✶✳✸✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶✳ ✭ ❳❡♠ ❬✹❪✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✺✳✶✮ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ x ∈ K s❛♦ ❝❤♦✿
f(x) = min
y∈K
f(y).
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t❤× x ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
x ∈ K : F (x), y − x ≥ 0 ✈í✐ y ∈ K.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ◆Õ✉ y ∈ K t❤× z = x + t(y − x) ✈í✐ 0 ≤ t ≤ 1,
✈× ✈❐② ❤➭♠✿ ϕ(t) = f(x + t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1 ➤➵t ❝ù❝ t✐Ó✉ ❦❤✐ t = 0✳


) + F (x

), x − x

,
✈➭✿
f(x

) ≥ f(x) + F (x), x

− x.
❚õ ➤ã t❛ ❝ã✿
F (x

) − F (x), x

− x ≥ 0, x, x

∈ E.
❱❐② F ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❈➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ F ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ❦❤✐ f ❧å✐ ❝❤➷t ❝ò♥❣
t➢➡♥❣ tù✳
✷
❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤Ò✉ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ♠ét
❤➭♠ ❧å✐✳
✶✳✸✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
❑❤✐ ❑ ❧➭ t♦➭♥ ❜é t❐♣ R
n
✱ t❤×✿
x

−1
(0) ⊂ SOL − V IP (R
n
; F ).
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• ◆❣➢î❝ ❧➵✐✿ x
∗
∈ SOL − V IP (R
n
; F ) ⇒ F (x
∗
), d ≥ 0 ∀d ∈ R
n
.
➜➷❝ ❜✐Öt✿ d ≡ −F (x
∗
) ⇒ F (x
∗
) = 0.
◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✿
SOL − V IP (R
n
; F ) = F
−1
(0).
✶✳✸✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✹✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✮ ❈❤♦ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ❑ ✈➭ ➳♥❤ ①➵
F : K −→ R
n

∈ K, F (x
∗
) ∈ K
∗
✈➭ F (x
∗
), x
∗
 = 0.
❑Õt q✉➯ s❛✉ ❝❤♦ ❜✐Õt ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ V IP (K; F ) ✈➭ NCP (K; F ).
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✺✳ ✭ ❳❡♠ ❬✼❪✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✮ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ tr♦♥❣ R
n
✳
❚❛ ❝ã✿
SOL − V IP (K; F ) = SOL − NCP (K; F ).
✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
• =⇒ SOL − V IP (K; F ) = SOL − NCP (K; F )
●✐➯ sö✿
x
∗
∈ SOL − V IP (K; F ),
râ r➭♥❣✱
x
∗
∈ K.
❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❧✃② x = 0 ∈ K✱ tr♦♥❣ ✭✶✳✶✮ t❛ ❝ã✿
F (x
∗

=0
≥ 0 ∀x ∈ K.
❚ø❝ ❧➭✿
F (x
∗
), x ≥ 0 ∀x ∈ K,
✈× ✈❐②✿
F (x
∗
) ∈ K.
❚❤Õ ♥➟♥✿
x
∗
∈ SOL − NCP (K; F ).
✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên