Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập
The Inequalities Trigonometry
101

Chương 6 : H
ướng dẫn giải bài tập

1.4.1.

Chứng minh
( )
9
cotcotcot
cotcotcot
3
333
CBA
CBA
++
≥++
và
3cotcotcot
≥++ CBA


π

Cu
ố
i
cù
ng s
ử dụ
ng
Jensen
.

1.4.3.

Ta
ñã có
:
2
33
sinsinsin ≤++ CBA
và
theo
AM – GM thì
:
( )
9
sin
1
sin
1

ng v
ớ
i :

( )
8
1
2
sin
2
sin
2
sin
4
7
2
sin
2
sin
2
sin2coscoscos3
≤⇔
≥+++−
CBA
CBA
CBA1.4.5.


cos
2
cos >
CBA
nên b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i :

( )( )( )
CBAACCBBA
CBA
ACCBBACBA
sinsinsin8sinsinsinsinsinsin
sinsinsin8
2
cos

t 1
2
tan;
2
tan;
2
tan =++⇒=== zxyzxy
C
z
B
y
A
x
Theo
BCS thì
:
( )
( )
2
222222
3 zxyzxyxzzyyx ++≥++( )
1
3
1
222222
≥++⇒ xzzyyx
Theo

2
có
xyz34
3
4
≥
D
ẫ
n
ñế
n :

( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
CBACBA
z
z
y
y
x
x
z
z
y

222222
222222
222222
≥+⇔
+
⋅
+
⋅
+
≥
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−
+⇔
≥−−−++++⇔
≥+++⇔
≥+++1.4.8.

Theo
AM – GM
ch
ứ

+
− pcpbpapcpbpap
3111
3
111
4
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập
The Inequalities Trigonometry
103

và ⇒≥








+
−
+
−
+
− Spcpbpap
3
343111
3
ñpcm.
( )
( )







++
≥
++
≥
⇒
2
32
1
32
222
2
222
2
cba
m
a
m
cba
a


32≥++⇒
cba
m
c
m
b
m
a

T
ươ
ng t
ự
( )
2
:

222
2
222
2
32
32
cba
m
c
m
cba
m

2
222
22
cb
bcacbap
lm
aa
+
−+−
=
và
( )
( ) ( )
4
22
2
2
4
222
cbacb
bcacb
+−+
≥−+

( )
applm
aa
−≥
⇒


Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập
The Inequalities Trigonometry
104

Ta có :
2
1
1
2
2
2
cb
a
ma
cb
m
a
a
+
>⇒
+
<

⇒≥
+
+
+
+
+

pcm.

1.4.14.

Chứng minh :
rhhh
aaa
1111
=++ r
ồ
i
dù
ng
AM – GM
.

1.4.15.

Xé
t
hà
m
( ) ( )
π
;0sin ∈∀= xxxf
có
( )
0'' <xf

Á

+

T
ừ ñó
suy ra
ñ
pcm.

2.6.1.

Chú ý
( )
03
2
≥−+ OCOBOA
v
ớ
i O
là
tâm
ñườ
ng
trò
n
ngoạ
i ti
ế
p
ABC∆
.

2
π
≥A
Ch
ứ
ng minh :






−+≥++
44
tan2
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
AACBA
π

Xé
t
( )




π
π
;
3
2

mà
( )
34
3
2
32
12
tan2 −=






≥⇒−=
ππ
fAf2.6.5.

D

+
−−
=
−+−+−+
−++−++−+
==⇒ ñ
pcm.

2.6.6.

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i :


2.6.8.

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i :

3cotcotcot
≥++ CBA2.6.9

Ch
ứ
ng minh

cba

Ti
ếp theo sử dụng Chebyshev ⇒ ñpcm.