Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 -
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản
5
Bài tập áp dụng 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8
Bài tập rèn luyện 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác
32
Bài tập áp dụng 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35
Bài tập rèn luyện 56
C
– Phương trình bậc nhất theo sin và cos
59
Bài tập áp dụng 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62
Bài tập rèn luyện 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp
84
Bài tập áp dụng 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87
Bài tập rèn luyện 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng
93
Bài tập áp dụng 94

●
2 2
sin x cos x 1
+ =
●
tan x.cotx 1
=
●
sin x
tan x
cos x
=

●
cos x
cotx
sin x
=
●
os
2
2
1
1 tan x
c x
+ =
●
2
2
1

sin x
2
−
=
●
os
os
2
1 c 2x
c x
2
+
=

●
3
sin 3x 3 sin x 4 sin x
= −
●
3
cos 3x 4 cos x 3 cos x
= −



 Công thức cộng cung
●
(
)
sin a b sin a.cos b cos a.sin b

4 1 tan x
 
+



+ =





−
 
●
π
1 tan x
tan x
4 1 tan x
 
−



− =






− =

●
(
)
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
+
+ =
●
(
)
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
−
− =



 Công thức biến đổi tích thành tổng
●
(
)
(
)
cos a b cos a b
cos a.cos b
2

4 4
   
 
 
 
+ = + = −
 
 
 
 
 
   
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
   
 
 
 
− = − = +
 
 
 
 
 
   ●




Một số lưu ý
:
 Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin x
cos x

= α


= α


là:
1 1
− ≤ α ≤
.
 Khi giải phương trình có chứa các hàm số
tan
hoặc
cot
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
 Phương trình chứa
tan x
, điều kiện:
( )
cos x 0 x k k

x
vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
 Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm.
Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác

AM
có
số đo là
k2
n
π
α +0
0
k.360
hay a
n
 



+





AM k
6
π
= + π
thì có 2 điểm
M
tại vị trí
6
π
và
7
6
π
(ta chọn
k 0, k 1
= =
).
Ví dụ 3: Nếu sđ

2
AM k.
4 3
π π
= +
thì có 3 điểm
M
tại các vị trí
11
;
4 12

π
;
7
4
π

(ứng với các vị trí
k 0,1,2,3
=
).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung
x k
6
π
= − + π
và
x k
3
π
= + π

Biểu diễn cung
x k
6
π
= − + π
trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π
−

Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
cung tổng hợp là:
x k
3 2
π π
= +

 Đối với phương trình
2
2
1 1
cos x cos x
2 2
1 1
sin x sin x
2 2
 
 
= = ±
 
⇔
 
 
= = ±
 
 

ta không nên giải
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là
tối ưu nhất. Nghĩa là:


=



. Tương tự đối với phương trình
2
2
sin x 1 sin x 1
cos x 1
cos x 1


= = ±


⇔


= ±
=




ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
2 2
sin x cos x 1
+ =
. Lúc đó:

(
)
(
)
(
)

sin sin , tan tan , cot tan
−α = − α −α = − α −α = − α

 Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là
(
)
sin sin
π − α = α
, còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
(
)
(
)
(
)

cos cos , tan tan , cot tan
π − α = − α π − α = − α π − α = − α

 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 90
0
) thì sin góc này bằng cos góc kia và

sin u cos v sin u sin v
2
 
π



= ⇔ = −





 ( )
u v k2 u v k2 , k
2 2
π π
= − + π ∨ = + + π ∈
ℤ
.

Qua
ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như
2
sin x cos x
3
 


(
)
(
)
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x


+ π =




+ π =



và
(
)
(
)
( )

sin x k2 sin x
k
cos x k2 cos x



Đặc biệt:
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2



= ⇒ = π




π

= ⇒ = + π




π


= − ⇒ = − + π








= − ⇒ = π + π








 Dạng:

tan u tan v u v k
Ðk : u,v k
2
= ⇔ = + π
π
≠ + π
Đặc biệt:

tan x 0 x k
tan x 1 x k
4


= ⇔ = π






π

= ± ⇔ = ± + π



BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình:
(
)

cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
 
− + − = ∗ ∀ ∈
 
 

Bài 2. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)


4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
 
π



+ = − ∗



 


π
 



−





 


sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
   
π π
 
 
 
− +
 
 
 
 
 
   

Bài 9. Giải phương trình:
( )

3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
   
π π
 
 
 

8 cos x cos 3x 1
3
 
π



+ =





 

Bài 12. Giải phương trình:
( )

3
2 sin x 2sin x 1
4
 
π



+ =




Bài 15. Giải phương trình:
( )

2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗
.
Bài 16. Giải phương trình:
(
)

2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + = ∗
.
Bài 17. Giải phương trình:
(
)

2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
+ = + ∗

Bài 18. Giải phương trình:
(
)

2 2 2 2


Bài 21. Giải phương trình:
(
)

2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x
+ − = ∗

Bài 22. Giải phương trình:
(
)

sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + + ∗

Bài 23. Giải phương trình:
(
)

3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x
+ = ∗

Bài 24. Giải phương trình:
(
)

2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x

+ = + ∗

Bài 28. Giải phương trình:
(
)
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗

Bài 29. Giải phương trình:
(
)
(
)

3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗

Bài 30. Giải phương trình:
(
)

4 2 2 4
3cos x 4 cos x sin x sin x 0
− + = ∗


Bài 34. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x
2
+ + + + = − ∗

Bài 35. Giải phương trình:
( )

sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+

Bài 36. Giải phương trình:
( )

2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+


x x
sin tan x cos 0
2 4 2
 
π



− − = ∗





 

Bài 41. Giải phương trình:
(
)
(
)

2
sin2x cot x tan2x 4cos x
+ = ∗

Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )

2 2

)
(
)
( ) ( )

2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−

Bài 46. Giải phương trình:
(
)

cos 3x tan 5x sin 7x
= ∗

Bài 47. Giải phương trình:
( )

1 1
sin2x sin x 2 cot x
2 sin x sin 2x
+ − − = ∗






 

Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 8 - www.DeThiThuDaiHoc.com

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN







 Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung
x,2x,3x
, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một
cung. Nhưng đưa về cung

∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − =

( )
(
)
(
)
( )
2
cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , k
cos x 2 L 2

=
π

⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈

=


ℤ
.

0,5 k 3,9
3 5 7
Do x 0;14 , k 0 k 14 x ; ; ;

)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x 2 sin x cos x sin x
∗ ⇔ − + = −

(
)
(
)
(
)

2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 2 cos x 1 0
⇔ − + − − =

(
)
(
)
(
)
(
)

2 cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2 cos x 1 sin x cos x 0
 
⇔ − + − = ⇔ − + =



+ = π


= −

= − + π




ℤ
.  Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
3x
và
2x
, chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos
Bài giải tham khảo
(
)
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 2 cos x 1 cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0

)
(
)

2 cos x 1 2 sin x cos x sin 2x sin x
− + = − ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004
Bài 3. Giải phương trình:
(
)

cos 3x cos2x cos x 1 0
+ − − = ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 9 -
Bài 4. Giải phương trình:
(
)

sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0
+ + + + = ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
( ) ( )


)

sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =

(
)
(
)

sin x cos x 1 2 cos x 0
⇔ + + =

( )

sin x cos x tan x 1
x k
4
k;l
1 2
2
cos x cos x cos
x l2
2 3
3

π
 
= − = −


x

bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
(
)
(
)
2
sin x 1 2 cos x 1 2sin x cos x 1 cos x
∗ ⇔ + − + = +

(
)
(
)

2
2 sin x cos x 2sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 co
s x 0
⇔ + = + ⇔ + − + =

( )( ) ( )

2
1
x k2
cos x
3
cos x 1 sin2x 1 0 k, l
2
 Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
π
−
và
7
x
4
π
−
giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là
x
. Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung:
(
)
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
± = ±

Bài 6. Giải phương trình:
( )



Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)

sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x
+ + = + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com

( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
 
π π



∗ ⇔ + = −



(
)
(
)

sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin2x 0
⇔ + + =

( )x k
4
tan x 1
sin x cos x 0
x l k, l, m
2
8
1 2 sin2x 0
sin2x
52
x m
8


ℤ
.
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4
2

 
   

π π

 
 
 
 
 − = − π − − =
 
 

 
 
 


( ) ( )
1 1 1
4. sin x cos x
sin x cos x
2
 
 
∗ ⇔ + = − +
 
 
. Giải tương tự như cách giải 1.
 Lời bình: Từ tổng hai cung
x x
3 6 2
π π π
+ + − =
giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
 
           
π π π π π π π
     

sin x 0
13
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 0
3 6 2 6 6
sin x 0
6

 

π




+ ≠




       


π π π π
 

   

   
   
⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠

7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
   
π π
 
 
 
+ = + − ∗
 
 
 
 
 
   

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 11 -
( ) ( )

2 2
1 7 1 1 k
1 sin 2x sin 2x 1 cos 4x x , k
2 8 4 2 12 2
π π
∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ∈
ℤ

     


π π π
 

  

  
  
⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠
  

  
  
 
  
  
π
     




+ ≠






)
2 4 2 4 4 2
1 1
1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2
∗ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − =

(
)
( )
2
2 2
2
2
t 1 N
2t t 1 0
1
cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0
t L
t cos 4x 0
2
t cos 4x 0



=


)
( )
sin2x 0 N
k
x , k
cos2x 0 L 2


=
π


⇔ ⇔ = ∈


=



ℤ
.
 Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau

tan tan x tan tan x
1 tan x 1 tan x
4 4
tan x .tan x . . 1

10 2
π
−
và
3x
10 2
π
+
có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
 
       
π π π π
   
   
 
   
+ = π − + = − = −
   
   
 
   
   
   
       
 
 
. Từ đó, ta sẽ

   

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997
Bài 9. Giải phương trình:
( )

3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
   
π π
 
 
 
− = +
 
 
 
 
 
   

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 12 - www.DeThiThuDaiHoc.com

Bài giải tham khảo
Ta có:

 
⇔ − = −
 
 
 
 
 
   
.
Đặt
3 x
t
10 2
π
= −
. Và
( )
(
)
(
)
3 2
1 1
2 sin t sin3t sin t 3sin t 4sin t sin t 1 sin t 0
2 2
⇔ = ⇔ = − ⇔ − =

( )

3 x 3



− = + π = − π

 

 
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Ta có:
3
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x
4 4 4 4 4
 
         
π π π π π
   
   
 
 
   
− = − − = − π − − = − + = − +
   


 

3
2 2 2
sin t 0 sin t 0
4 sin t 3 sin t cos 2tsin t 0
4 sin t 3 1 2 sin t 0 sin t 1
 
= =
 
⇔ − + = ⇔ ⇔
 
− + − = =
 
 

( )

t k
x k
sin t 0
4
x m , k,l, m
cos t 0
4 2
t l
x l
2
4

Bài giải tham khảo
Ta có:
( )
cos 3x cos 3x cos 3 x
3
 
 
π


 

= − π + = − +


 



 
 
 
.
Phương trình:

)
3 3 3
2 8 cos t cos 3t 8 cos t 4 cos t 3 cos t
⇔ = − ⇔ = − +

(
)
(
)

3 2
12 cos t 3 cos t 0 cos 3t 4 cos t 1 0 cos 3t 2 cos 2t 1 0
⇔ − = ⇔ − = ⇔ + =

Bài 11. Giải phương trình:
( )

3
8 cos x cos 3x 1
3
 
π



+ =





x k
2
cos 3t 0
6
t l x l k; l; m
1
3
cos2t
2
2
x m
t m
3
3

π


= + π π


= + π


=


π



Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó:
( )
3 3
1 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
 
π



⇔ = − ⇔ = −





 

(
)
(
)
(



⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈






=
 


ℤ
.
 Lời bình: Trong
(
)
•
, tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức
2 2
1 sin t cos t
= +
. Vậy trong giải
phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn
giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép
2 2
1 sin t cos t
= +
để phương trình trở nên đơn giản hơn ".

(
)
(
)
(
)

3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x
⇔ + = ⇔ + + =

(
)
(
)

sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x
⇔ + + =2 2
3 sin x 2 cos x sin x 2sin x cos x cos x 0
⇔ − + + + =

(
)
(
)

2 2



( )
tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ⇔ = + π ∈
ℤ
.
Cách giải 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
 
 
 
π


 
 

⇔ + = ⇔ + =


 
- 14 - www.DeThiThuDaiHoc.com

(
)
(
)

3
sin x cos x 4 sin x 2
⇔ + =

Vì
(
)

cos x 0 hay sin x 1
= =
không phải là nghiệm của phương trình
(
)
2
nên chia hai vế của
phương trình
(
)
2
cho
3

t x x t
4 4
π π
= − ⇒ = +
. Lúc đó:
(
)
(
)
3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t
⇔ = + ⇔ = +

(
)
(
)

3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t
⇔ = + +

(
)

3 3 2 2 3
sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t
1 0
⇔ = + + + ⇔ + =


)
x 4x 5x
+ =
và
(
)
2x 3x 5x
+ =
. Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,
chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình
tích số.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
5x 3x 5x x
cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2cos cos 2 cos cos 0
2 2 2 2
∗ ⇔ + + + = ⇔ + =5x 3x x 5x x
2 cos cos cos 0 4 cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
 



⇔ + = ⇔ =





 
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈

 

 

 
π = π + π
=

= + π
 


 
 
ℤ
. Bài 14. Giải phương trình:
(
)

cos x cos2x cos 3x cos 4x 0
+ + + = ∗

Bài 13. Giải phương trình:

Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3
1 cos2x 1 cos 4x 1 cos6x cos2x cos 6x cos 4x 0
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =

(
)

2 cos 4x cos2x cos 4x 0 cos 4x 2 cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + =

( )

k
cos 4x 0
4x k x
2 8 4
k, l
2
2
cos2x cos
2x l2 x l
3
3 3
 
π π π

=


( ) ( ) ( )

1 1
cos2x cos 4x cos 6x cos2x cos 6x cos 4x 1 0
2 2
⇔ − + + = ⇔ + + + =

(
)

2
2 cos 4x cos2x 2 cos 2x 0 2 cos 2x cos 4x cos2x 0
⇔ + = ⇔ + =

( )

x k
2
cos x 0
4 cos2x cos 3x cos x 0 cos2x 0 x l k, l, m
4 2
cos 3x 0
x m
6 3

π

= + π


1 cos2x 1 cos 6x 1 cos 4x 1 cos 8x
2 2 2 2
∗ ⇔ − + − = + + +

(
)

cos2x cos6x cos 4x cos 8x 2 cos 4x cos2x 2cos6x cos
2x
⇔ − + = + ⇔ − =

(
)

2 cos2x cos 6x cos 4x 0 4 cos 2x cos 5x cos x 0
⇔ + = ⇔ =

( )cos x 0
m
cos2x 0 x k x l x ; k, l, m
2 4 2 10 5
cos 5x 0

=

     
π π π π π

)

2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + = ∗
.
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001
Bài 17. Giải phương trình:
(
)

2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
+ = + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 16 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x


⇔ − = ⇔ ⇔ = − ∈


=




π
=



ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
x x
cos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9 cos 3x sin 7x sin 5x cos 9
2
 
π


= +


=


π


 
⇔ + = ⇔ ⇔ = + π ∈
π





= +







 

π π



k
6 3
cos x 0
x
l
6 3
4 cos 3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k, l, m
l
4 2
x
cos 3x 0
4 2
x m
2

π π

= +



π π
=



= +
π π




Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2cos
4 2 2
 
π



+ = + − ∗





 

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài 20. Giải phương trình:
(
)

2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= + ∗

−
,
(
)
2
2 sin 2x 1
−
lại với nhau, để sau khi dùng công thức
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.

Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2
sin 7x sin x 1 2 sin 2x 0 2cos 4x sin 3x cos 4x 0
∗ ⇔ − − − = ⇔ − =

( ) ( )

k2
cos 4x 0
x
18 3
cos 4x 2 sin 3x 1 0 k,l
1


Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
sin x sin 3x sin 2x 1 cos2x cos x
∗ ⇔ + + = + +

(
)
(
)

2
2 sin 2x cos x sin2x 2 cos x cos x sin2x 2 cos x 1 cos x 2
cos x 1 0
⇔ + = + ⇔ + − + =

(
)
(
)
(
)
(
)




=

π



= + π





⇔ − + = ⇔ = ⇔ ∈



π



= + π




= −



)

2 2 3
3 sin x cos x cos x sin x sin 4x
⇔ − =3 3
3 3
sin2x cos2x sin 4x sin 4x sin 4x
2 4
⇔ = ⇔ =

( )

3
k
3 sin 4x 4 sin 4x 0 sin12x 0 12x k x , k
12
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
ℤ
.
Bài 22. Giải phương trình:
(
)

sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + + ∗


(
)
(
)
3
cos10x 1 cos 8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3 cos 3x
∗ ⇔ + + = + −

(
)

cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x cos 9x
⇔ + + = +2 cos 9x cos x 1 cos x 2 cos x cos 9x
⇔ + = +

(
)
cos x 1 x k2 , k
⇔ = ⇔ = π ∈
ℤ
.

Bài giải tham khảo
(

(
)
(
)

2 1 cos2x 3 sin x cos x 0
 
⇔ − − − =
 
 

( )

2
1 2 2
x k
cos2x cos 2x k2
3
k;l
2 3 3
sin x cos x tan x 1
x l
4

π
 
π π

= ± + π
 

2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 1 sin x 3 0
∗ ⇔ + + − + − − =

(
)
(
)
(
)
(
)

2 sin x 1 3 cos 4x 2sin x 4 1 2 sin x 1 2 sin x 0
⇔ + + − + − + =

(
)
(
)

2 sin x 1 3 cos 4x 2sin x 4 1 2 sin x 0
⇔ + + − + − =

(
)
(
)

3 cos 4x 1 2 sin x 1 0
⇔ − + =

π π



⇔ ⇔ = − + π ⇔ = − + π ∈



= −





π π

= + π = + π





ℤ
.

Bài 24. Giải phương trình:
(

)

6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 19 -
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
6 8 6 8 6 2 6 2
sin x 2sin x cos x 2cos x 0 sin x 1 2sin x cos x 2 cos x 1 0
∗ ⇔ − + − = ⇔ − − − =

(
)

6 6 6 6
sin x cos2x cos x cos2x 0 cos2x sin x cos x 0
⇔ − = ⇔ − =

( )

= ± π
=





= ± + π


ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
(
)
(
)
10 8 8 10
5
2 cos x cos x sin x 2 sin x cos2x 0
4
∗ ⇔ − − − + =

8 8
8 8
cos2x 0
2x k
k
2
x , k
5
5
4 2
cos x sin x 0
sin x cos x 1 VN
4
4

π

=

= + π

π π


⇔ ⇔ ⇔ = + ∈


− + =

3 2 3 2 3 3
sin x 1 2sin x cos x 2cos x 1 0 sin x cos2x cos x cos 2x 0
⇔ − − − = ⇔ − =

( )
( )

3 3
3
cos2x 0
m
cos2x sin x cos x 0 x , m
tan x 1
4 2

=
π π

⇔ − = ⇔ ⇔ = + ∈

=


ℤ
.
 Cách giải 2
(
)
(
)

m
x , m
sin x cos x 0 tan x 1
4 2
 
= =
π π
 
⇔ ⇔ ⇔ = + ∈
 
− = =
 
 
ℤ
.
Bài 28. Giải phương trình:
(
)
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000
Bài 29. Giải phương trình:
(
)

 
 
 
 
 
   

(
)
(
)
(
)

2 2 2
3 1 2 cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2 cos2x cos 2x 0
⇔ + + − − + − + =

(
)

2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos2x 2 cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + =

( )

k
cos2x 0
x k

Do

cos x 0 hay sin x 1
= =
không là nghiệm của phương trình
(
)
∗

Chia hai vế của
(
)
∗
cho
4
cos x
, ta được:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 tan x tan x 0
t tan x 0


− + =


∗ ⇔ − + = ⇔




 
= ± + π
= ±

=



 
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈



 


π
=
= ±




= ± + π



( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2
cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
−
∗ ⇔ − =

( ) ( )

2 2
1 1 2 3 2
cos 4x cos2x cos x cos2x cos 4x sin x
2 2 8
−
⇔ + − − =2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x cos2x cos x cos2x sin x cos 4x sin x
4
−
⇔ + − + =

(
)
(
)


( )

2
2 3 2 1 2 3 2
cos 4x cos 2x cos 4x 1 cos 4x
4 2 4
− −
⇔ + = ⇔ + + =

( ) ( )

2 k
4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k
2 16 2
π π
⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈
ℤ
. Bài giải tham khảo
 Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung
x,2x,4x,8x
khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
2 2
cos2x 2 cos x 1 1 2sin x

sin x 0 x k
= ⇔ = π
không là nghiệm của
(
)
∗

● Nhân cả 2 vế của phương trình
(
)
∗
cho
16 sin x 0
≠
, ta được:
( )
16 sin x cos x cos2x cos 4x cos 8x sin x 8 sin 2x cos2x
cos 4x cos 8x sin x
sin x 0 sin x 0
 
 
= =
 
∗ ⇔ ⇔
 
 
≠ ≠
 
 




π



=

π



=





π π
⇔ ⇔



= +

π π



= +

4 sin 3x cos2x 1 2 3sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3
x
∗ ⇔ = + − ⇔ = +

(
)
(
)
(
)

2
2 sin 3x 2 cos2x 1 1 2 sin 3x 4 cos x 3 1⇔ − = ⇔ − =


Do
( )
cos x 0 x k , k
2
π
= ⇔ = + π ∈
ℤ
không là nghiệm phương trình
(
)

, nên nhân hai vế
(
)


ế
Qu
ố
c Dân năm 1998

Bài 33. Giải phương trình:
(
)

3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x
= + − ∗

Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 22 - www.DeThiThuDaiHoc.com

( )

l2
x
14 7
sin 6x cos x cos x cos 6x l, k
m2
2
x
10 5

π π

)
x k2 , k
= π ∈
ℤ
thì
( ) ( )
1
5
2
∗ ⇔ = − ⇒ ∗
không có nghiệm
(
)
x k2 , k
= π ∈
ℤ
.
● Khi
( )
x
x k2 , k sin 0
2
≠ π ∈ ⇒ ≠
ℤ
. Nhân hai vế của
(
)
∗
cho
x
Bài giải tham khảo
 Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc
chẳn,… ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán
có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng
sin cos
,
cos sin
 








 
nhằm mục đích " đơn
giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi.
Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không
 Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận
nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại.
 Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường
tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung
của điều kiện.
 Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình.
● Điều kiện:
tan x 3

sin x 1
x l2
2

π


= ± + π

=


⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈


π

= −
= − + π




ℤ
.
Bài 34. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x


Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
sin x 0
≠

(
)
2 2
sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x 1 sin2x cos2x 2 2
cos x
∗ ⇔ + + = ⇔ + + =

(
)

2
2 cos x 2 cos x sin x 2 2 cos x 0 2 cos x cos x sin x 2 0
⇔ + − = ⇔ + − =

( )

cos x 0
x k
cos x 0
2
k, l
cos x 1
cos x sin x 2
x l2



= + π




 



ℤ
.
● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là
( )
x k x l2 , k,l
2 4
π π
= + π ∨ = + π ∈
ℤ
. Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
( )
sin x 0


(
)

2
sin2x sin 2x cos2x 1 sin 2x sin 2x cos2x 1 0
⇔ + = ⇔ + − =

(
)

2
sin 2x cos2x cos 2x 0 cos 2x sin 2x cos2x 0
⇔ − = ⇔ − =

( )cos2x 0
x k
4
2 cos2x sin 2x 0 k, l
sin 2x 0
4
x l
4
8 2


π



= +



 



ℤ
.
● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm:
( )

x k x l , k, l
4 8 2
π π π
= + π ∨ = + ∈
ℤ
. Bài giải tham khảo
Bài 36. Giải phương trình:
( )


Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998
Bài 38. Giải phương trình:
(
)

2
tan x tan x tan 3x 2
+ = ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 24 - www.DeThiThuDaiHoc.com

● Điều kiện:
( )

3
cos x 0
k
cos 3x 0 x , k
cos 3x 4 cos x 3 cos x 0
6 3


≠
π π



⇔ + =

(
)

2
sin x sin 2x 2cos x cos 3x
⇔ − =2 2
2sin x cos x 2cos x cos3x
⇔ − =

(
)

2
sin x cos x cos 3x do cos x 0
⇔ − = ≠

( ) ( )

1 1
1 cos2x cos 4x cos2x
2 2
⇔ − − = +

( )


(nhận).
 Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
nào trùng nhau. Do đó:
l
x
4 2
π π
= +
là nghiệm
của
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
 Cách 3: Nếu
3 l3
3x k
4 2 2
π π π
= + = + π
thì

3 6l 2 4k 2k 3l 0,5
+ = + ⇔ − =

(vô lí vì
k, l
∈
ℤ
).
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
( )
l

.
( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 11 1 1 1 20
1 1 1
3 3
cos x sin x sin 2x cos x sin x 4 sin x cos x
     
  
  
  
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
  
  
  
  
  
     

( )

2 2
2
2 2 2
4 sin x 4 cos x 1 20 5 20 3 1 3
sin 2x 1 cos 4x
3 3 4 2 4
4 sin x cos x sin 2x
+ +
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =

π
/6
7
π
/6
5
π
/4
3
π
/2
7
π
/4
11
π
/6
Bài 39. Giải phương trình:
( )

2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 25 -

2 2
1 sin x 1 cos x
1 sin x 1
1 cos x 1 cos x 0 1 cos x 0
2 2 2
cos x 1 sin x
 
− −
 
π


 

∗ ⇔ − − − + = ⇔ − + =


 



−
 
 
 

( ) ( )

2
1 cos x 1 cos x

= π + π

= −



⇔ + − − = ⇔ ⇔ ∈
π


= −
= − + π




ℤ
.

Bài giải tham khảo
Điều kiện:
2
cos x 1
sin x 0
sin x 0
2
cos2x 0


Ta có:
cos x sin2x cos2x cos x sin2x sin x cos x
cot x tan 2x
sin x cos2x sin x cos2x sin x cos2x
+
+ = + = =
.
Lúc đó:
( )
2
2 2 2
sin 2x cos x 2 cos x 2
4 cos x 4 cos x 0 cos x 4 0
sin x cos2x cos2x cos 2x
 



∗ ⇔ = ⇔ − = ⇔ − =





 

(
)
( )

⇔ ⇔ ⇔ ∈



π
=

=

= ± + π





ℤ
. Bài giải tham khảo
Điều kiện:
sin2x 0
sin 4x 0
cos2x 0


≠


− − = ∗





 

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2003

Bài 41. Giải phương trình:
(
)
(
)

2
sin2x cot x tan 2x 4 cos x
+ = ∗

Trích đề thi Tuyển Sinh Đại học Mỏ – Địa chất năm 2000
Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )

2 2
cot x tan x
16 1 cos 4x
cos2x
−