ĐẠIHỌCQUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA KINH TẾ
NGUYỄN THÀNH LONG
NGUYỄN CÔNG TÂM
TOÁN CAO CẤPC1
Lưu hành nộibộ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2004
0
LỜI NÓI ĐẦU
Đây là giáo trình Toán Cao cấp C1 dành cho sinh viên Khoa Kinh Tế , ĐạihọcQuốc gia
Tp. Hồ Chí Minh. Giáo trình gồm3đơnvị họctập(45tiết) cả lý thuyết và bài tập.
Giáo trình gồm5chương:
Chương I trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm mộtbiến.
Chương II trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm hai biến.
Chương III trình bày nội dung về phép tính tích phân hàm mộtbiến.
Chương IV trình bày sơ lượcvề phương trình vi phân ( cấp 1 và 2).
Chương V trình bày nội dung về lý thuyết chuỗi.
Trong mỗichương đềucóvídụ kèm theo cùng vớiphần bài tậpvới độ khó khác nhau để
sinh viên rèn luyệnkỹ năng tính toán. Mộtsốđịnh lý khó chỉđược phát biểu mà không chứng
minh và thay vào đólàphần minh họa ý chính của định lý.
Giáo trình sẽ không tránh khỏinhững thiếu sót. Các tác giả rất mong nhận được các ý kiến
đóng góp củabạn đọcgầnxađể giáo trình được hoàn thiệnhơn.
Tp. Hồ Chí Minh tháng 9 năm 2004.
Các tác giả
Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm.
1
CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘTBIẾN
§1. Khái niệmvề hàm số
1.1. Định nghĩa
Cho tậphợp D  , ánh xạ f : D   đượcgọilàmột hàm số xác định trên tập D.Tập

Xét hàm y  f x xác định trên D  .Chọn trong mặtphẳng mộthệ trụctọa độ vuông góc
Oxy và biểudiễnbiến độclập x trên trục hoành, còn biếnphụ thuộc y trên trục tung.Ta gọitập
tấtcả các điểmcủamặtphẳng có dạng
x,fx : x  D
là đồ thị của hàm số f.
Hình 1
2
1.2. Các hàm số sơ cấpcơ bản
Các hàm sau đây đượcgọi là các hàm số sơ cấpcơ bản: Hàm lũythừa x

, hàm mũ
a
x
,Hàm logarit log
a
x, các hàm lượng giác cosx, sin x, tgx, cotgx và các hàm lượng giác
ngược. Tấtcả các hàm nầy, ngoạitrừ các hàm lượng giác ngược, đều đãhọc ở phổ thông nên
ởđây chỉ nhắclạinhững tính chấtchủ yếucủa chúng, riêng các hàm lượng giác ngượcsẽđ
ược trình bày kỹ hơn.
 Hàm lũythừa y  x

,  là mộtsố thực. Miền xác định củanóphụ thuộc vào .
Ví dụ:
- Các hàm y  x , y  x
2
, y  x
3
, xác định tạimọi x.
- Các y  x
1

x
, a  0vàa  1. Số a đượcgọilàcơ số của hàm mũ. Hàm mũ xác định tại
mọi x và luôn luôn dương. Nó tăng nếu a  1vàgiảmnếu0 a  1. Ngoài ra ta luôn có
a
0
 1.
 Hàm logarit.
Hàm mũ y  a
x
là một song ánh từ  lên khoảng 0,, nên nó có hàm ngượcmàtakýhiệu
là x  log
a
y (đọc là logarit cơ số a của y). Như vậy
y  a
x
 x  log
a
y
3
a  1
Hình 4
0  a  1
Hình 5
Với qui ước, dùng chữ x để chỉ là biến độclập, chữ y đểchỉ hàm thì hàm ngượccủa hàm mũ
y  a
x
là y  log
a
x.
Đồ thị của hàm y  log

log
a

A
B

 log
a
|
A
|
 log
a
|
B
|
, AB  0,
log
a
A

  log
a
|
A
|
, A

 0,
log

4
y  sinx
Hình 7
y  cosx
Hình 8
 Hàm y  tgx xác định tạimọi x  2k  1

2
,k nguyên, là hàm tăng trên từng khoảng,
tuần hoàn với chu kỳ .
 Hàm y  cot gx xác định tạimọi x  k,k nguyên, là hàm giảm trên từng khoảng, tuần
hoàn với chu kỳ .
y  tgx
Hình 9
y  cotgx
Hình 10
 Các hàm lượng giác ngược.
 y  arcsinx. Hàm y  sin x với

2
 x 

2
là một song ánh từđoạn 

2
,

2
 lên đoạn

0  x  
 x  arccosy.
Đồ thị của hàm y  arccosx đốixứng với đồ thị của hàm y  cos x,0  x   qua đường
phân giác thứ nhất.
Hàm y  arcsinx xác định và giảm trên 1  x  1.
Ta có đẳng thức sau
arcsinx  arccosx 

2
.
y  arcsinx
Hình 11
y  arccosx
Hình 12
 y  arctgx. Hàm y  tgx với

2
 x 

2
có hàm ngượclà x  arctgy ( x bằng sốđocủa
cung mà tg củanólày). Vậy
y  tgx,

2
 x 

2
 x  arctgy.
Đồ thị của hàm y  arctgx đốixứng với đồ thị của hàm y  tgx,

n
 x  n,tacóthể viết dãy sốđónhư sau
x
1
,x
2
, ,x
n
, hay x
n
.
Các số x
1
,x
2
, ,x
n
, đượcgọi là các số hạng của dãy, x
n
đượcgọi là các số hạng tổng quát
của dãy, còn n đượcgọilàchỉ số của nó.
Ví dụ: Cho x
n

1
n
, x
n
 a, x
n

Ta có thể nghiệmlạirằng, nếu dãy x
n
 hộitụ thì số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất
( xem tính chất 1), ta gọi a là giớihạncủa dãy  x
n
 và ký hiệunólà
a 
n
lim x
n
hay x
n
 a khi n  .
Dùng các ký hiệu logic ta có thể diễn đạt định nghĩa trên như sau:
n
lim x
n
 a

0,N   : n  ,n  N 
|
x
n
 a
|
.
Chú ý rằng, số N tồntại trên đây nói chung phụ thuộc vào ,dođótacóthể viết N  N.
Hơncũng không cần thiết N phảilàsố tự nhiên.
 Định nghĩa: Dãy không hộitụđượcgọilàphân kỳ.
Ví dụ: Cho x

 0
|

1
n
 n 
1

.
Rõ ràng, nếuchọn N  1/  1, ta có
n  N
|
x
n
 0
|
.
2.2. Các tính chất và các phép tính về giớihạncủa dãy số
 Tính chất1.Giả sử dãy x
n
 hộitụ. Khi đósố thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất.
Chứng minh:Giả sử có hai số thực a,

a như trong định nghĩa ở trên. Ta chứng minh rằng
a 

a.Thậtvậy, giả sử ngượclại: a 

a.Chọn 
1


a
|
,(bởivì x
n


a.
Chọnsố tự nhiên n  maxN
1
,N
2
,tacó:
3
|
a 

a
|

|
a  x
n
|

|
x
n



 p
Chứng minh:Giả sử ngượclại a  p a  q. Khi đó theo tính chất 2 thì
N : n  N  x
n
 p x
n
 q. Điềunầy mâu thuẫnvớigiả thiết. Vậy tính chất3được
chứng minh.
 Tính chất4.Giả sử dãy x
n
 hộitụ. Khi đónóbị chận, nghĩalà:
M  0:
|
x
n
|
 M n  .
Chứng minh:Chọn 1,N   : n  N 
|
x
n
 a
|
 1, từđó
|
x
n
|

|

|
  M vớimọi n.
 Định lý 1. Cho hai dãy hộitụ x
n
 và y
n
.Nếu x
n
 y
n
n  , thì
n
lim x
n

n
lim y
n
.
Chứng minh: Đặt a 
n
lim x
n
, b 
n
lim y
n
.Giả sử ta có a  b.Lấymộtsố r sao cho
a  r  b. Khi đó theo tính chất2
N

n
 thỏa
i x
n
 y
n
 z
n
n  ,
ii
n
lim x
n

n
lim z
n
 a.
Khi đó dãy y
n
 cũng hộitụ và
n
lim y
n
 a.
Chứng minh: Theo định nghĩagiớihạn
0,
N
/
  : n  N

n
 a.
 Định lý 3. Nếu các dãy x
n
 và y
n
 hộitụ thì dãy x
n
 y
n
 cũng hộitụ
và
n
lim x
n
 y
n
 
n
lim x
n

n
lim y
n
.
Chứng minh:Giả sử
n
lim x
n

//
.Tacó
n  N 
|
x
n
 y
n
  a  b
|

|
x
n
 a
|

|
y
n
 b
|
/2 /2 .
Vậy
n
lim x
n
 y
n
  a  b 

.
Chứng minh:Giả sử
n
lim x
n
 a,
n
lim y
n
 b. Khi đ ó 0,
N
1
  : n  N
1

|
x
n
 a
|
,
N
2
  : n  N
2

|
y
n
 b


|

n
b  
n
a  
n

n
|

|

n
||
b
|

|

n
||
a
|

|

n
||

|
b
|

|
a
|
M 
|
b
|

|
a
|
 M.
Vì y
n
 b  0 nên nó bị chậnbởihằng số dương M Vậy đánh giá trên cho ta
n
lim x
n
y
n
  ab 
n
lim x
n
n
lim y

y
n
 cũng
hộitụ và
n
lim
x
n
y
n

n
limx
n
n
limy
n
.
Chứng minh:Giả sử
n
lim x
n
 a,
n
lim y
n
 b  0. Đặt x
n
 a  
n

||

n
|
|
b
||
b
n
|
.
Lấy0
1
2
|
b
|
thì
N
1
  : n  N
1

|

n
|
,
N
2

  
|
b
|

1
2
|
b
|

1
2
|
b
|
.
Khi đó n  N
1

x
n
y
n

a
b

2
|

Định nghĩa1.Xét hàm y  fx xác định ở lân cận giá trị hữuhạn x
0
, không nhất thiết xác
định tại x
0
.Trong lân cận đótacóthể lấy được dãy x
n
, sao cho x
n
 x
0
và
n
lim x
n
 x
0
.
Ta nói rằng số L là giớihạn của hàm số y  fx khi x tiếndầnvề x
0
,nếu đốivới dãy x
n
 bất
kỳ như trên, dãy tương ứng các giá trị của hàm fx
n
 luôn luôn hộitụ và có giớihạnlàL.
Khi đ ótakýhiệu
xx
0
lim fx  L hay fx  L khi x  x

n
|
.
Vì
n
lim x
n
 0, nên
n
lim f x
n
  0. Vậy
x0
lim f x 
x0
lim x sin
1
x
 0.
Ví dụ. Xét hàm y  sin
1
x
trên khoảng 1,1. Hàm đó không có giớihạn khi x tiếndầnvề 0.
Thậtvậy đặt x
n

1
n
ta được dãy x
n

x  x
0
|
  
|
fx  L
|
.
Nói chung số  phụ thuộc vào . Nói một cách khác,
xx
0
lim fx  L nếu các giá trị của hàm fx
10
gần L một cách tùy ý khi các giá trị củabiến x đủ gần x
0
nhưng khác với x
0
.
Ta công nhận định lý sau.
Định lý. Hai định nghĩagiớihạn ở trên là tương đương.
Ví dụ. Chứng minh
x2
lim 2x  1  5. Thậtvậy, ta có vớimọi 0,
|
2x  1  5
|
 2
|
x  2
|

x
2
4
x2
 4  x  2  4  x  2, nên
x
2
4
x2
 4
, khi x  2và
|
x  2
|
  .Vậy
xx
0
lim
x
2
4
x2
 4.
Định nghĩa. Ta gọisố L là giớihạn của hàm số y  fx khi x tiếnravôcực, nếu
0,N  0:
|
x
|
 N 
|

1

, nên 0,N 
1

:
|
x
|
 N 
|
1
x
 0
|
.
3.2. Các tính chấtcủa hàm số có giớihạn
Rõ ràng ta có mộtsố tính chất đơngiản sau đây:
i) Nếu fx  C là hằng số thì
xx
0
lim fx  C,
x
lim f x  C.
ii) Một hàm fx nếucógiớihạn ( khi x  x
0
hay x   thì chỉ có duy nhấtmộtgiớihạn.
iii) Một hàm fx nếucógiớihạndương (âm) khi x  x
0
thì luôn luôn dương (âm) tạimọi x 

0
lim fxgx  LM.
iii) Nếu M  0 thì thương
fx
gx
cũng có giớihạn, và
xx
0
lim
fx
gx

L
M
.
Chú thích: Định lý trên cũng đúng với quá trình x   thay vì quá trình x  x
0
.
Định lý. Xét hàm hợp f  u : x  fux.
Giả sử
xx
0
lim fx  L,
xx
0
lim gx  M.Nếu
a)
xx
0
lim ux  u


|
.
Với  ấy, theo a), ta lạicó
  0:0
|
x  x
0
|
  
|
ux  u
0
|
  .
Do đó
0,  0:0
|
x  x
0
|
  
|
fu  fu
0

|
.
Vậy
xx

x0
lim 1  x
1/x
 e .
Ký hiệu ln là lôgarit cơ số e, hay lôgarit tự nhiên hay lôgarit Néper.
iii)
x0
lim
e
x
1
x
 1,
iv)
x0
lim
ln1x
x
 1.
§4. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng lớn (CVL)
4.1. Vô cùng bé
4.1.1. Định nghĩa. Hàm x đượcgọilàvô cùng bé (VCB) khi x  x
0
nếu
xx
0
lim x  0.
Chú thích:Tacũng có khái niệm VCB cho quá trình x   thay vì quá trình x  x
0
.

VCB khi x  x
0
.
 Tính chất2.Nếu 
1
x, ,
n
x là mộtsố hữuhạn các VCB khi x  x
0
thì tổng

1
x  
n
x và tích của chúng 
1
x 
n
x cũng là các VCB khi x  x
0
.
12
 Tính chất3.Nếu x là một VCB khi x  x
0
và fx là hàm bị chận trong một lân cận:
0 
|
x  x
0
|

M
.
Đặt 
/
 min , 
1
. Khi đó, nếu0
|
x  x
0
|
 
/
,tacó
|
xfx
|

|
x
||
fx
|


M
.M .
Đpcm.
Chú thích: Các tính chất1-3vẫn đ úng cho quá trình x   thay vì quá trình x  x
0

x
x
 0 : thì ta nói x là VCB cấp cao hơn x, hay x là VCB cấpthấp
hơn x.Takýhiệu x  o x.
iv) Nếu không tồntại
xx
0
lim
x
x
thì ta nói x, x là hai VCB không so sánh đượcvới nhau.
v) Nếu x là VCB ngang cấpvới 
k
x,k  0 : thì ta nói  x là VCB cấpksovới VCB
x.
Ví dụ:
i) 1  cosx và x
2
là hai VCB ngang cấp khi x  0, và do đó1 cos x cũng là VCB cấp hai
so với x
2
,vì
xx
0
lim
1cosx
x
2

xx

 0.
4.1.3. Khử dạng vô định
 Tính chất1.Nếu x~
x và x~x khi x  x
0
thì
xx
0
lim
x
x
xx
0
lim
x
x
.
Thậtvậy
xx
0
lim
x
x

xx
0
lim
x
x
x

lim
x
x
.
Ví dụ:
x0
lim
ln12x
e
3x
1

x0
lim
2x
3x

2
3
.
 Tính chất2.Nếu x  ox khi x  x
0
thì x  x~x khi x  x
0
.
Thậtvậy
13
xx
0
lim

xsin
2
x tg
3
x
2xx
3
4x
5

x0
lim
x
2x

1
2
.
4.2. Vô cùng lớn
4.2.1. Định nghĩa. Cho hàm fx xác định ở lân cậncủa x
0
, không nhất thiết xác định tại
x
0
.Ta nói hàm fx là vô cùng lớn (VCL) khi x  x
0
nếu
xx
0
lim

là (VCB), khi x  .
4.2.3. So sánh các vô cùng lớn
Giả sử Ax, Bx là hai VCL khi x  x
0
(ta cũng viết chung là x  x
0
với x
0
  hoặc
x
0
 .
i) Nếu
xx
0
lim
Ax
Bx
 k  , k  0 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL ngang cấp.
ii) Nếu
xx
0
lim
Ax
Bx
 1 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL tương đương.Takýhiệu Ax~ Bx.
iii) Nếu
xx
0
lim

0
lim
Ax
Bx

xx
0
lim
Ax
Bx
.
jj) Nếu Ax là VCL cấp cao hơn VCL Bx khi x  x
0
, thì Ax  Bx~Ax khi x  x
0
.
14
Thậtvậy
xx
0
lim
AxBx
Ax

xx
0
lim 1 
Bx
Ax
  1.

* Qui tắcngắtbỏ VCL cấpthấp.
Giả sử Ax và Bx là hai VCL khi x  x
0
, trong đó Ax và Bx đềulàtổng củamộtsố hữu
hạn các VCL khi x  x
0
. Khi đó,
xx
0
lim
Ax
Bx

xx
0
lim củatỷ số hai VCL cấp cao nhất ở tử số và
mẫusố.
Ví dụ:(Dạng


.
x
lim
3x
2
2x2
4x
2
4x5


 3x
2
 x
4
 1
.
x
lim  x
4
 3x
2
 x
4
 1  
x
lim
 x
4
3x
2
 x
4
1
 x
4
3x
2
 x
4
1

x
2
 1
1
x
2
( chia tử và mẫu cho x
2
)

3
2
.
Ví dụ:(Dạng 0  . Xét
x
lim x x
2
 1
 x.
Ta có
x
lim  x
2
 1
 x 
x
lim
 x
2
1

1
1
x
2
1
( chia tử và mẫu cho x)

1
2
.
§5. Hàm số liên tục
15
5.1. Các định nghĩavề hàm số liên tụctạimột điểm
* Cho D  , điểm x
0
 D đượcgọilàđiểmtụ của D nếutồntạimột dãy x
n
  D\x
0

sao cho x
n
 x
0
. Điểm x
0
 D không phảilàđiểmtụ của D đượcgọilàđiểmcôlập của D.
* Cho D  , f : D   và x
0
 D.


|
.
Vẫnlàx
0
 D là điểmtụ của D.Tacũng có các định nghĩa khác liên quan đến liên tụcmột
phía như sau:
*Ta nói f liên tục bên phải tại x
0
. D nếu
xx
0

lim fx  fx
0
,tứclà,
0,  0:x  D, x
0
 x  x
0
  
|
fx  fx
0

|
.
*Ta nói f liên tục bên trái tại x
0
. D nếu

5.3. Các phép toán trên các hàm số liên tụctạimột điểm
Áp dụng các phép toán đơngiảnvề các hàm số có giớihạntacómộtsố kếtquả sau đây:
Định lý. Nếu hàm f là liên tụctại điểm x
0
thì hàm
|
f
|
cũng liên tụctại x
0
.
Định lý. Nếu các hàm f và g liên tụctại điểm x
0
thì các hàm f  g, fg, Cf C là hằng số)
|
f
|
cũng liên tụctại x
0
.
Ngoài ra, nếu các hàm gx
0
  0 thì hàm
f
g
liên tụctại x
0
.
Định lý. Giả sử I,J   và f : I  J,g : J  .Nếu hàm f liên tụctại điểm x
0

sau:
i) Nếu các giớihạn bên phải fx
0
 0 
xx
0

lim fx,giớihạn bên trái fx
0
 0 
xx
0

lim fx tồntại
và ba số thực fx
0
,fx
0
 0,fx
0
 0 không đồng thờibằng nhau, thì ta nói x
0
là điểm gián
16
đoạnloạimột.
j) Nếu fx
0
 0  fx
0
 0  fx

x
,nếu x  0,
2, nếu x  0.
Vì
x0
lim fx 
x0
lim fx  1  f0  2, nên gián đoạnloạimộttại x  0. Hơnnữa, x  0là
một điểm gián đoạnbỏđược.
Nếu xét hàm

f x 
sinx
x
,nếu x  0,
1, nếu x  0.
thì

f sẽ liên tụctại x  0, điềunầygiải thích từ ”bỏđược ”.
Ví dụ: Hàm fx 
1
x
có điểm gián đoạnloại hai tại x  0, vì
x0
lim
1
x
,
x0
lim

Hàm hữutỉ
P
Q
, trong đó P và Q là các đathức, liên tụctạimọi điểm x   tại đó Qx  0.
2/ Hàm mũ y  a
x
a  0 liên tục trên .
Giả sử x
0
 .Vớimọi x  ,tacóa
x
 a
x
0
a
xx
0
.
Khi x  x
0
ta có x  x
0
 0và a
xx
0
 1. Do đó
xx
0
lim a
x

a
x a  0,a  1 liên tục trên 0,.(Xem mục 5.5)
Giả sử x
0
 0. Vớimọi x  , ta có log
a
x  log
a
x
0
 log
a
x
x
0
.
Khi x  x
0
ta có
x
x
0
 1 và log
a
x
x
0
 0. Do đó
xx
0

   liên tục trên 0,.Vì x

 e
ln x
nên theo định lý về
tính liên tụccủa hàm số hợp, hàm số lũythừa liên tục trên 0,.
5/ Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Thậtvậy, Giả sử x
0
 .Vớimọi x  ,tacó
|
sinx  sinx
0
|
 2
cos
xx
0
2
sin
xx
0
2
 2
sin
xx
0
2

|

6/ Ngườitachứng minh đượcrằng các hàm lượng giác ngược liên tục trên tập xác định của
chúng. (xem mục 5.5). Cụ thể là
Hàm số y  arcsin x liên tụcvàtăng trên từ 1,1 lên 

2
,

2
.
Hàm số y  arccos x liên tụcvàgiảm trên từ 1,1 lên 0,.
Hàm số y  arctgx liên tụcvàtăng trên từ  lên 

2
,

2
.
Hàm số y  arccot gx liên tụcvàgiảm trên từ  lên 0,.
5.6. Tính chấtcủa hàm liên tục trên một đoạn
 Ý nghĩa hình họccủa khái niệm liên tục
Hình 15 Hình 16
Giả sử hàm y  fx  liên tụctại x
0
. Xét điểm P
0
x
0
,y
0
, y

c
1
,c
2
 a, b : fc
1
  fx  fc
2
 x  a,b.
(xem hình 17)
Hình 17 Hình 18 Hình 19
 Nếu hai điểm A và B ở hai phía củatrục ox thì đường cong liền đitừđiểm A đến điểm B
phảicắttrục ox ít nhấtmộtlần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b và nếu các giá trị fa và fb trái dấu nhau thì
fx triệt tiêu tạiítnhấtmộtlần trong khoảng a,b,tứclà,tồntạiítnhấtmột giá trị c  a,b
sao cho fc  0.(xem hình 19)
 Nếuvẽ một đường thẳng song song vớitrục Ox trong khoảng giữa điểmthấpnhấtvàđiểm
cao nhấtcủa đường cong nốiliền A đến B bao giờđường thẳng ấycũng cắt đường cong ấyít
nhấtmộtlần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a,b và  là một giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớnnhấtcủa f thì  là giá trị của f tạiítnhấtmột điểm trên đoạn a,b,tứclà,
nếu
axb
max f x   
axb
min fx thì tồntạiítnhấtmột giá trị c  a,b sao cho   fc.(xem
hình 18)
Cuối cùng ta có:
Định lý. Giả sử f : a,b   là một hàm số liên tụcvàtăng(giảm) trên đoạn a,b. Khi đó f
là một song ánh từ a,b lên fa,fb ( fb,fa ) và hàm số ngược

Xét hàm số f : a, b và x
0
 a, b.Giớihạn
xx
0
lim
fxfx
0

xx
0
nếutồntại đượcgọilàđạo hàm
của hàm số f t ạ i x
0
và ta ký hiệugiớihạn đólàf
/
x
0
 hay
dfx
0

dx
.
Đặt x  x  x
0
thì đạo hàm f
/
x
0

/
2 
x0
lim
2x
2
2
2
x

x0
lim
4xx
2
x

x0
lim 4 x  4.
Vậy f
/
2  x
2

/
|
x2
 4.
6.1.2. Ý nghĩacủa đạo hàm
 Tiếp tuyếncủa đường cong
Hình 20

.
Bây giờ cho điểm N chạy trên tới điểm M trên đường L, lúc đó x  0nếutỉ sốởvế
phải
f
x
có giớihạn thì tg ở vế trái cũng có giớihạn ấy, do đó góc  tiếntớimột góc xác định
20
mà ta gọilà, nghĩalàcáttuyến MN dần đếnmộtvị trí giớihạn MT nghiêng vớitrục ox một
góc .Vậyhệ số góc tg củatiếp tuyến MT nếu có chính là
tg 
x0
lim
fx
0
xfx
0

x
 f
/
x
0
.
Suy ra ý nghĩa hình họccủa đạo hàm:
Nếu hàm f có đạo hàm tại x
0
thì đồ thị của hàm y  fx có tiếp tuyếntại Mx
0
,y
0

f
/
x
0

x  x
0
.
 Vậntốc chuyển động thẳng
Hình 21
Xét mộtvật chuyển động trên một đường thẳng tạithời điểm t
0
nó ở M
0
với hoành độ st
0
,tại
thời điểm t nó ở M với hoành độ st.Vậy trong khoảng thời gian t  t
0
t nó đi được quãng
đường s  st  st
0
.Tỉ số
s
t

stst
0

tt

0
.
Suy ra ý nghĩacơ họccủa đạo hàm: Đạo hàm của hoành độ st đốivớithời gian t chính là
vậntốctứcthờicủavật chuyển động thẳng tạithời điểm t
0
: vt
0
  s
/
t
0
.
6.1.3. Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lý. Nếu hàm f có đạo hàm tại x
0
thì nó liên tụctại x
0
.
Thậtvậy, ta có
t0
lim
f
x
 f
/
x
0
.
Do đó
f

21
6.2. Các qui tắc tính đạo hàm
Định lý. ( Đạo hàm củatổng, tích thương)
Nếu hàm ux và vx đềucóđạo hàm đốivới x thì tổng u  v, tích uv,thương
u
v
của chúng
cũng có đạo hàm đốivới x và
u  v
/
 u
/
 v
/
,
uv
/
 u
/
v  uv
/
,

u
v

/

u
/

x
 u
/
 v
/
khi x  0.
Từđó suy ra u  v
/
 u
/
 v
/
.
ii/ Nếu f  uv, thì ta có
f  u uv v   uv  uv  vu uv.
f
x
 u
v
x
 v
u
x
u
v
x
 uv
/
 vu
/

x
vvv

vu
/
uv
/
v
2
khi x  0,nếu vx  0.
Từđó suy ra 
u
v

/

vu
/
uv
/
v
2
.
Hệ quả.
1/ Nếu u  C  hằng thì đạo hàm u
/
 0, vì u
/

x0


C
v

/

Cv
/
v
2
với v  0.
Định lý. ( Đạo hàm của hàm hợp)
Xét hàm hợp y  yu x.Nếu hàm y  yu có đạo hàm đốivới u và u  ux  có đạo hàm
đốivới x thì hàm hợp y  yux cũng có đạo hàm đốivới x và y
x
/
 y
u
/
u
x
/
.
Chứng minh.
Cho x số gia x thì u có số gia u, ứng vớisố gia ấy y có số gia y.Nếu u  0 thì
y  y
u
/
u  u,với   0 khi u  0.
Từđó

0
thì f
1
y cũng có đạo hàm tại y
0
 fx
0
 và
f
1

/
y
0
 
1
f
/
x
0

.
Chứng minh.Vì x f
1
 f
1
y
0
y  f
1

y0
lim
x
y

1
xy0
lim
y
x

1
f
/
x
0

.
6.3. Bảng các đạo hàm cơ bản
1/ Nếu fx  C thì f
/
x  0.
2/ Nếu fx  x thì f
/
x  1.
Thậtvậy
f
x

xxx

/
x  sinx.
4/ Nếu fx  e
x
thì f
/
x  e
x
.
Thậtvậy f  e
xx
 e
x
 e
x
e
x
 1.
f
x

e
xx
e
x
x
 e
x
e
x

1
x
ln1
x
x

x
x

1
x
khi x  0.
6/ Nếu fx  x

x  0 thì f
/
x  x
1
.
Thậtvậy, ta có
lnfx   lnx. Suy ra
f
/
x
fx


x
hay f
/

x

cos
2
xsin
2
x
cos
2
x

1
cos
2
x
 1  tg
2
x.
8/ Nếu fx  cotgx thì f
/
x 
1
sin
2
x
 1  cotg
2
x.
Thậtvậy, ta có
cotg

9/ Nếu fx  arcsinx thì f
/
x 
1
1x
2
.
Đặt y  arcsinx thì x  siny  xy,

2
 y 

2
.Tacó
23
y
/
x 
1
x
/
y

1
cosy

1
1sin
2
y

1x
2
.
11/ Nếu fx  arctgx thì f
/
x 
1
1x
2
.
Đặt y  arctgx thì x  tgy  xy,

2
 y 

2
.Tacó
y
/
x 
1
x
/
y

1
tg
/
y


,    cotgx
1
sin
2
x
 1  cotg
2
x
e
x
e
x
arcsinx
1
1x
2
a
x
a
x
lna,
a  0, a  1
arc cosx
1
1x
2
ln
|
x
|

x là một
hàm mớicủa x xác định trên khoảng ấy. Đạo hàm f
/
x ấy đượcgọilàđạo hàm cấpmột. Đạo
hàm của đạo hàm cấpmột f
/
x,nếucó,đượcgọilàđạo hàm cấp hai của fx và đượckýhiệu
là f
//
x :
f
//
x  f
/
x
/
.
Bằng qui nạp, giả sửđạo hàm cấp n  1 được xác định và đượckýhiệulàf
n1
x,tađịnh
nghĩa đạo hàm cấp n đượckýhiệulàf
n
x,vàđược xác định bởi
f
n
x 

f
n1
x