CHƯƠNG 2
ĐỘNG HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
LT 2. Câu hỏi lý thuyết:
LT 2.3.1. Trình bày quan điểm nghiên cứu chuyển động theo Lagrange và Euler.
LT 2.3.2. Trường vận tốc và gia tốc của môi trường liên tục theo biến Lagrange và Euler.
LT 2.3.3. Biểu thức của tenxơ biến dạng hữu hạng Green và tenxơ biến dạng hữu hạn
Almansi.
LT 2.3.4. Biểu thức của tenxơ biến dạng nhỏ qua các thành phần chuyển vị.
LT 2.3.5. Nêu bất biến của tenxơ biến dạng, trục chính và biến dạng chính của nó.
LT 2.3.6. Trình bày khái niệm tenxơ quay tuyến tính, vectơ quay tuyến tính.
LT 2.3.8. Trình bày khái niệm tenxơ tốc độ biến dạng, vectơ xoáy vận tốc.
BT 2. Bài tập:
BT 2.4.1 Cho quy luật chuyển động của môi trường:

1 1
2 2 3 2 3
3 2 3 2 3
( )/ 2 ( )/2
( )/ 2 ( )/ 2
t t
t t
x
x e e
x e e
ξ
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
−
−
=
= + + −

ξ
−
= + −
= + −
=
Hãy xác định trường vận tốc và gia tốc theo biến Lagrange và biến Euler.
BT 2.5.4 Cho trường vận tốc của môi trường:
1 2 2 1 3
, , 0, 0v kx v kx v k= − = = >
Hãy xác định quy luật chuyển động của môi trường , các thành phần chuyển vị,
vận tốc và gia tốc theo biến Lagrange và biến Euler.
BT 2.4.5 Cho trường vận tốc của môi trường:
1 2 2 1 3
, , 0, 0v kx v kx v k= − = = >
Hãy xác định quỹ đạo chuyển động và đường dòng. Chỉ ra rằng chúng trùng
nhau.
BT 2.6.6 Cho trường vận tốc của môi trường:
1 3 2 2 1 3 1
4 3 , 3 , 4v x x v x v x= − = = −
Hãy xác định các thành phần gia tốc tại điểm P(b,0,0) và điểm Q(0,4b,3b) và
chứng minh rằng trường vận tốc tương ứng với sự quay của cố thể với vận tốc góc bằng 5
quanh trục hướng theo vectơ e = (4e
2
+ 3e
1
)/5.
BT 2.4.7 Cho vectơ chuyển vị u
i
trong biến Lagrange có dạng:



Tìm trường vận tốc và gia tốc trong biến Euler.
BT 2.4.9 Cho vectơ chuyển vị
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 3
4 , ,u u u
ξ ξ ξ ξ ξ
= = =
. Xác định vị trí mới của
phần tử mà ban đầu nó nằm tại điểm (1,0,2).
BT 2.4.10 Môi trương thực hiện chuyển vị:
1 2 3 2 1 3 3 2 1
3 4 , 2 , 4u u u
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= − = − = −
Hãy xác định vị trí mới của vectơ nối phần tử A(1, 0, 3) và B(3,6,6).
BT 2.5.11 Cho quy luật chuyển động của môi trường:

1 1 2
2 2 3
3 3
( 1)
( )
t t
t t
x e e
x e e
x
ξ ξ
ξ ξ

1 1 2 2 2 3 3 3 1
, ,x A x A x A
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= + = + = +
, với A = const.
Tính tenxơ biến dạng nhỏ theo biến Lagrange và biến Euler. So sánh hai tenxơ này khi A
rất nhỏ.
BT 2.5.14 Cho trường vận tốc của môi trường:
3 2
1 1 1 2
v x x x= −
;
2
2 1 2
v x x=
;
2
3 1 3
v x x=
Hãy xác định tenxơ tốc độ biến dạng, tenxơ xoáy vận tốc và tenxơ xoáy vận
tốc tại điểm P(1,1,3).
BT 2.5.15 Cho trường chuyển vị của môi trường:
( )
2
1 1 3
u x x= −
;
( )
2
2 2 3

trường liên tục.
LT 3.4.3 Từ điều kiện cân bằng lực và mô men hãy chứng minh tính đối xứng của tenxơ
ứng suất.
LT 3.4.4 Trình bày khái niệm ứng suất tiếp chính, ứng suất tiếp cực đại.
LT 3.4.5 Phát biểu định luật bảo toàn khối lượng, từ đó thiết lập phương trình liên tục.
LT 3.4.6 Phát biểu định lý biến thiên động lượng, từ đó thiết lập phương trình chuyển
động và phương trình cân bằng.
LT 3.4.7 Trình bày định lý biến thiên mô men động lượng.
LT 3.4.8 Trình bày định luật bảo toàn năng lượng cơ học.
LT 3.4.9 Trình bày định luật thứ nhất của nhiệt động lực học, phương trình năng lượng.
LT 3.4.10 Trình bày định luật thứ hai của nhiệt động lực học, bất đẳng thức Clausius.
LT 3.4.11 Trình bày hệ kín các phương trình của Cơ học môi trường liên tục và một số
tính chất của chúng.
LT 3.4.12 Trình bày cách đặt bài toán của Cơ học môi trường liên tục và điều kiện biên.
BT 3. Bài tập:
BT 3.4.1 Cho tenxơ ứng suất tại điểm P có dạng:
7 0 2
0 5 0
2 0 4
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
Hãy xác định vectơ ứng suất tại điểm P trên tiết diện có hướng: n = 2/3e
1
-
2/3e

22
0 1 2
1 1
2 1 0
σ
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Trong đó đại lượng
22
σ
chưa biết. Hãy xác định
22
σ
sao cho vectơ ứng suất
trên tiết diện nào đấy qua điểm này bằng không. Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị của tiết diện
ấy.
BT 3.4.4 Xác định ứng suất chính và trục chính của tenxơ ứng suất:
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
BT 3.7.5 Trạng thái ứng suất tại mọi điểm vật thể cho bởi tenxơ ứng suất:


.
c) Hãy xác định ứng suất chính, ứng suất tiếp cực đại tại điểm P.
BT 3.6.6 Hãy xác định ứng suất chính của hai tenxơ:

0 1 1
1 0 1
1 1 0
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
và
2 1 1
1 2 1
1 1 2
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Và chỉ ra rằng các trục chính của hai tenxơ này trùng nhau.
BT 3.4.7 Cho các thành phần của tenxơ ứng suất trong hệ tọa độ Đề Các vuông góc x
i
như
sau: σ
13
= a, σ
23
= - a, σ

23
= σ
33
= σ
12
= 0.
Hãy tìm ứng suất tiếp cực đại và tiết diện trên đó tác dụng ứng suất tiếp cực đại.
BT 3.7.9 Trường ứng suất của môi trường xác định bởi tenxơ:

( )
( ) ( )
2 2
1 2 2 1
2 3
2 1 2 2
2
3
1 0
1 3 /3 0
0 0 2
x x x x
x x x x
x
 
−
 ÷
 ÷
− −
 ÷
 ÷