Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
43
Chương 3: ĐỘNG HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
Trước hết ta phân biệt một số khái niệm sau đây:
Đi"m là vị trí tọa độ trong một không gian nhất định.
Ph#n t$ được dùng để chỉ một phần thể tích rất nhỏ của MTLT hay còn gọi là chất điểm
(điểm vật chất).
Bi%n d&ng là sự thay đổi hình dạng của môi trường liên tục giữa cấu hình ban đầu (chưa
biến dạng) và cấu hình sau cùng (đã bị biến dạng). Nghiên cứu biến dạng người ta không
cần để ý đến quá trình xảy ra giữa hai cấu hình này.
Chuy"n đ(ng là sự dịch chuyển liên tục của một môi trường liên tục trong không gian.
Dòng chảy được dùng để chỉ trạng thái liên tục chuyển động và biến dạng của một môi
trường liên tục. Khi nghiên cứu dòng chảy người ta khảo sát quá trình thay đổi của các cấu
hình một cách liên tục, trong đó trường vận tốc theo thời gian được xác định cụ thể.
I. Véc-tơ vị trí - véc-tơ chuyển vị:
Xét trạng thái ban đầu chưa biến dạng tại t = 0 và trạng thái đã biến dạng tại thời gian t = t
của môi trường vật chất liên tục trên cùng hình vẽ. Nếu gán cho trạng thái ban đầu và trạng
thái sau cùng ở trong 2 hệ tọa độ riêng biệt ta có:
Đối với trạng thái ban đầu 1 phần tử
của môi trường liên tục chiếm vị trí Po
trong không gian , có véc-tơ vị trí trong
hệ tọa độ (OX
1
X
2
X
3
) Descartes là:
kk332211
I
ˆ

1
x
2
x
3
) có liên hệ với nhau bởi
cosin chỉ phương
α
kK
và
α
Kk
được định nghĩa bởi:
KkkKkKKk
e
ˆ
.I
ˆ
I
ˆ
.e
ˆ
αα
=== [3.1]
mặt khác
KPP
I
ˆ
.
K

K
UU hay
k
e
ˆ
.
k
uu ==
r
v
[3.4]
Vectơ cơ sở
k
e
ˆ
được biểu diển bởi vectơ cơ sở
K
I
ˆ
như sau:
∧
=
∧
K
I.
kKk
e
α
[3.5]
suy ra

=
→
Xxbu [3.7]
t=0
u
r
x
3
P
t=t
2
e
ˆ
x
2
o
X
1
x
1
O
Hình 3.1
X
r
X
2
1
I
ˆ
3

1
x
2
x
3
) )
KkKkk
X.xu
α
−= . [3.9]
Hơn nữa nếu 2 hệ tọa độ trùng với nhau thì các trị số cosin chỉ phương a
kK
trở thành
δ
kK
.
Cuối cùng:
kkk
Xxu −= .[3.10]
II. Quan điểm Euler và quan điểm Lagrang:
Theo quan điểm Lagrang : người quan sát sẽ di chuyển theo cùng với hệ thống các phần tử
chuyển động của môi trường liên tục .
Chuyển động này có thể được diễn tả bởi phương trình sau đây :
hay:
)t,X(xx
)t,X(x)t,X,X,X(xx
i321ii
→→→
=
==

j
i
≠=
∂
∂
[3.11]
Thí dụ: Cho một môi trường liên tục chuyển dịch theo mô tả của Lagrang như sau:
33
2
t
12
t
211
Xx
X)1e(Xx
)1e(XXx
=
+−=
−+=
Jacobian của hệ bằng 1
≠
0, do đó ta có được quy luật chuyển dịch theo tọa độ Euler là:
33
2
t
12
t
211
Xx
X)1e(Xx

4
1
α
, x3=
α
, nghĩa là khi t
thay đổi đoạn thẳng này sẽ biến thành các đoạn thẳng xiên. Và tương tự cả hình chữ nhật sẽ
biến thành các hình bình hành.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
45
Nếu mô tả chuyển dịch theo Euler, thí dụ ta xét
điểm cố định A trong tọa độ không gian (x
1
= 0,
x
2
= 0 , x
3
= a) ta sẽ có quy luật chuyển dịch X
1
=
0 , X
2
=
2
ta
4
1
− , X
3

t
12
t
211
Xx
X)1e(Xx
)1e(XXx
=
+−=
−+=
Hãy tìm các công thức nghịch đảo theo Euler.
(Giải đáp
33
tt
2
t
1
2
tt
t
21
1
xX;
ee1
x)1e(x
X;
ee1
)1e(xx
X =
−−

∂
là nhị thức sau đây:
^
3
3
^
2
2
^
1
1
X
e
X
x
e
X
x
e
X
x
.xF
∂
∂
∂
∂
∂
∂
→→→
→

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
46
Nhị thức F có thể viết dưới dạng ma trận sau:
ji
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
321
3
2
1
Xx
x
X


F
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==== [3.13]
2. Gradient biến dạng không gian : Là vi phân từng phần của véc tơ vị trí X
i
theo tọa độ

∂
∂
∂
∂
∂
→→→
→
++≡∇= [3.14]
Hoặc viết dưới dạng ma trận :
ji
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
321
3

,
x
X
X
X
H
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

== [3.16]
Gradient chuyển vị vật chất và không gian tương tự là vi phân từng phần của véctơ chuyển vị
→
u theo tọa độ vật chất X
j
và tọa độ không gian x
j
, ta có :
ij
X
x
X
u
j
i
j
i
∂
∂
∂
∂
∂
−=
hay IFuJ
x
−==
∇
→
[3.17]
và:

===
→→
mà
j
j
i
i
dx.
X
X
dX
∂
∂
=
[3.20]
Suy ra:
jiijji
j
K
i
K
2
dx.dx.Cdx.dx.
x
X
.
x
X
)dX(
==

[3.23]
mà
j
j
i
i
dX.
X
x
dx
∂
∂
= [3.24]
Suy ra
jiijji
j
K
i
K
2
dXdXGdX.dX.
X
x
X
x
)dx( ==
∂
∂
∂
∂

iijjiij
j
k
i
k
22
=−=−
δ
∂
∂
∂
∂
[3.27]
trong đó:
)
X
x
.
X
x
(
2
1
L
ij
j
k
i
k
ij

δ
[3.29]
x
3
, X
3
x
2
, X
2
x
1
, X
1
O
XdX
rr
+
X
r
udu
rr
+
u
r
Xd
r
xd
r
P