Chng 1
C HC MễI TRNG LIấN TC
Đ1. Mở đầu
Đối tợng nghiên cứu của cơ học môi trờng liên tục
Trong các phần trớc ta đã nghiên cứu chuyển động cơ học
của hệ gồm N< chất điểm hoặc cơ hệ gồm vô số chất điểm
N= nhng khoảng cách giữa hai vật không thay đổi trong
quá trình chuyển động (vật rắn tuyệt đối). Nội dung nghiên
cứu là thiết lập các phơng trình vi phân mô tả chuyển động
và tơng tác trong hệ cũng nh các phơng pháp xây dựng
các mối liên hệ hữu hạn giữa chuyển động của hệ và tơng tác.
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu bài toán đó đối với cơ hệ
gồm vô số chất điểm tuỳ ý (N =), mà khoảng cách giữa các
chất điểm thay đổi trong quá trình chuyển động
Có hai lĩnh vực khoa học nghiên cứu vấn đề này: Vật lý và
cơ học. Các thuyết vật lý nghiên cứu cấu trúc hạt (phân tử,
nguyên tử ) sự chuyển động của chúng và sự tơng tác giữa
các hạt. Sự nghiên cứu theo hớng đó biểu thị quan điểm vi
mô đối với bài toán này và cho các kết quả sâu sắc về bản
chất bên trong của sự tơng tác và chuyển động của các hạt
của môi trờng. Tuy nhiên các kết quả nghiên cứu theo h
ớng này khó vận dụng vào các bài toán thực tế kỹ thuật
nghiên cứu các môi trờng đàn hồi, dẻo và thuỷ khí
Tồn tại một quan điểm khác nghiên cứu vấn đề này, thích ứng
hơn với thực tiễn và bổ khuyết cho những hạn chế của quan
điểm vật lý trình bày ở trên. Đó là lĩnh vực cơ học môi trờng
liên tục. Lĩnh vực này không quan tâm đến cấu trúc vi mô của
vật chất mà coi môi trờng nh một phần không gian chứa đầy
một cách liên tục một loại vật liệu nào đó. Nh vậy tính liên tục
là một đặc điểm (giả thiết) cơ bản để nghiên cứu bài toán này.
Cách nghiên cứu một môi trờng thực tế nh vậy gọi là nghiên

11
- Mô men quán tính đối với trục x
J
12
- Tích quán tính đối với mặt phẳng xy

Ta nói các đại lợng dùng một chỉ số lập thành các hệ thống hạng nhất, các
đại lợng dùng 2 chỉ số lập thành các hệ thống hạng 2. Tơng tự, có thể
diễn đạt các đại lợng khác bằng các hệ thống hạng cao hơn bằng nhiều chỉ
số hơn: a
ijk
, a
ij
k
a. Nếu trong một biểu thức, một chỉ số nào đó đợc
nhắc lại 2 lần thì ta phải lấy tổng đối với chỉ số đó.
Ví dụ:
Có thể viết là a
i
y
i
Quy ớc đó đợc áp dụng cả cho phép tính đạo
hàm. Chẳng hạn:
1.2. Quy ớc về chỉ số:

=
+++=
n
i
nnii

=



2
2
1
1
Các chỉ số thực hiện phép lấy tổng đợc gọi là chỉ số câm.
Các chỉ số khác gọi là các chỉ số tự do.
- Ký hiệu Kronecker
Dùng ký hiệu này ta có thể viết tổng:
Bằng cách viết:
những chỉ số trong ký hiệu cronecker có thể viế cả trên
hay dới tuỳ theo điều kiện sử dụng
1.3. Các ký hiệu Kronecker và Spin




=
=
ji
ji
ij
0
1

( )
2




==>
==<
==
=
1,21
2,11
2,1,
jiji
jiji
jijio
ji



2121
2221
1211
aaaa
aa
aa
D
jiji
===
b. Ký hiệu Spin ba chỉ số:
Dùng chỉ số ký hiệu Spin ba chỉ số có thể biểu diễn định
thức bậc 3 dới dạng:


aaa
aaa
D
kjikji
===
2. Phép biến đổi toạ độ. Các vectơ cơ sở
a. Hệ toạ độ và đờng toạ độ:
Giả sử ta có hai hệ toạ độ: x
1
, x
2
, x
3
và y
1
, y
2
, y
3
.
Nếu cho hai toạ độ không đổi, còn toạ độ còn lại thay đổi,
ta đợc một đờng gọi là đờng toạ độ.
x
2
x
2
=c
22
x
2

ờng toạ độ.
rdMM
=

i
x
i
x
r
x
r


=



lim
0
i
i
dx
x
r
rd


=
i
i

cũng tồn tại phép biến đổi ng%ợc:
Do đó ma trận của phép biến đổi (b
ik
)
Rõ ràng ma trận b
ik
là ma trận nghịch đảo với ma trận a
ik
.
( )
3,2,1;,,
321
== ixx
ii

k
k
i
i
d
x
dx




=
k
i
ki

Do đó trong hệ toạ độ
1
,
2
,
3
, dr thừa nhận sự biểu diễn:
Do đó:
Tức là bất biến qua phép biến đổi toạ độ.
ii
dxerd
=
jji
i
j
ji
i
ea
x
x
rr
e
=




=



1
, x
2
, x
n
) là một hàm số xác định trong không
gian n chiều và khi biến đổi hệ toạ độ giá trị của F không
thay đổi thì F gọi là Tenxơ hạng 0. F còn gọi là đại lợng
vô hớng.

Tenxơ hạng nhất:
Nếu có một đối tợng đợc biểu diễn qua các véc tơ cơ
sở
Trong đó các thành phần a
i
thay đổi khi biến đổi toạ độ
theo luật:
Rõ ràng véc tơ a bất biến
Vay a là một Tenxơ hạng nhất.
ii
eaa
=
a
i
e
jiij
baa =

iijjiijj
eaebaeaa

Tenxơ hạng 4 là đối tợng T có các phần tử T
pqrs
sao cho khi
biến đổi hệ toạ độ các thành phần này biến đổi theo quy luật:
Trong trờng hợp này T tạo thành Tenxơ vì nó bất biến qua
phép biến đổi tọa độ
Cũng nh trờng hợp trên, nếu ta viết T dới dạng:
Thì ta thấy ngay T bất biến qua phép biến đổi hệ toạ độ.
pqrssmrlqkpiiklm
TbbbbT =

srqpsrqp
,
m
,
l
,
k
,
isrqpmslrkqip
,
m
,
l
,
k
,
i
'
mlki

= A
i j
+ B
i j
Dễ dàng chứng minh rằng C
i j
là một Tenxơ mà:
jijqippq
AbbA
=

jijqippq
BbbB
=

)BA(bbBA
jijiqjpi
'
qp
'
qp
+=+
jijqippq
CbbC
=

b. PhÐp nh©n Tenx¬ víi mét sè:
Nh©n Tenx¬ T víi mét v« híng λ ta ®îc mét Tenx¬ cã
h¹ng, lo¹i nh Tenx¬ ®· cho
jiqjp ipq


BbAaaBA
k
ji
k
ji
=
''



CbaaC
k
jiji
=
'




CBA
=
k
ji
k
ji
CBA
'''
=