1
CHNG 1 : M U
I. Vecteur hình học và không gian R
3
:
A. Ví dụ: Chúng ta tiến hành xét bài toán chuyển động tròn đều. Vị trí của
điểm M ở thời điểm t đợc xác định bởi vectơ
OM . ở đây, ta thấy vectơ
vận tốc
v vuông góc với véc tơ OM ( Véc tơ vị trí).

V OM V . OM = 0
Gia tốc hớng tâm:

= - (/R)OM
Mặt khác ta có: Lực hớng tâm

F = m


Vectơ vị trí
OM là một bộ phận của không gian phẳng bao gồm
điểm gốc: Đây là không gian hình học hai chiều. Môđun ||
OM || đồng
nhất trên toàn bộ chiều dài ||
OM || = R.
ở đây chúng ta cần phân biệt

possible).
Một cách tổng quát hơn, khi những đại lợng có bản chất vật lý
khác nhau thuộc những không gian toán học có cùng n chiều và tuân
theo cùng một quy tắc tính toán, chúng ta coi những đại lợng này nh
là những bộ phận của cùng một tập hợp: không gian vectơ R
n
.
II.Quy ớc: Kí hiệu Einstein
A. Chỉ số câm:
Xét các chỉ số i và j (i, j =
n,1 ) và ma trận với các thành phần: x
ij
.
Giả thiết rằng chúng ta tiến hành tính với mỗi giá trị của i, tính
tổng của các thành phần khi j từ 1 đến n.
Ví dụ: Với mỗi dòng của ma trận ta tính tổng các thành phần có
chỉ số cột biến đổi.
x
11
x
12
x
13
t
1
= x
11
+ x
12
+ x

32
+ x
33
Ta có thể viết dới dạng tổng quát:
t
i
=

=
n
j 1
X
ij

3
Chỉ số j, theo nó mà ngời ta có thể tính tổng tất cả các giá trị
đợc gọi là chỉ số câm.
Hiển nhiên là chúng ta có thể thay đổi kí hiệu của chỉ số câm:
t
i
=

=
n
j 1
X
ij
t
i
=

11
b
12
b
13

b
21
b
22
b
23

b
31
b
32
b
33

a
11
a
12
a
13
p
11
p
12

k
j
i
k
i
j
n
k
k
j
i
k
i
j
aapaap ==

=1

Trong đó :
i
j
p Với i là chỉ số dòng còn j là chỉ số cột.
Ví dụ:
1)

=
=
n
l
l

tsrt
11
hay
l
j
k
likij
tsrt =

Xét ví dụ sau:

4
Nhân ma trận P = A.B với Q = C.D với

k
j
i
k
i
j
bap = và
k
j
i
k
i
j
dcq =
Nếu chúng ta muốn viết rõ tích P.Q thì phải tiến hành đổi tên của
cặp chỉ số và viết nh sau:

e làm thành cơ sở của R
3
. Ta phân tích vectơ V :

V =

=
3
1i
v
i
i
e
= v
i

i
e

v
i
là thành phần của vectơ V trong hệ cơ sở (
i
e ).
Xét một hệ cơ sở khác của không gian R
3
, (
I
E ) với I = 1,2,3. Mỗi
vectơ

3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
aaa
aaa
aaa

Khi đó: [
1
E
2
E
3
E ] = [
1
e

2
e

của vectơ V trong hệ toạ độ
mới. Nhận thấy rằng
V không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ nên ta
có:

V = v
i
.
i
e v
t

I
E
Mặt khác
I
E
=
i
I
a
i
e nên ta có: V
I
i
I
a
i
e = v
i

i

Ta có bảng sau:
Hệ mới hệ cũ Hệ cũ hệ mới
i
e = b
i
I

I
E
(B = A
-1
)
I
E
=
i
I
a
i
e
v
i
=
i
I
a v
I
(A) v

3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
bbb
bbb
bbb

hay V
I
= b
i
I
v
i

Ví dụ:
Cho hệ trực giao Oxyz với các vectơ đơn vị
i
, j ,

e

3
E = 0
1
e + 0
2
e + 1
3
e
Ta có thể viết:
[
1
E
2
E
3
E ] = [
1
e
2
e
3
e ]

Khi đó B = A
-1
có dạng:

B =


0
sin cos 0
0 0 1
cos

- sin

0
sin cos 0
0 0 1
V
1
V
2
V
3
v
1
v
2
v
3
cos

- sin

0
sin cos 0
0 0 1

V bởi một vectơ U có dạng

V R
3
F (V ) = U . V R
Vô hớng kết hợp của mọi vectơ
V luôn độc lập với hệ trục toạ
độ trong không gian.
F (
V ) gọi là vô hớng thực.
Trong trờng hợp b và c ta có:
F (
V ) = |V | =
232221
)()()( vvv ++
và F(
V ) = V .U =

=
3
1
i
v
i
u
i
= v
1
u
1

Trong trờng hợp c
F (
V +V ) = U .(V +V ) = U .V + U .V
= F(
V ) + F(V )
là một không gian tuyến tính.
B. Hệ số của một không gian tuyến tính:
a. Định nghĩa: Xét vô hớng thực F(
V ) trong hệ cơ sở đặc biệt
(
i
e ). Ta có thể biểu diễn V bởi các thành phần v
i
.
Do F là ánh xạ tuyến tính nên ta có thể viết:
F(
V ) = F (v
i

i
e ) = v
i
F(
i
e )
Kí hiệu f
i
= F (
i
e ). Các thành phần của f


Ta thấy biểu thức v
i
f
i
là một bất biến khi hệ cơ sở thay đổi. Nh
vậy, các hệ số của F buộc phải biến đổi ngợc so với các thành phần v
i
.
Ta tiến hành xem xét sự thay đổi này:
Gọi F
i
là thành phần của hệ số F trong hệ toạ độ mới.
Ta có F
I
= F (
I
E ).
Nh vậy: F (
V ) = F
I
V
I
= f
i
v
i
với v
i
=

i
b
F
I
C. Không gian đẳng cấu R
3
: Xét tập hợp các không gian tuyến
tính trên R
3
. Ta có các tính chất sau:
a. Tổng của hai không gian tuyến tính

9
S = F + G S(
V ) = F(V ) + G(V ) V
b. Tích với một vô hớng :
P = F P(
V ) = F(V ) V
với giả thiết chúng ta có:
F = G F(
V ) = G(V ) V
Trờng hợp đặc biệt: F = 0 F(
V ) = 0 V
Nh vậy, tập hợp các không gian tuyến tính trên R
3
là một không
gian vectơ 3 chiều gọi là không gian đẳng cấu của R
3
và ta ký hiện là
R

e ) = 0
Tơng tự nh trên ta lập đợc ba dạng sau: e
*1
, e
*2
, e
3*
.
Chỉ số Kronecker
i
j

: e
*i
(
j
e ) =
i
j


Với
i
j

= 1 si i = i
0 si i j
Ta có thể biểu diễn dới dạng ma trận
1 0 0
[

*i
(v
j

j
e ) = 0 (thay đổi chỉ số câm)
hay
i
e
*i
(v
j
(
j
e )) = 0
i
v
j
e
*i
(
j
e )
Thay e
*i
(
j
e )=
i
j

= 1, j i thì
i
j

= 0.
Vậy ta có:
i
v
i
i
i

= 0

i
v
i
= 0
Để đẳng thức trên đúng
V thì
i
= 0.
Kết luận
: Ba ánh xạ e
*i
đợc định nghĩa bởi e
*i
(
j
e ) =

e ) để khai triển các vectơ của không
gian đó (dạng tuyến tính).
E. Thay đổi cơ sở trong không gian đẳng cấu:
Xét cơ sở đẳng cấu mới (E
*I
) trong đó E
*I
(
j
E ) =
I
J

. Khi đó vectơ
V đợc khai triển trong hệ mới nh sau:
E
*I
(v
J

j
E ) = v
J
E
*I
(
j
E ) = v
J
I

i
j

= 0

11
E
*
(V ) = v
I
=
I
i
b v
i
=
I
i
b e
*i
Biểu thức trên đúng V R
3

F. Thành phần của các vectơ trong R
3

Gọi F là không gian tuyến tính trong R
3
với các thành phần
i

*i
Chúng ta cũng đã chứng minh các thành phần phản biến khi có sự
thay đổi cơ sở trong R
3
:

G. Các thành phần trên R
3
và R
3*
a. Tính đẳng cấu của hai không gian: Không gian vectơ R
3*
là
không gian 3 chiều và biểu diễn một cấu trúc tơng đơng, so với cấu
trúc của R
3
. ở đây, ta có thể hiểu tính đẳng cấu của hai không gian
chính là sự tơng đồng giữa các nguyên tắc tính toán trong các không
gian đó.
b. Các thành phần:
Chúng ta đã biết các thành phần phản biến (v
i
) của một vectơ R
3
.
Nếu chúng ta tìm ra đợc một dãy gồm 3 vô hớng v
i
, hàm của cơ sở
(
i

F
I
=
i
I
a
f
i
V
= v
i
i
e
F= f
i
e
*i

12 c) Ví dụ: Xét một cơ sở (
i
e ) của R
3
kông nhất thiết phải trực
hớng. Ta tiến hành tính các thành phần (v
i
) của (V ) khi chiếc vectơ
này lên các trục toạ độ.

E ) ta thu đợc:
v
I
= V .
I
E hay
I
E =
i
I
a
i
e

Nh vậy, ta có:
v
I
= V .
i
I
a .
i
e =
i
I
a v.
i
e =
i
I

3**
nh là một không gian của các ánh xạ tuyến
tính trên R
3*
. Bằng các phép chứng minh tơng tự ta có thể chỉ ra đợc
R
3**
đẳng cấu với R
3*
.
Nếu cơ sở của R
3*
thay đổi thì sẽ dẫn tới sự thay đổi cơ sở theo
nguyên tắc đảo chiều trong R
3**
. Ta có kết luận sau:
R
3
R
3*
R
3**

base (
i
e
) base(e
*i
) base (e
i

3
để biểu diễn tất cả
các vectơ vật lý, dù bản chất khác nhau, đợc xác định cùng các nguyên
tắc toán học với vectơ vị trí và chúng cùng chịu sự biến đổi của cơ sở.
j
E =
i
I
a
i
e với các vectơ cơ sở
v
I
=
I
i
b v
i
với các thành phần của các vectơ v = v
i
i
e
2. Ta đa ra một không gian vectơ thứ hai R
3*
, đối ngẫu của R
3
,
biểu diễn các vectơ gắn với các vectơ của R
3
, nhng tuân theo sự thay

j


I
E =
i
I
a
i
e E
*I
=
I
i
b e
*i
và F
I

=
i
I
a f
i

Ta cũng có : R
3**
R
3


V = OM R
2
. Chọn hệ trục ox , oy và các vectơ cơ sở
1
E ,
2
E .
Ta có thể khai triển
V với các thành phần V = v
i

i
E .
Xét điểm thứ hai M chuyển động cùng một mặt phẳng với M.
Hai điểm này chuyển động độc lập với nhau. Vị trí của điểm M đợc
biểu diễn bởi vectơ
V =
OM
= v
i

i
E
. Theo quan điểm toán học chúng
ta có thể coi các vectơ
V và V thuộc những không gian phẳng khác
nhau.

V =
OM


Nh vậy, R
2
và R
2
biểu diễn vị trí riêng của các điểm chuyển
động trong khi đó mặt phẳng ban đầu XOY biểu diễn vị trí tức thời của
chúng. 16

Vị trí tức thời sẽ đợc kí hiệu bởi:
V

V . Ta quy ớc phía bên
trái dấu
là vị trí của chuyển động đầu tiên, phía bên phải là vị trí của
chuyển động thứ hai.
Sự kết hợp này, kí hiệu

giữa một véc tơ của R
2
với một vectơ
của R
2
đợc gọi là phép nhân tenseur. Tập hợp của

V +
'
2
V ) = V

'
1
V + V

'
2
V
(
V
1
+V
2
) V = V
1

V + V
2

V
V V là tích tenseur của V bởi V

17
b) Phép nhân với một vô hớng:
(
V ) V = V

và
nhiều hơn hai vectơ độc lập tuyến tính trong R
2
nên ta có thể xây dựng
tích tenseur của các vectơ này, nhiều hơn bốn phần tử (
V
'
l
V
) độc lập
tuyến tính.
Tuy nhiên, từ một cơ sở đặc biệt (
i
e ) của R
2
và từ một cơ sở (
i
e )
của R
2
, chúng ta có thể xây dựng đợc bốn phần tử
i
e
j
e =
ij
, dựa
trên tiên đề cuối, độc lập tuyến tính.
Kết quả là một không gian vectơ đợc tạo ra nhờ phép nhân
tenseur nhất thiết phải có số chiều bằng 4 và các phần tử

R
2
, kí hiệu R
2
R
2
, là
một tập hợp của các tổ hợp tuyến tính . Không gian này
có cấu trúc của một không gian vectơ 4 chiều với cơ sở là (
ij
).
Các phần tử của R
2

R
2
là các tenseur trên R
2
.
Nếu chúng ta kí hiệu một tenseur T nh là một tổ hợp của (
ij
),
chúng ta có thể biểu diễn các thành phần của T trên cơ sở (
ij
):

ij
=
i
e

3

21
;
4

22
. Việc đánh số cho các thành
phần của t cũng đợc tiến hành tơng tự. Nhng ta sẽ biết rằng các
phép tính trên tenseur sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu chúng ta giữ
nguyên những chỉ số ban đầu của chúng.
C. Biểu diễn hình học của cơ sở (
ij
) D. So sánh giữa tích Đề cac và tích Tenseur
Không gian R
2
xR
2
là một tập hợp của các tích tenseur của tất cả
các vectơ của R
2
với tất cả các vectơ của R
2
.
Không gian R
2
R

. Ta có thể biểu
diễn các thành phần của T:
T = (
V

V )= (v
i
i
e )

(v
i
i
e ) = v
i
v
i
(
i
e

i
e ) = v
i
v
i

ij

Ta ký hiệu: t


Ta có:

2'
1'
22
21
12
11
v
v
t
t
t
t
==
Nh vậy, 4 phần tử trên là không độc lập với nhau. Ta có thể tính
đợc một phần tử theo các phần tử còn lại.
Ví dụ: t
22
=
12
2111
)(
t
xtt
với t
11
0
Nếu ta đa ra một dãy 4 số t

2
. Ta có thể minh hoạ
bởi hình vẽ: 20Nh vậy là một phần tử của R
2

R
2
không hoàn toàn là một vị
trí tức thời của chất điểm chuyển động nhng là một tổ hợp tuyến tính
của vị trí tức thời.
Không gian vectơ R
2

R
2
rộng hơn R
2
xR
2
. Vả lại không gian
R
2
xR
2

OY
.

12
và
21
ứng với trờng hợp mà các chất điểm chuyển động có
xu hớng chuyển động tới, trục thứ nhất
OX , trục thứ hai OY hay ngợc
lại.
Trong cơ học lợng tử, trạng thái động của các điểm chuyển động
(phân tử) đợc biểu diễn bởi các hàm sóng , phần tử của không gian
Hilbert (rộng hơn là không gian vectơ). Ta xây dựng các trạng thái
động của cơ sở, cho 2 điểm đặc biệt, bởi tích tenseur của các trạng thái
riêng:

ij
=
i


j21
Một trạng thái động nào đó có thể luôn đợc khai triển nh là
một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái của cơ sở. Trong trờng hợp
này, đó chính là những bình phơng của các hệ số có biểu diễn tĩnh nh
là trọng lợng.
F. Có tồn tại tính giao hoán của phép nhân tenseur?

tenseur giữa chúng
U V R
2

R
2
.
Cho hai vectơ khác không song song của R
2
: W và
T
với W
không song song với U ;
T
không song song với V .
Điều đó có nghĩa là
U và W ; V và
T
là độc lập tuyến tính.
Xét trờng hợp đặc biệt
W = V và
T
= U mà ta có thể quan tâm
tới tính chất không song song của các vectơ này: 22
Nếu tồn tại tính giao hoá của

, khi đó U

e độc lập tuyến tính. Những phần tử
ij

sinh ra không gian vectơ 9 chiều R
3


R
3
.
Tơng tự, R
n
R
n
: n
2
chiều
Tuy nhiên chúng ta chỉ xét trong phạm vi của R
2
hoặc R
3
.
B. Những nét tổng quan về không gian vectơ:
Ta có thể định nghĩa tính tenseur của hai không gian vectơ nào đó
nhng chúng ta chỉ sử dụng hai không gian R
3
và R
3*
trong thực tế.
Tơng tự nh trên chúng ta đã đa ra tenseur T R


e
*j
=
ij

Sau đó là:
T R
3

R
3*

T = t
j
i
(
i
e

e
*i
) với
i
e

e
*i
=
i

mỗi
trong chúng đợc sử dụng 2 lần. Bốn không gian này có số chiều là 9.

23
Tơng tự nh trên chúng ta phải xem xét R
3
và R
3*
là hoàn toàn
riêng biệt. Chúng ta sẽ phân biệt R
3

R
3*
từ R
3*

R
3
. Sự đồng nhất từ
R
3
R
3*
vào R
3*
R
3
đa ta quay lại việc xem xét tính giao hoán của
phép nhân tenseur.

Cũng nh vậy, dãy (t
j
i
) đợc kết hợp với dãy của cơ sở
i
j

=
i
e


e
*j
: tenseur có thành phần t
j
i
thuộc không gian R
3

R
3*
.
C. Cơ sở chuẩn của tích tenseur:
a. Định nghĩa: Bốn không gian vectơ đã định nghĩa luôn luôn có
thể đợc biểu diễn bởi những cơ sở nào đó độc lập với nhau.
Tuy nhiên, không phải tất cả các cơ sở đều thuận lợi cho việc tính
toán. Chúng ta đã thấy, khi cơ sở (
i
e

j
) = (e
*i

j
e ) và trong R
3*

R
3*
là: (
ij
) = (e
*i

e
*j
).
b. Thay đổi cơ sở chuẩn: Dẫu rằng những không gian tích tenseur
đợc sinh ra bởi cơ sở đặc biệt (cơ sở chuẩn) ta phải chấp nhận ngầm

24
với nhau rằng những phần tử của chúng, có khả năng biểu diễn các đại
lợng vật lý, đợc định nghĩa theo cách đồng nhất, nh là những vectơ
của R
3
. Kết quả là tất cả những thay đổi cơ sở trong R
3
dẫn tới một sự
thay đổi của cơ sở chuẩn,ảnh hởng tới sự biến đổi các thành phần của

E
*J
).
Đặc tính đồng nhất của T ảnh hởng:
T
I
J
(
I
E

E
*J
) = t
i
j
(
i
e

e
*j
)
Với
i
e

e
*j
=(


E
*J
) =
I
i
b
j
J
a
i
j
t (
I
E

E
*J
)
Việc khai triển một phần tử của không gian vectơ trên cơ sở duy
nhất đợc rút gọn lại:

I
J
T =
I
i
b
j
J

R
3
: t
IJ
=
I
i
b
J
j
b t
ij
và trong R
3*
R
3*
: T
IJ
=
i
I
a
j
J
a t
ij

Nh vậy, những quy tắc thay đổi cơ sở chuẩn trong tích tenseur
đợc viết rất đơn giản khi ta tuân thủ việc kết hợp giữa độ cao của chỉ
số và biến kết hợp.

V của R
3
thành một véctơ khác U của R
3


V R
3
u = c(v) R
3

Sự kết hợp giữa
U và V đợc định nghĩa là độc lập với mọi cơ sở:
đây là một ánh xạ thực (inteinsèque). Toán tử c có thể hoàn toàn đợc
định nghĩa bởi tác động của nó lên tất cả các vectơ của một cơ sở (
i
e ):

U = c (V ) = c(v
j

j
e ) = v
j
c(
j
e ).
Việc biết đợc 3 thành phần c (
j
e ) đủ để nhận ra toàn bộ V đợc

j
c
i
e . Từ đó ta rút ra đợc thành phần
của
U :
Nếu ta chú ý sự kết hợp của các chỉ số (
i
j
c v
i
), ta nhận thấy sự xuất
hiện tích của ma trận vuông [
i
j
c ] với ma trận cột của các thành phần của
U (trong
i
j
c thì i là chỉ số dòng còn j là chỉ số cột).
Ma trận [
i
j
c ] là ma trận kết hợp trong cơ sở (
i
e ) của toán tử c.
=
3
3
3

u
2

u
3

v
1
v
2
v
3

Trích đoạn CHƯƠNG V: TỌA ĐỘ CONG, ĐẠOHÀM CỦA (M) ⊗ε (M) ⊗ e*(M)

---