PHÁƯN II: CÅ HC MTLT
CHỈÅNG I: MÄÜT SÄÚ KHẠI NIÃÛM CÅ BN.
§1. TEN XÅ V CẠC PHẸP TÊNH XÅ.
1.Âënh nghéa:
Ten xå l trỉåìng håüp riãng ca hãû thäúng pháưn tỉí, cạc thnh pháưn ca
nọ l hàưng säú hồûc hm säú xạc âënh trong hãû cå såí â cho våïi phẹp
biãún âäøi hãû ta âäü cạc thnh pháưn ny thay âäøi theo mäüt quy lût
xạc âënh.
Vê dủ:
-Ten xå hảng 0:
hm âäúi våïi cạc biãún trong khäng
gian.
(
n21
x,...,x,xF
)
)()(
Fx,...,x,xFX,...,X,XF
n21n21
==

(F l âải lỉåüng vä hỉåïng)
-Ten xå hảng 1:
Nãúu mäüt âäúi tỉåüng
biãøu diãùn cạc vẹc tå cå såíú A
r
i
E
r

l ten xå hảng 1.










∂
∂
=
j
i
i
j
x
X
b

Ta gi l cạc thnh pháưn phn biãún ca A ten xå hảng 1.
i
A
-Ten xå hảng hai v hảng cao.
Âäúi tỉåüng
, khi thay âäøi hãû ta âäü ta cọ:
ji
ij
EETT
rr

bbbbbTT
T l ten xå hảng 5.

2.Pheùp bióỳn õọứi toỹa õọỹ & veùctồ cồ sồỳ.
a)Pheùp bióỳn õọứi toỹa õọỹ.
i
x : bióỳn ồ le
i
X : bióỳn Lagrange
()
321
,, XXXxX
ii
=

j
i
i
j
j
j
i
i
X
x
a,dX
X
x
dx


= ;
Trong õoù laỡ nghởch õaớo cuớa
i
j
b
i
j
a




=




=
0
1
x
X
.
X
x
b.a
i
k
k
j

dx.Erd
r
r
=

j'
j
j
,
j
dx.Erd;
x
r
E
r
r
r
r
=


=

i
ji
,
i
a.EE
r
r

'

Mọựi quan hóỷ nhổ sau
i'p
E&E
rr
ip
i
'p
EbE
rr
=

caùc veùc tồ cồ sồỳ phaớn bióỳn
i

r
c)Ten xồ họựn hồỹp.
phaớn bión
ji
ij
EETT
rr
=
ij
T

ji
ij
EETT

βα
BaaB
jiij
..
'
=

()
εβαβ
βα
BAaaBA
jiijij
+=+
''

b)Nhán våïi mäüt vä hỉåïng
()
β
α
α
β
λ=λ AabjA
j
j'
i

c)Phẹp nhán x




q
p
B
Trong âọ m,p chè láưn phn biãún
cn n,q hiãûp biãún
Vê dủ:
αβ
βα
= AaaA
ji
'
ij

γ
γ
BbB
kk
.
'
'
=
x x
,
ij
A
βα
==
ji,
k,
ij

d) Phẹp cün.
Nãúu trong mäüt ten xå häùn håüp khi cho mäüt chè säú trãn bàòng chè säú
dỉåïi thç hảng ca tenxå gim âi hai.
Cho tenxå A våïi cạc thnh pháưn
, nãúu k=j ta cọ:
k,
ij
Aβ
αβ
αγ
αβγ
αγ
αβγ
βα
=δ== AaA.aAba.aA
i
k
i
k
,ki
k,
ik
Ten xå hảng 1.
→
β
αβ
A

r
r
−=−
kk i
dx dx dX dX=−
i
Theo Lagrange:
i
i
k
k
dX
X
x
dx
∂
∂
=

ji
j
k
i
k
2
dXdX
X

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ−
∂
∂
∂
∂
=−
r
r

jiij
dXdXE2=

Våïi
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
δ−

2
dxdx
x
X
x
X
Xd
∂
∂
∂
∂
=
r

jiijji
j
k
i
k
ij
2
2
dxdx.L2dx.dx
x
X
x
X
Xdxd =
⎟
⎟

i
k
ijij
x
X
x
X
2
1
L
gi l ten xå biãún dảng hỉỵu hản Amàngxi
2.Biãøu diãùn ten xå biãún dảng qua chuøn vë
.
Ta cọ vẹc tå chuøn vë ca pháưn tỉí :
0
P

Xxu
r
rr
−=
hay
iii
Xxu
−=

Theo biãún Lagrange:
ij
j
i

j
i
j
i
j
i
ij
j
i
x
u
x
X
x
X
x
u
δ+
∂
∂
−=
∂
∂
⇒
∂
∂
−δ=
∂
∂


∂
=
ij
i
k
ij
j
k
ij
X
u
X
u
2
1
E⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
j
k
i
k
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
x

∂
=ε→
i
j
j
i
ijij
X
u
X
u
2
1
E

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=→
i

00
Q&P
00
P&Q
00
PQ
uuud
rrr
=

iPiQi
uudu
00
=

Khai trióứn
()
jijijj
i
j
j
i
i
j
j
i
j
j
i
i









+










+


=


=












=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1
~
goỹi laỡ ten xồ quay le
Ten xồ quay laỡ ten xồ phaớn õọỳi xổùng.
jiijjiij
~~
; ==

Nón coù thóứù vióỳt dổồùi daỷng ma trỏỷn


















==
1
3
3
1
132
X
u
X
u
2
1







Trong trổồỡng hồỹp chuyóứn vở beù thỗ toỹa õọỹ õỏửu vaỡ cuọỳi cuớa mọỹt phỏửn tổớ
rỏỳt gỏửn nhau nón gradien chuyóứn vở theo Lagrange vaỡ le gỏửn bũng
nhau.
nón
vaỡ
ijij
l=
ijij
~
=

Ta thổồỡng duỡng bióỳn daỷng beù õi nghión cổùu vỏỷt rừn bióỳn daỷng.
3.Yẽ nghộa vỏỷt lyù cuớa ten xồ bióỳn daỷng beù vaỡ ten xồ quay
.
a)Ten xồ bióỳn daỷng nhoớ.
3
3
33
2
2
22
1
1
11
X
u
;
X

22



=


=


=


=

goỹi : phỏn tọỳ thúng truỡng truỷc Vỏỷy chờnh laỡ
00
QPX =
2
X
22

bióỳn daỷng daỡi tố õọỳicuớa phỏn tọỳ theo
2
X
tổồng tổỷ
: hay bióỳn daỷng daỡi tố õọỳi vồùi truỷc
332211
,,
ii

===


=


tg
'PQ
Q'Q
x
u
X
u
2
3
2
3

===


=


tg
'PM
M'M
x
u
X

2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
2
3
32
−=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
X
u

2
1
gọc quay ngỉåüc lải ca âỉåìng chẹo
quanh trủc khi quay gọc
β
.
100000
MBQPBP ∈
1
X
00
MP
Nhỉ váûy
32
ω
biãøu thë sỉû quay cạc âỉåìng chẹo cng gọc quay ca
phán täú quanh trủc
00
BP
0000
MBQP
1
X
Ta cọ
iiPiQ
duuu
00
+=
Trảng thại biãún dảng tải 1 âiãøm ca MTLT âỉåüc biãøu thë bàòng mäüt ten
xå hảng hai âäúi xỉïng
ij
ε

1.Quy lût biãún âäøi khi thay âäøi hãû ta âäü.

Âäúi våïi hãû ta âäü Âãư cạc ngỉåìi ta cọ cäng thỉïc biãún âäøi.
mnjnimij
aa ε=ε

ijnjmimn
bb ε=ε

våúi
, cn
(
j
'
iij
X,xcosa =
)
jiij
ab =
ọỳi vồùi hóỷ toỹa õọỹ cong:
j
b
j
a
i

)
>>
. Caùc giaù trở laỡ bióỳn daỷng daỡi cổỷc
trở goỹi laỡ bióỳn daỷng chờnh.
IIIIII
,,
Coỡn phổồng caùc bióỳn daỷng chờnh goỹi phổồng chờnh trón caùc mỷt phúng
vuọng goùc phổồng chờnh khọng coù bióỳn daỷng trổồỹt. Bióỳn daỷng chờnh laỡ
nghióỷm cuớa phổồng trỗnh sau:
() () ()
0
3
3
2
23
1
=+


: bỏỳt bióỳn cuớa ten xồ bióỳn daỷng vồùi.
321
,,
332211ii1

++==

()
1131
1333
3323

dVdV
332211
0
0
õọỹ bióỳn õọứi tố õọỳi thóứ tờnh
Thay
vaỡo phổồng trỗnh:
()


()
()
()
()
()
()





=++
=++
=++



0nnn
0nnn
0nnn