Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
64
Chương 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CƠ HỌC
CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
A. VẬT RẮN Đ ÁN HỒI - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH:
I. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke:
Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển u
i
và gradient dịch chuyển được giả
sựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về tenxơ biến dạng giữa mô tả theo
Lagrange và mô tả theo Euler. Ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi:
()
i,jj,i
i
j
j
i
i
j
j
i
ijij
uu
2
1
x
u
x
u
2
1

∂
∂
∂
∂
ε
Nếu quá trình biến dạng xảy ra trong điều kiện đoạn nhiệt và đẳng nhiệt, thì phương
trình cơ bản cho vật thể đàn hồi tuyến tính liên hệ giữa ten xơ biến dạng và tenxơ
ứng suất có dạng.
kmijkmij
C
εσ
= :biểu thị định luật Hooke tổng quát. [5.21]
Trong đó tenxơ hằng số đàn hồi
ijkm
C có 81 thành phần. Vì ten xơ ứng suất và ten
xơ biến dạng đều đối xứng do đó hằng số đàn hồi
ijkm
C chỉ còn lại 36 thành phần
phân biệt. Vậy nhằm mục đích biểu diển định luật Hooke cho 36 thành phần khác
nhau nầy ta thay hệ thống hai chỉ số (với khoảng cuả mổi chỉ số là 3) của tenxơ ứng
suất và tenxơ biến dạng thành hệ thống 1 chỉ số, với khoảng của chỉ số là 6. Theo
các ký hiệu sau :
σ
11
= σ
1
σ
22
= σ
2

ε
33
= ε
3
2ε
23
= 2ε
32
= ε
4
2ε
13
= 2ε
31
= ε
5
2ε
21
= 2ε
12
= ε
6
Định luật Hooke có thể được viết:
MKMK
C
ε
σ
= (K, M: 1, 2, 3, 4, 5, 6).[5.22]
Trong đó C
KM

CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
C [5.23]
II. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi:
1.Phương trình năng lượng biến dạng:
Theo định lý năng lượng ở chương 4 ta có:
∫∫∫∫∫∫
−++=+
∧
•
S
ii
VV
ii
S
)n(
ii
VV
ii
dSnCZdVdVbvdStvdVudV
2
vv
dt
d
ρρρρ
Rút gọn ta được:

()
i,iii
j,
jii
2
C
1
Zbvv
1
u
2
v
dt
d
ρ
σ
ρ
−++=








+
()
i,iii
j,

du
ρ
σ
ρ
−+=
Hay
i,iijji
C
1
ZD
1
dt
du
ρ
σ
ρ
−+= [5.24]
Nếu ảnh hưởng của nhiệt không đáng kể, ta có phương trình cân bằng năng lượng:
ij
ijijji
1
D
1
dt
du
•
==
εσ
ρ
σ

ij
ij
1u
σ
ρ∂ε
∂
=
Đặt u
*
=
ρ
u , ta có:
ij
*
ij
u
∂ε
∂
σ
= [5.27]
(u* là năng lượng biến dạng trên đơn vị thể tích)
Dạng đơn giản nhất của hàm năng lượng biến dạng để dẫn tới quan hệ biến dạng và
ứng suất là tuyến tính là:
kmijijkm
*
C
2
1
u
εε

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
66
Chỉ còn lại 2 hằng số độc lập
λ
và
µ
gọi là hằng số Lamê.
[]
()
()
()




















1
232
σ
µ
σδ
µλµ
λ
ε
+
+
−
= [5.33]
Đối với trạng thái ứng suất đơn trục đơn giản theo một phương, giả sử theo hướng
x
1
. Hằng số kỹ thuật E gọi là mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson
ν
được đưa
vào cho môi trường đẳng hướng thay cho các hằng số đàn hồi, ta có:
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cùng phương như sau:
1111
E
εσ
= [5.34]
và quan hệ giữa biến dạng theo phương x
1
với biến dạng theo 2 phương vuông góc
còn lại:
113322
νεεε

µλ
µ
λ
µ
+
+
= và
()
µλ
λ
ν
+
=
2
[5.37]
Các công thức xác định ứng suất và biến dạng lúc này trở thành:






−
+
+
=
kkijijij
211
E
εδ

= hoặc
3
)23(
K
µ
λ
+
= [5.40]
Đối với trạng thái thuần ứng suất cắt, mô đun cắt G là quan hệ giữa các thành phần
ứng suất tiếp và biến dạng trượt.
()
ν
µ
+
==
12
E
G [5.41]
III. Bài toán Tĩnh đàn hồi và Động lực đàn hồi:
1. Bài toán Tĩnh đàn hồi:
Đối với vật thể đồng chất đẳng hướng dựa vào các phương trình sau đây:
a. Phương trình cân bằng:
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
67
0b
ij,ji
=+
ρ
σ
b. Định luật Hooke:

)
Xgu
ii
r
= [5.42b]
2. Bài toán đàn hồi động lực:
Phương trình cân bằng được thay thế bằng phương trình của chuyển động:
iij,ij
vb
&
ρ
ρ
σ
=+
Các điều kiện ban đầu và điều kiệ n biên được xác định trước. Phương trình động lực
đàn hồi có dạng:
()
iiji,jjj,i
ubuu
&&
ρ
ρ
µ
λ
µ
=+++ [5.43]
Nghiệm của bài toán có dạng
()
t,xuu
ii

Vì những phương trình đàn hồi tuyến tính là những phương trình tuyến tính.
Nên các nguyên lý độc lập tác dụng được phát biểu như sau: Nếu
)1(
i
)1(
ij
u,
σ
đặc trưng
cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là b
i
(
1
)
và
)2(
i
)2(
ij
u,
σ
đặc
trưng cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là b
i
(
2
)
thì:



Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
68
Tại các điểm của vật rắn có khoảng cách đủ xa đến miền đặt tải trọng, ứng
suất rất ít phụ thuộc vào cách đặt lực cụ thể. ( Tải trọ ng phân bố trên miền nhỏ của
bề mặt vật thể có thể thay bằng lực tập trung.)
V. ĐÀN HỒI HAI PHƯƠNG. ỨNG SUẤT PHẲNG VÀ BIẾN DẠNG PHẲNG:
Nhiều bài toán đàn hồi có thể giải hai phương hoặc bằng lý thuyết đàn hồi phẳng.
Thường có hai dạng bài toán:
-Bài toán ứng suất phẳng, dạng hình học của vật thể phải là dạng bản mỏng, có kích
thước của một chiều rất nhỏ hơn hai chiều còn lại. Tải trọng tác dụng đều lên chiều
dày của bản và có phương song song với mặt bản.
- Bài toán biến dạng phẳng, dạng hình học của vật thể phải là hình trụ hoặc lăng
trụ với một chiều có kích thước phải lớn hơn nhiều so với hai chiều còn lại. Tải
trọng tác dụng phân bố đều lên cạnh dài nhất và có phương vuông góc với nó.
5.1. Bài toán ứng suất phẳng:
Trong đó các thành phần ứng suất bao gồm
231333
,,
σσσ
được lấy = 0 ở mọi nơi, các
thành phần còn lại có giá trị là các hàm số của
x
1
, x
2
mà thôi.
)2,1,(;)x,x(
21
==
β

=
()
αββααβ
ε
,,
uu
2
1
+= [5.50]
Trong đó












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂


=
000
0
0
2212
1211
σσ
σσ
σ
αβ
và










=
33
2212
1211
00
0
0
ε

νν
[5.52]
5.2. Bài toán biến dạng phẳng:
x
2
x
1
x
3
x
2
Hình 5-1.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
69
Thành phần chuyển vị u
3
= 0 và các thành phần còn
lại là hàm số của x
1
, x
2
mà thôi.
)x,x(uu
21
αα
=
Trường hợp này các phương trình cơ bản là:
a. 0b
,
=+

2
=+++∇
αβαβα
ρµλµ
[5.56]
Giống như bài toán ứng suất phẳng, các phương trình tương thích cho biến dạng
phẳng cũng trở thành một phương trình như [5.51].
VI. HÀM ỨNG SUẤT AIRY:
Nếu lực khối bằng không hoặc hằng số, thì nghiệm của bài toán đàn tĩnh phẳng
(biến dạng phẳng hoặc ứng suất phẳng suy rộng) thường được giải bằng hàm ứng
suất Airy. Ngay khi lực khối bắ t buột phải đưa vào tính toán thì người ta có thể dùng
nguyên lý cộng tác dụng để tính thêm vào tác dụng của nó bằng cách tích phân riêng
các phương trình vi phân tuyến tính cơ bản.
Đối với bài toán đàn tĩnh phẳng khi lực khối = 0 , phương trình cân bằng trở thành:
0
,
=
βαβ
σ
[5.57]
và phương trình tương thích [5.51] biểu diễn bằng ứng suất có dạng như sau:
0)(
2211
2
=+∇
σσ
[5.58]
các thành phần ứng suất được cho dưới dạng đạo hàm riêng phần củ a hàm ứng
suất Airy )x,x(
21

phương trình biến
đổi toạ độ là:
θ
cosrx
1
=
θ
sinrx
2
=
ứng với các thành
phần ứng suất trong
hình 5-3 phương trình cân bằng có dạng:
x
3
x
1
x
2
Hình 5-2.
x
1
x
2
θ
r
dθ
σ
θ
σ

∂
∂
+
∂
∂
θθθ
σσ
θ
σ
σ
[5.61]
0Q
r
2
rr
1
rr
=++
∂
∂
+
∂
∂
θθθθ
σσ
θ
σ
[5.62]
trong đó R và Q là các thành phần của lực khối trên đơn vị thể tích theo các phương
r và

θθ
[5.64]






∂
∂
∂
∂
−=
θ
Φ
σ
θ
r
1
r
r
[5.65]
Điều kiện tương thích dẫn tới phương trình điều hòa kép:
0)(
422
=∇=∇∇
ΦΦ
trong tọa độ cực
2
2

điểm cho trước. Do đó:
iojij
)n(
i
npnt −==
∧
σ
[5.1]
trong đó p
o
là cường độ ứng suất hay áp suất thủy tĩnh. Dấu âm chỉ ứng suất nén. Ở
đây mọi phương đều là phương chính, ta có:
ijoij
p
δσ
−= [5.2]
đặc trưng cho trạng thái ứng suất cầu.
Thành phần ứng suất tiếp tuyến ở đây bằng không khi chất lưu ở trạng thái tĩnh.
Đối với chất lưu chuyển động thành phần ứng suất tiếp thường khác không và ten
xơ ứng suất trong trường hợp này được viết:
ijijij
p
τδσ
+−= [5.3]
trong đó
τ
ij
là ten xơ ứng suất nhớt (ma sát).
p là áp suất ( thủy động)
Tất cả chất lưu thực đều có tính nhớt và tính nén được. Tuy nhiên, các tính chất này

p = p(
ρ
, T). [5.3b]
Chẳng hạn như phương trình trạng thái biểu diễn định luật khí lý tưởng:
p =
ρ
R T, với R là hằng số khí. [5.3c]
• Với sựü thay đổi của chất lưu có phương trình trạng thái không phụ thuộc nhiệt
độ, p = p(
ρ
), được gọi là quá trình barotropic. Chẳng hạn như quá trình đẳng
nhiệt trong khí lý tưởng là một thí dụ.
II. Phương trình Navier-Stokes:
1. Quan hệ giữa tenxơ ứng suất và tenxơ vận tốc biến dạng:
Thành phần của ten xơ ứng suất ma sát trong ten xơ ứng suất có liên quan đến sựü
tiêu hao năng lượng. Người ta giả sử rằng tenxơ ứng suất nhớt
τ
ij
là hàm số của ten
xơ vận tốc biến dạng D
ij
.
Nếu quan hệ hàm số không tuyến tính ta có:
(
)
pqijij
Df=
τ
[5.4]
thì chất lưu được gọi là chất lưu Stokes.

trong đ ó *)2*3(*
3
1
µ
λκ
+= được gọi là hệ số nhớt thể tích. Khi 0***
3
2
=+=
µ
λκ
được gọi là điều kiện Stokes.
Theo thành phần tenxơ lệch ta có
kkij
3
1
ijij
S
σδσ
−= và
kkij
3
1
ijij
DD'D
δ
−= , phương
trình [5.6] được viết thành:
ijii
3

iiij
*
ijii
D2Dpbv
µδλδρρ
++−+=
•
[5.7]

ij,j
*
jj,i
*
ij,iij
*
ijj,i
vvvpb
µµδλδρ
+++−=
Suy ra:
()
jj,i
*
ij,j
**
i,ii
vvpbv
µµλρρ
+++−=
•

t
v
v
td
vd
=+==
•
∂
∂
Suy ra:
j,iji
vvv =
•
[5.10]
2. Thủy tĩ nh: Khi dòng ổn định có vận tốc bằng 0 ở mọi nơi phương trình
Navier-Stokes trở thành phương trình cân bằng thủy tĩnh:
i,i
pb =
ρ
ký hiệu: pb
x
∇=
→
ρ
[5.11]
3. Dòng không xoáy: là dòng có tenxơ xoáy triệt tiêu mọi nơi. Vectơ xoáy q
i
liên
hệ với tenxơ xoáy bởi phương trình:
0vVq

ρρ
ký hiệu: pbv ∇−=
→→
ρρ
[5.14]
gọi là phương trình Euler của chuyển động.
Đặt:
i,i
b
Ω
−= và
()
∫
=
p
p
o
dp
pP
ρ
ta có:
()
i,
i
Pv
+−=
•
Ω
gọi là phương trình Euler của chuyển động.
Nếu phương trình Euler được tích phân dọc theo đường dòng ta sẽ được phương

Ω
mà ta có:
∫∫∫
+=
ij,iji
i
i
i
dxvvdx
t
v
dx
td
vd
∂
∂
và:
PdPdxP;ddx
ii,ii,
====
∫∫∫∫
ΩΩΩ
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
73
Vậy:
()
Pdxvvdx
t
v
tC



=
dS
v
v
vvdS
v
v
vvdxvv
j
j,ii
i
j,ijij,ij
=
iiiijj,ii
vv
2
1
dvvdxvv ==
∫∫
Cuối cùng:
()
∫
+++=
i
i
2
dx
t

h
g2
v
= là cột lưu tốc. Vậy phương trình Bernoulli
thỏa điều kiện tổng cột áp toàn phần dọc theo đường dòng bất kỳ là hằng số. Ta có:
const
g2
v
g
p
hhhh
2
vp
=++=++
ρ
[5.16]
V. Dòng chảy có thế - Dòng chảy có thế phẳng:
Dòng chảy có thế: là dòng chảy không xoáy, có vectơ vận tốc là:
i,i
v
φ
−= [5.17]
Đối với dòng chảy có thế không nén được phương trình liên tục có dạng:
0
ii,
=
φ
ký hiệu: 0
2
=∇