Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng 1

Mở ñầu - C¸c kh¸i niÖm chung
1.1. Mở ñầu
Trong chương trình ñào tạo các ngành có liên quan ñến cơ học ở các trường ñại học và các
viện nghiên cứu chúng ta ñã làm quen với những môn học cụ thể: sức bền vật liệu, cơ học kết cấu,
cơ học chất lỏng, chất khí, thuỷ lực, … Các môn học này ñược trình bày một cách ñộc lập, ñôi
phần trùng lặp về khái niệm và kiến thức, lại không nêu ñược những quan ñiểm chung về mặt cơ
học và vật lý ñố với các ñối tượng nghiên cứu.
Môn cơ học môi trường liên tục ñược ñưa vào giảng dạy nhằm trang bị cho người học những
nguyên lý và qui luật cơ học chung, những phương pháp chung nhất ñể giải quyết các bài toán cơ
học một cách tổng quát.
Lý thuyết ñàn hồi là một ngành cơ học nghiên cứu về chuyển dịch, biến dạng và ứng suất xuất
hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển ñộng do tác dụng của các
nguyên nhân ngoài.
1.1.1 Cơ học - Cơ học vật rắn tuyệt ñối - Cơ học vật rắn biến dạng
1. Cơ học: Khoa học nghiên cứu về lực, chuyển ñộng và quan hệ giữa chúng.
• Chuyển ñộng: tĩnh học
• Tác ñộng của lực lên hệ nghiên cứu: ñộng học
• Quan hệ lực – chuyển ñộng: ñộng lực học

nhất ñể giải quyết các bài toán cơ học. Trong cơ học môi trường liên tục, vật thể ñược xem như
môi trường vật chất lấp ñầy liên tục một miền nào ñấy, hoặc cả không gian.
CHMTLT là môn khoa học khá rộng và phân nhánh gồm: lý thuyết ñàn hồi, ñàn nhớt, nhiệt
ñàn hồi, dẻo và từ biến, thủy ñộng lực học, khí ñộng lực, lý thuyết plasma, …
Chúng ta chỉ nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của Cơ học môi trường liên tục.
1.1.3 Lý thuyết ñàn hồi
Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất hiện trong VRBD ở trạng thái cân
bằng hoặc chuyển ñộng do tác dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác.
Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và ñàn hồi tuyệt ñối (tuân theo ñịnh luật thứ nhất của
nhiệt ñộng học về sự bảo toàn năng lượng của hệ cô lập).
SBVL: xét ứng suất, biến dạng, chuyển vị của thanh bằng cách ñưa vào các giả thiết có tính
chất kinh nghiệm nhằm ñơn giản hoá cách ñặt các bài toán, các kết quả nhận ñược dễ ứng dụng
trong thực tế ( bài toán một chiều).
LTĐH: Nghiên cứu thanh, tấm, vỏ, các vật thể có kích thước hai, ba chiều. Cách ñặt vấn ñề
chặt chẽ và chính xác hơn về mặt toán học. Xây dựng các phương pháp tổng quát hơn ñể giải
quyết các bài toán do lý thuyết ñặt ra.
Ứng dụng: cơ sở cho tính toán về ñộ bền, dao ñộng và ổn ñịnh trong chế tạo máy, trong xây
dựng, và các ngành khoa học khác.
Lý thuyết đàn hồi tuyến tính: xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng.
Lý thuyết đàn hồi phi tuyến: xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi
tuyến vật lý).

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

1.2. Các khái niệm chung
1.2.1 Môi trường liên tục
Bản chất phân tử của cấu trúc vật chất ñã ñược biết, nhưng trong nghiên cứu về trạng thái của
vật liệu, ñiều quan trọng không phải là trạng thái của các phần tử riêng biệt mà là trạng thái ñặc

∆

Mật ñộ vật chất tại một ñiểm
lim
V
m dm
V dV
ρ
∆ →∞
∆
= =
∆

Khối lượng vật chất trong toàn bộ thể tích V
( )V
m dV
ρ
=
∫
Nếu môi trường có
onst
c
ρ
=
: môi trường ñồng nhất
1.2.4 Chuyển vị, biến dạng và sự chảy:
1. Chuyển vị:
Khi chịu tác dụng của ngoại lực, môi trường thay ñổi hình dạng, kích thước, các
phần tử vật chất của môi trường chuyển dời vị trí - chuyển vị, véctơ chuyển vị
u

( ) ( ) ( )
2 2 2
A B A B A B
l x x y y z z
= − + − + −
Thời gian: tuyệt ñối, lý tưởng và như nhau với mọi người quan sát.

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

2

Một số khái niệm cơ bản về ten-xơ Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và các phép tính ñối với ten-xơ ñể làm
quen với công cụ toán học này trong khi nghiên cứu các vấn ñề về Cơ học các môi trường liên tục
và Lý thuyết ñàn hồi.
Trong cơ học, cũng như trong toán học và vật lý ta thường gặp các ñại lượng có các tính chất
khác nhau.
• Đại lượng vô hướng: là những ñại lượng mà với một ñơn vị ño ñã chọn nó ñược ñặc
trưng bằng một con số như: nhiệt ñộ, khối lượng, …
• Đại lượng vec tơ : là ñại lượng ñược ñặc trưng bởi giá trị theo ñơn vị ño, phương và
chiều trong không gian xác ñịnh, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất ñiểm, …
• Đại lượng ten xơ: ñặc trưng cho một trạng thái xác ñịnh nào ñó của vật thể: trạng thái

111 112 333
, , ,
a a a

Hệ thống các phần tử như
i
a
chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống hạng nhất, bao
gồm 3
1
phần tử;
ij
a
là hệ thống hạng hai bao gồm 3
2
phần tử. Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào
n chỉ số gồm 3
n
phần tử.
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

2.1.2. Qui ước về chỉ số
Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số ñó từ 1 ñến 3. Chỉ số như
vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác.
Thí dụ:
1 1 2 2 3 3
i i k k
a b a b a b a b a b
= + + =
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 ñến 3

=1
≠
0
=δ
jivíi
jivíi
ij
(2.1)
Hệ thống
ij
a
là phản ñối xứng khi
ij ji
a a
= −

Ký hiệu Levi-Chivita
ijk
e
là hệ thống phản ñối xứng với các thành phần như sau:
0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau

ijk
e
= 1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3 (2.2)
-1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3
2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không
Trường vô hướng là một hàm vô hướng
(
)

là vec tơ ñơn vị của hệ trục toạ ñộ Ox
i
; Ký hiệu ∇ ñọc là “nabla”
Ý nghĩa hình học:
grad
ϕ
là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình
onst
c
ϕ
=
.
Vec tơ pháp tuyến ñơn vị
ν

của mặt này tại một ñiểm nào ñó trên bề mặt sẽ là

31 2
1 2 3
x
x xgrad
e e e
grad grad grad grad
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ν
ϕ ϕ ϕ ϕ
∂
∂ ∂

1 2 3
x x x
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
∆ = ∇∇ = ∇ = + +
∂ ∂ ∂
(2.5)
Ví dụ 2.1: Tìm vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng ñi qua ba ñiểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)
cho trước trong hệ toạ ñộ vuông góc như trên hình 2.1
3
x
O
1
x
x
2
b
a
c
1
e
2
e
3
e

Hình 2.1
Bài giải: Phương trình mặt phẳng ñi qua ba ñiểm A, B, C là
3

grad
a b c
e e e
grad
ϕ
ν
ϕ
= = + +
                 
+ + + + + +
                 
                 
   

1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc ac ab
e e e
a b b c a c a b b c a c a b b c a c
ν
= + +
+ + + + + +
   

Khi a=b=c (mặt nghiêng ñều với ba trục toạ ñộ) thì vec tơ pháp tuyến là
1 2 3
1 1 1
3 3 3
e e e
ν

a
1
a

Hình 2.2

1 2 3
a a a a
= + +
   
(2.6)
hoặc
1 1 2 2 3 3
a a e a e a e
= + +
   
(2.7)
trong ñó
i
e

là vec tơ ñơn vị.
Độ dài vec tơ
2 2 2 2
1 2 3
i
a a a a a a
= = + + =

(2.8)

e

(Hình 2.3)
O
x
3
2
x
x
1
x
3
e
e
2
1
x
1
2
x
'
2
e
3
e
e
1
'
e
3

x

2
x

3
x

'
1
x

11
c
11
c
13
c
'
2
x

21
c

22
c

23
c

     
 
     
     
 
= =
     
 
     
 
 
     
     
  
  
  
(2.11)
Các vec tơ ñơn vị cũ biểu diễn qua vec tơ ñơn vị mới bởi hệ thức:

[ ]
11 12 13
21 22 23
31 32 33
' '
' ' '
1 1 1
' ' ' ' '
2 2 2
' ' '
' '

]
[
]
1
'
T
C C C
−
= = (2.13)
T – là ký hiệu vec tơ chuyển trí
e
'
x
3
3
x
e
3
'
e
1
'
2
e
3
e
1
O
x
1

'
3 3
x x
≡
và ma trận biến ñổi hệ trục
toạ ñộ có dạng:

[ ]
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
C
θ θ
θ θ
 
 
= −
 
 
 
(2.14)
Chú ý: Khi biến ñổi hệ trục toạ ñộ bản thân vec tơ
a

không thay ñổi nhưng các thành phần a
i

của nó biến ñổi thành
'
i


3.1. Định nghĩa về ứng suất
Nội lực:
Lượng thay ñổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoạ lực tác
dụng.
Trên mặt cắt bất kỳ thuộc vật thể chịu lực, xét phân tố diện tích
A
∆
chứa ñiểm K ñang xét.
Giả sử
ν

là pháp tuyến ngoài của mặt cắt,
P
∆

là hợp lực của nội lực trên bề mặt
A
∆
. Ứng suất
toàn phần
p
ν

ñược ñịnh nghĩa:
0
lim
A
P
p

ν ν ν ν
= + + (3.3)
p
p
p
ν
x
x
x
K
ν
K
σ
p
ν
p
ν
σ
νη
νν
ν2
1
ν3
2
3
ν1

Hình 3.1
Thông thường ta lấy một trục toạ ñộ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, thì ứng suất
toàn phầnñược phân tích làm hai thành phần: ứng suất pháp

11
+
σ
11
x
σ
12
+
σ
12
x
σ
13
+
σ
13
x
d
x
d
x
d
x
σ
11
σ
12
σ
13
K

) và M(x
1
+dx
1
, x
2
+dx
2
, x
3
+dx
3
)
Tại K(x
1
,x
2
, x
3
) trên các mặt cắt ⊥ trục có hệ ứng suất
(
)
1 2 3
, ,
ik ik
x x x
σ σ
= .
Tại M(x
1

*
f
với hình chiếu lên 3
trục toạ ñộ
1 2 3
, ,
x x x
:
*
i
f
(
* * *
1 2 3
, ,
f f f
)
• Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường ñộ f với hình
chiếu lên 3 trục tọa ñộ
1 2 3
, ,
x x x
là
1 2 3
, ,
f f f
.
Khi vật thể ở trạng thái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn ñiều kiện cân bằng.
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng


3
:
31 32 33
σ σ σ

Trên các mặt lân cận (xi+dxi): dùng khai triển Taylor (bỏ qua vô cùng bé bậc cao)(hình 3.3):
( ) ( )
i
ik
ik i i ik i i
i
x
x dx x dx
x
σ
σ σ
∂
+ = +
∂
;
( ) ( )
i
ik
ik i i ik i i
i
y
y dy y dy
y
σ
σ σ

2
12 22 32 2
2
2
1 2 3
0 0
d u
X
x x x dt
σ σ σ
ρ
 
∂ ∂ ∂
= ⇒ + + =
 
∂ ∂ ∂
 
∑
(3.7)
2
31 32 33 3
3
2
1 2 3
0 0
d u
X
x x x dt
σ σ σ
ρ

ν
=
 

σ
22
f
1
σ
11
σ
12
σ
13
B
C
σ
23
σ
21
*
f
2
*
f
3
*
ν
x
2

ν3

Hình 3.5 Hình 3.6
Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng theo phương
trục x
i
cho ta (hình 3.5):
*
11 1 12 2 13 3 1
l l l f
σ σ σ
+ + =

*
21 1 22 2 23 3 2
l l l f
σ σ σ
+ + =
(3.9)
*
31 1 32 2 33 3 3
l l l f
σ σ σ
+ + =

Cơ học: Hệ phương trình (3.7) và (3.9) là ñiều kiện cân bằng của toàn thể môi trường
Toán học: Hệ (3.7) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.9) là ñiều kiện
biên ñể xác ñịnh các hằng số tích phân của phương trình vi phân.
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
Cân bằng phân tố tứ diện như ở 3.2.4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần


Hay dưới dạng ma trận:
1 11 21 31 1
2 12 22 32 2
3 13 23 33 3
p l
p l
p l
ν
ν
ν
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
     
     
=
     
     
     
(3.11)
Giá trị ứng suất toàn phần:
2 2 2
1 2 3
p p p p
ν ν ν ν
= + + (3.12)
3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp
Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần
1 2 3

mặt cắt ñi qua ñiểm ñó.
Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí ñiểm ñang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt.
Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí ñiểm ñang xét. Như vậy trạng thái ứng suất ñặc
trưng cho tình trạng chịu lực tại các ñiểm khác nhau của môi trường.
3.4.2. Ứng suất khi biến ñổi hệ trục toạ ñộ
Hệ trục x
i
xoay quanh gốc toạ ñộ và trở thành hệ trục
'
i
x
, các cosin chỉ phương của góc
giữa trục mới
'
i
x
và trục cũ
i
x
là
ij
c
. ứng suất
'
ij
σ
trong hệ trục mới
'
i
x

Tenxơ ứng suất có thể phân tích thành tenxơ lệch ứng suất
D
σ
và tenxơ cầu ứng suất
0
T
σ

0
T D T
σ σ σ
= + (3.16)
Trong ñó:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
tb
tb
tb
D
σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
−
 
 
= −
 
 

có các cosin chỉ phương trong hệ toạ ñộ xi là li, ứng suất chính là
σ
. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần
p
ν
có phương trùng với pháp
tuyến
ν
và có giá trị bằng
σ
, do ñó hình chiếu
i
p
ν
trên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là:
i i
p l
ν
σ
= (3.18)
Thay (3.18) vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng
(
)
11 1 21 2 31 3
0
l l l
σ σ σ σ
− + + =

(

σ σ σ σ
−
− =
−
(3.21)
hoặc:

3 2
1 2 3
0
I I I
σ σ σ
− + − =
(3.22)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

trong ñó
1 11 22 33
I
σ σ σ
= + +
11 21 22 32 11 31
2
12 22 23 33 13 33
I
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
= + + (3.24)
11 21 31
3 12 22 32

σ σ σ σ
+ − + =

(
)
13 1 23 2 33 1 3
0
l l l
σ σ σ σ
+ + − =2 2 2
1 2 3
1
l l l
+ + =

3.6. Ứng suất tiếp cực trị
Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45
0
so với các
trục ứng suất chính.
1
1 2
max
2
σ σ
τ
−

1
6
i
τ σ σ σ σ σ σ
= − + − + − (3.26b)
+ Cường ñộ ứng suất pháp
(
)
2
3
i
I D
σ
σ
= (3.27a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 3 3 1
2
2
i
σ σ σ σ σ σ σ
= − + − + − (3.27b)

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng


gắn với môi trường vật chất liên
tục gọi là hệ trục toạ ñộ ñồng hành. Điểm vật chất M có tọa ñộ X
i
ñược xác ñịnh bởi vectơ bán
kính
R
, X
i
là tọa ñộ ñiểm vật chất ban ñầu, không phụ thuộc thời gian t.
Khi chịu tác ñộng bên ngoài, môi trường bị biến
dạng , tại thời ñiểm t, ñiểm vật chất M có vị trí mới
M
1
trong hệ tọa ñộ tuỳ chọn tương ứng nào ñó x
i

(gọi là hệ toạ ñộ qui chiếu, thường gắn với trái ñất,
toa tàu, ). Tại thời ñiểm này ñiểm không gian
M
1
(x
i
) ñược xác ñịnh bởi vec tơ bán kính
r
, x
i
gọi
là tọa ñộ không gian, x
i
phụ thuộc thời gian t.

o Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay ñổi
=> chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
Vec tơ chuyển vị của ñiểm M:

1
u MM r b R
= = + −
    
(hình 4.1)
Để ñơn giản ta chọn các hệ trục x
i
và X
i
cùng
gốc, cùng phương và cùng chiều
(
)
≡
i i
x X
thì vec tơ
chuyển vị (hình 4.2):

u r R
= −
  


biến dạng, các hạt vật chất chuyển ñộng theo những quĩ ñạo khác nhau. Các chuyển ñộng này
ñược mô tả bởi phương trình:

1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
( , , , )
( , , , )
( , , , )
x x X X X t
x x X X X t
x x X X X t
=
=
=





(4.1)
hay
1 2 3
( , , , ) ( , )
i i i i
x x X X X t x X t
= = ; i=1,2,3
trong ñó
i
x

(x
i
),
nghĩa là cần tìm X
i

:

1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
( , , , )
( , , , )
( , , , )
X X x x x t
X X x x x t
X X x x x t
=
=
=





(4.2)
hay
1 2 3
( , , , ) ( , )
i i i i

1 2 3
0
i
j
x x x
X X X
dx
x x x
J
dX X X X
x x x
X X X
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = ≠
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
(4.3)
Chuyển vị u
i
có thể biểu diễn theo hai cách:
Theo Lagrange:1 2 3
( , , , )
i i i i i
u x X x X X X t X

i
) - u
i
là hàm phụ thuộc x
i

Tổng quát, ñại lượng nghiên cứu A có thể ñược biểu diễn:

1 2 3
( , , , )
i i
A A X X X t
= (biến X
i
)

1 2 3
( , , , )
i i
A A x x x t
= (biến x
i
)
4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển ñộng
4.2.1. Đạo hàm vật chất:
Định nghĩa: Vận tốc thay ñổi theo thời gian t của một ñại lượng của phần tử vật chất gọi là ñạo
hàm vật chất của ñại lượng ñó.
Đại lượng nghiên cứu A → ñạo hàm vật chất
dt
dA

=

do quá trình chuyển ñộng, x
i
là toạ ñộ không gian →
i
x t
∈3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
x
A
v
x
A
v
x
A

∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
(4.6a)

∑
=
∂
∂
+
∂
∂
=
3
1i
i
i
x

∉
nên
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 1 3
1
1
, , ,
u X t u X t u X t
du
v
dt t t t
∂ ∂ ∂
= = + +
∂ ∂ ∂
(4.8)
(
)
j
,
i
i
i i
u X t
du
v u

)
(
)
(
)
, , , ,
i j i j i j i j
i k
i i k
k k
u x t u x t u x t u x t
du x
v u v
dt t x t t x
∂ ∂ ∂ ∂
∂
= = = + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
i
(3.11)
Cố ñịnh thời gian t: Sự phân bố vận tốc trong không gian - trường vận tốc
Cố ñịnh x
i
: Cho biết vận tốc của những phần tử khác nhau qua một ñiểm xác ñịnh.
4.2.3. Gia tốc
Là ñạo hàm theo thời gian của vec tơ vận tốc
v


Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

(
)
(
)
, , ,
i j i j i j
i k
k
dv x t v x t v x t
a v
dt t x
∂ ∂
= = +
∂ ∂
(4.14)
Ví dụ 3.1: Cho phương trình chuyển ñộng của môi trường liên tục
(
)
1 1 3
1
t t
x X e X e
= + −
;
(
)
2 2 3
t t
x X X e e
−

Các thành phần vận tốc xác ñịnh theo (3.9):
( )
1
1 1 3
t
u
v X X e
t
∂
= = +
∂

( )
2
2 3
t t
u
v X e e
t
−
∂
= = +
∂

3
3
0
u
v
t

∂

2
3
3
2
0
u
a
t
∂
= =
∂

+ Theo biến Euler
Định thức của Jacobiên:
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
0 1
det 0 1 0
0 0 1
t t
t t t
e e
J e e e
−
 
−
 

)
1 1 1 1 3
1 1
t t
u x X x e x e
− −
= − = − + −
(
)
2 2 2 3
t t
u x X x e e
−
= − = −
2 3 3
0
u x X
= − =

Các thành phần vận tốc xác ñịnh theo (3.11)
(
)
(
)
1 1 3 1 2 3
1 0. 1
t t t t
v x e x e e v v e v
− − − −
= + + − + + −

=

Các thành phần gia tốc chuyển ñộng xác ñịnh theo (3.13)
1 1 2 3 1 3
1. 0. 1.
a v v v x x
= + + = +

(
)
(
)
(
)
2 3 1 2 3 3
0. 0.
t t t t t t
a x e e v v e e v x e e
− − −
= − + + + − = −
3
0
a
=

Ví dụ 3.2:
Cho phương trình chuyển ñộng trong hệ tọa ñộ Lagrange

1 1
2 2 3

∂ ∂ ∂
= = = − ≠
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
=> Tồn tại hàm ngược => phương trình chuyển ñộng trong hệ toạ ñộ Euler

1 1
2 3
2
2
3 2
3
2
1
1
X x
x ax
X
a
x ax
X
a
=
−
=

2 2
2
3 23 2 3
3 3 3 3
2 2
0
1 1
1 1
u x X X X
x ax ax a x
u x X x
a a
x ax ax a x
u x X x
a a
= − = − =
− −
= − = − =
− −
− −
= − = − =
− −

Chú ý:
o Dạng chuyển vị trong hai hệ tọa ñộ là khác nhau.
o Có thể tìm chuyển vị trong hệ toạ ñộ Euler bằng phương pháp thay biến

2
3 2 3 2
2 3

321
=
=
=
XXX
Chuyển vị
iiiiii
XuxXxu
+
=
→
−
=622.1
002.0
511.4
2
333
2
222
2
111
=+=+=
=+=+=
=+=+=
Xux
Xux
Xux