ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————– * —————
NGUYỄN HOÀNG QUÂN
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————— * —————-
NGUYỄN HOÀNG QUÂN
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
1 Mở đầu về phương trình sai phân 4
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phương trình sai phân vô hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng . . . . . . . . 8
1.2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong R
k
. . . . . . . . . . . . . . . . 12

giải đối với một số lớp phương trình đơn giản, nghiên cứu các định tính của các phương
tr ình sai phân và cuối cùng là tìm một vài ứng dụng thông qua các mô hình cụ thể trong
thực tiễn. Luận văn được cấu trúc thành ba chương như sau:
Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình sai phân và một vài ứng
dụng trực tiếp.
Chương 2 trình bày tính ổn định của các phương trình sai phân, phương pháp nghiên
cứu tính ổn định.
Chương 3 Trình bày ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình sai phân để
nghiên cứu định tính của một vài mô hình dạng sai phân.
Luận văn này được thực hiện tại khoa Toán - Tin - Cơ học, trường Đại học Khoa học
Tự nhiên Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp
này tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng nhất tới PGS. về sự hướng
dẫn tận tình cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này, từ việc định
hình bản luận văn, hướng dẫn đọc tài liệu, ra đầu bài các ví dụ, kiểm tra kiến thức và
khuyến khích động viên tác giả khi gặp khó khăn trong nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán - Cơ
- Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo và các thầy cô, các đồng nghiệp trường
1
MỞ ĐẦU
THPT Mai Châu, Huyện Mai Châu, Tỉnh Hòa Bình - nơi tác giả đang công tác cũng như
gia đình, người thân và bạn bè đã luôn tạo điều kiện, động viên, khuyến khích tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu
sót. Tác giả kính mong sự rộng lượng tha thứ và xin tiếp thu mọi ý kiến góp ý từ các
Thầy, Cô và các Bạn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Nguyễn Hoàng Quân

Chương 1
Mở đầu về phương trình sai
phân
1.1 Các khái niệm cơ bản
Lưới Z và sai phân. Cho một điểm t
0
∈ R và một khoảng cách h : 0 < h < +∞. Tập
I = {t
0
+ nh : n = 0, ±1, ±2, }.
được gọi là một lưới thời gian rời rạc cách đều với bước lưới h > 0, bắt đầu từ thời điểm
t
0
∈ R. Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t
0
= 0 và coi h = 1 là một đơn vị thời gian thì tập I
trở thành tập các số nguyên Z
I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, } := Z.
Trường hợp riêng: với n = 0, 1, 2, ta có tập các số nguyên không âm:
I = {0, 1, 2,3, }:= Z
+
.
Kí hiệu:
R
+
= [0, +∞).
Z(n
0
) = {n
0

f (n) := ∆(∆
k−1
f (n)) =
k
∑
i=0
C
i
k
(−1)
i
f (n + k −i). (1.3)
Tính chất thường dùng của sai phân các cấp: (xem [3,6]):
1. ∆C = 0 (C là hằng số).
2. ∆
k
x
m
=



0 khi k > m
đa thức bậc m −k khi k ≤ m.
3. ∆
k
[αx(n) + β y(n)] = α∆
k
x(n) + β ∆
k

Từ Định nghĩa 1.1.1 về sai phân các cấp, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k có
thể đưa về dạng tương đương sau (không được khuyết x(n) và x(n + k)):
G(n, x(n + k), x(n + k −1), , x(n + 1), x(n)) = 0. (1.5)
Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng
chính tắc
x(n + k) = f (n, x(n + k −1), x(n + k −2), , x(n + 1), x(n)). (1.6)
Phương trình sai phân cấp k có dạng sau được gọi là phương trình tuyến tính cấp k
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = f (n). (1.7)
Nếu f (n) ≡0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = 0. (1.8)
Nếu các hệ số a
i
(n) đều không phụ thuộc vào n thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính thuần nhất hệ số hằng.
x(n + k)+ a
k−1
x(n + k −1) + ···+a
1

,C
2
, ,C
k
).
Với một bộ giá trị cụ thể C
0
1
,C
0
2
, ,C
0
k
, ta có một nghiệm riêng
x(n) = φ(n,C
0
1
,C
0
2
, ,C
0
k
).
Thông thường nghiệm riêng được xác định theo điều kiện ban đầu: Cho trước (n
0
, x
0
1

, , x(n
0
−k +1) = x
0
k
.
Một vài tính chất của tập nghiệm:
6
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
i) Nếu x
1
(n) và x
2
(n) là nghiệm riêng của (1.8) thì với mọi hằng số α, β có x (n) =
αx
1
(n) + β x
2
(n) cũng là một nghiệm riêng của (1.8).
ii) Nếu x
1
(n), x
2
(n), , x
k
(n) là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.8) thì nghiệm
tổng quát của (1.8) là
x(n) = C
1
x

0
(n)x(k) = f
1
(n),
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = f
2
(n),
thì x(n) = x
1
(n) + x
2
(n) là một nghiệm riêng của phương trình
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = f
1
(n) + f
2
(n).
Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc

0
, x(n
0
), x(n
0
−1), , x(n
0
−k +1))
= f(n
0
, x
0
1
, x
0
2
, , x
0
k
).
x(n
0
+ 2) = f (n
0
+ 1, x(n
0
+ 1), x(n
0
), , x(n
0

0
−k +3))
=
7
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Sau đây ta xét chi tiết một số lớp phương trình đơn giản.
1.2 Phương trình sai phân vô hướng.
Ta bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất: không gian trạng thái là R
1
còn dạng của phương
tr ình chỉ là tuyến tính.
1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng
Xét phương trình sai phân (xem [3,4])
x(n + k)+ a
k−1
x(n + k −1) + ···+a
1
x(n + 1) + a
0
x(n) = f (n). (1.9)
Phương trình thuần nhất tương ứng là:
x(n + k)+ a
k−1
x(n + k −1) + ···+a
1
x(n + 1) + a
0
x(n) = 0. (1.10)
Phương trình đặc trưng của hai phưong tr ình trên là
P(λ ) = λ

λ
n
k
, (C
1
,C
2
, ,C
k
là các hằng số tuỳ ý).
Nếu có λ
j
= α
j
±iβ
j
= r
j
(cosφ
j
±i sinφ
j
)(β
j
= 0) là nghiệm phức liên hợp đơn thì số
hạng c
j
λ
n
j

s−1
(n) = A
0
j
+ A
1
j
n + A
2
j
n
2
+ ···+ A
s−1
j
n
s−1
là đa thức tổng quát bậc s −1 của n.
Nếu λ
j
là nghiệm phức bội s thì ở (1.12) thay c
0
j
bởi P
s−1
(n) và c
1
j
bởi Q
s−1

riêng của phương trình (1.9) ở dạng
ˆx(n) = α
n
[R
h
(n)cosnβ + S
h
(n)sinnβ ]n
s−1
trong đó h = max{m, l} và R
h
(n), S
h
(n) là các đa thức bậc h, hệ số chưa xác định của n.
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Xét phương trình
x(n + 1) + a(n)x(n) = f (n).
Với phương trình này ta không có khái niệm phương trình đặc trưng. Việc tìm nghiệm
r iêng nói chung là khó. Vì thế người ta thường giải phương trình này bằng phương pháp
"biến thiên hằng số". Tất nhiên, phương pháp này cũng sử dụng được cho trường hợp hệ
số hằng.
Phương pháp biến thiên hằng số
Phương pháp này được tiến hành như sau. Giả sử a(n) = 0, ∀n ≥n
0
và a(n
0
−1) =
0. Bằng cách truy hồi liên tiếp từ n
0
x(n
0

hiện):
Ví dụ 1.2.3. Giải phương trình sai phân:
x(n + 1) −nx(n) = n!ln(n + 2).
Lời giải. Giải phương tr ình thuần nhất bằng công thức truy hồi:
x(n + 1) = nx(n) ⇔x (n) = (n −1)!x(0)
Đặt C = x(0), ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x(n) = C.(n −1)!
Tiếp theo, ở công thức nghiệm tổng quát này coi C = C(n), ta có:
x(n) = C(n).(n −1)! và x(n + 1) = C(n + 1).n!
Thay chúng vào phương trình không thuần nhất, ta có:
n!C(n + 1) −nC(n)(n −1)! = n!ln(n + 2) ⇔C(n + 1) −C(n) = ln(n + 2)
⇔ ∆C(n) = ln(n + 2).
Sử dụng tính chất 4) của sai phân cấp một, ta có
C(n)−C(0) =
n−1
∑
i=0
∆C(i) =
n−1
∑
i=0
ln(i + 2) = ln[(n + 1)!]
Đặt C(0) = D, ta được C(n) = D + ln[(n + 1)!].
Thay lại vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta được nghiệm tổng quát
của phương tr ình không thuần nhất là
x(n) = (D +ln[(n + 1)!])(n −1)!
Ví dụ 1.2.4. Giải phương trình:
x(n + 1) −9
n
x(n) = 3

nπ
2
.
D = C(0) và áp dụng tính chất 4) của sai phân, ta có:
C(n) = D + 3
n−1
∑
i=0
cos
iπ
2
= D +
2 +
√
2
2

sin
(2n −1)π
4
−
1
√
2

.
Thay lại vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta có nghiệm tổng quát của
phương trình không thần nhất là:
x(n) = [D +
2 +

2
.(−3)
n
.
Do 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng của
phương trình không thuần nhất ở dạng:
ˆy(n) = A.3
n
Khi đó: ˆy(n + 1) = 3A.3
n
; ˆy(n + 2) = 9A.3
n
.
Thay ˆy(n); ˆy(n +1); ˆy(n + 2) vào phương trình không thuần nhất, ta có:
9A.3
n
+ 3A.3
n
−6A.3
n
= 4.3
(n+1)
.
Từ đây, so sánh các hệ số của 3
n
, ta được: A = 2 ⇒ ˆy(n) = 2.3
n
.
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đã cho là
y(n) = ¯y(n) + ˆy(n) = C

±i sin
π
2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
¯x(n) = C
1
cos
nπ
2
+C
2
sin
nπ
2
Ta tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng:
ˆx(n) = A.ncos
nπ
2
+ B.n sin
nπ
2
Khi đó:
ˆx(n +2) = A.(n + 2)cos(
nπ
2
+ π) + B.(n + 2)sin(
nπ
2
+ π)

nπ
2
+C
2
sin
nπ
2
−3n cos
nπ
2
+ 2n sin
nπ
2
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong R
k
Ở mục trên ta đã có cách giải phương trình sai phân vô hướng tuyến tính cấp k
cho một số trường hợp cá biệt. Cách giải này không thể áp dụng cho phương trình cấp k
nói chung. Trong nhiều trường hợp, người ta thường tìm cách đưa về một phương trình
12
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
tuyến tính cấp một trong không gian mới có số chiều lớn hơn. Dưới đây là cách đổi biến
để đưa một phương trình sai phân cấp k trong R
1
về một phương tr ình sai phân cấp một
trong R
k
.
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k dạng chính tắc:
x(n + k) =
a

y
1
(n) = x(n)
y
2
(n) = x(n + 1) = y
1
(n + 1)

y
k−1
(n) = x(n + k −2) = y
k−2
(n + 1)
y
k
(n) = x(n + k −1) = y
k−1
(n + 1).
Khi đó, ta có một hệ các phương tr ình sai phân cấp một:











4
(n)

y
k−1
(n + 1) = y
k
(n)
y
k
(n + 1) = a
0
y
1
(n) + a
1
y
2
(n) + ···+ a
k−2
y
k−1
(n) + a
k−1
y
k
(n) + f (n).
Đặt A =








y
1
(n)
y
2
(n)
.
.
.
y
k
(n)






và F(n) =







(hoặc
trong không gian tổng quát X). Xét phương trình sau với x ∈R
k
(hoặc x ∈ X):
x(n + 1) = A(n)x(n) + f (n). (1.15)
13
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Phương trình thuần nhất tương ứng của nó là:
x(n + 1) = A(n)x(n). (1.16)
1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất.
Đầu tiên, ta tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1.16).
Cho một cặp (n
0
, x
0
) ∈ Z ×R
k
tùy ý. Nghiệm của (1.16) với điều kiện ban đầu (n
0
, x
0
)
được xác định như sau (xem [6]):








+ 2) = A(n
0
+ 1)A(n
0
)x
0

x(n) = A(n −1)A(n −2)···A(n
0
)x
0
.
Đặt Φ(n, n
0
) = A(n −1)A(n −2)···A(n
0
+ 1)A(n
0
) =
n−1
∏
i=n
0
A(i)
và C = x(n
0
) là véc tơ hằng tùy ý. Khi đó, ta có
x(n) = Φ(n, n
0
)C. (1.17)

x(n) = Φ(n, n
0
)C(n) ⇒x(n +1) = Φ(n + 1, n
0
)C(n + 1).
Thay x(n), x(n + 1) vào (1.15), ta được
Φ(n + 1, n
0
)C(n + 1) = A(n)Φ(n,n
0
)C(n) + f (n)
⇔ Φ(n +1, n
0
)C(n + 1) = Φ(n +1, n
0
)C(n) + f (n)
⇔C(n + 1) −C(n) = Φ
−1
(n + 1, n
0
) f (n).
(1.20)
Từ (1.20), ta có:








0
) f (n
0
+ 1)

C(n)−C(n −1) = Φ
−1
(n, n
0
) f (n −1).
Lấy C = C(n
0
), khi đó ta có
C(n) = C +
n−n
0
∑
i=1
Φ
−1
(n
0
+ i, n
0
) f (n
0
+ i −1). (1.21)
Thay (1.21) vào (1.17), ta có nghiệm tổng quát của (1.15) là
x(n) = Φ(n, n
0

= 0 thì
x(n) = Φ(n, 0)C +
n
∑
i=1
Φ(n, i) f (i −1).
15
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
2) Nếu A là ma trận hằng và n
0
= 0 thì
x(n) = A
n
C +
n
∑
i=1
A
n−i
f (i −1).
Hay
x(n) = A
n
C +
n−1
∑
i=0
A
n−i−1
f (i).

1
(n + 1) =
√
2
2
x
1
(n) +
√
2
2
x
3
(n) (x
i
∈ R
1
)
x
2
(n + 1) = 9
k
x
2
(n)
x
3
(n + 1) = −
√
2







√
2
2
0
√
2
2
0 0
0 9
k
0 0 0
−
√
2
2
0
√
2
2
0 0
0 0 0 2 6
0 0 0 0 2










cos
π
4
0 sin
π
4
0 0
0 9
k
0 0 0
−sin
π
4
0 cos
π
4
0 0
0 0 0 2 6
0 0 0 0 2














cosn
π
4
0 sin
nπ
4
0 0
0 3
n
2
−n
0 0 0
−sin
nπ
4
0 cos
nπ
4
0 0
0 0 0 2
n





















x
1
(n) = C
1
cos
nπ
4
+C
3
sin

2
n
x
5
(n) = C
5
2
n
.
1.3.3 Các véc tơ riêng và công thức nghiệm
Xét phương trình
X(n + 1) = AX(n), X(n) ∈ R
k
.
Ta đã biết nghiệm của phương tr ình này với điều kiện ban đầu (0, X(0)) là X(n) =
A
n
X(0). Do việc tính lũy thừa A
n
là khó nên ta thường tìm cách tránh việc tính toán này
bằng các cách khác. Trong trường hợp nếu biết các giá trị riêng của ma trận hằng số A,
ta có thể giải như sau:
Định lý 1.3.2. Giả sử ma trận hằng số A có các giá trị riêng là λ
1
, λ
2
, , λ
p
ứng với
đúng p véc tơ riêng độc lập tuyến tính là v

Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình: X(n + 1) = AX(n), trong đó
A =



1 −3 3
3 −5 3
6 −6 3



Lời giải. Phương trình đặc trưng:
det (A −λE) = 0 ⇔



λ = λ
1
= −2
λ = λ
2
= −2
λ = λ
3
= 3.
+) Với λ = λ
1
= −2, tìm được hai véc tơ riêng là v
1


3
3
5



Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
X(n) = C
1



1
1
0



(−2)
n
+C
2



1
0
−1







x
1
(n) = C
1
(−2)
n
+C
2
(−2)
n
+ 3C
3
3
n
x
2
(n) = C
1
(−2)
n
+ 3C
3
3
n
x

tuyến tính. Phương pháp thứ hai dựa vào một loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm
Lyapunov ([1,2,6,10]). Ngoài hai phương pháp cơ bản này, gần đây nhiều nhà nghiên
cứu đề cập đến các cách nghiên cứu khác. Một trong các cách như vậy là dựa vào các bất
đẳng thức đặc thù như bất đẳng thức Gronwall ([6,8]), bất đẳng thức Halanay ([4,5,7]).
Trong chương này chúng tôi chủ yếu tập trung cho phương pháp nghiên cứu tính ổn định
thông qua các bất đẳng thức sai phân Halanay. Bất đẳng thức này đã được Halanay đưa
ra cho trường hợp thời gian liên tục và gần đây được nhiều tác giả chuyển qua trường
hợp thời gian rời rạc.
Nhắc lại rằng ta đang làm việc trên tập thời gian Z hoặc Z
+
.
Như đã nói ở trên, mọi phương trình cấp cao đều có thể đưa về phương trình cấp một
19
Chương 2. Tính ổn định của các phương trình sai phân.
trong không gian có số chiều lớn hơn. Vậy, không mất tính tổng quát, ta chỉ phát biểu
các khái niệm và mệnh đề cho phương trình cấp một. Xét phương trình sai phân dạng
chính tắc trong R
p
:
x(n + 1) = f (n, x(n)), (2.1)
f (n, 0) = 0 với mọi n ∈ Z(n
0
) := {n
0
, n
0
+ 1, n
0
+ 2, }. (2.2)
Điều kiện (2.2) đảm bảo để hệ (2.1) có nghiệm tầm thường x ≡0.

x(n) = 0 thì nói nghiệm tầm thường
này là ổn định tiệm cận.
Với n
0
∈Z
+
, nếu tồn tại các số dương N, α và tập D
n
0
⊆R
k
sao cho khi x(n
0
) ∈ D
n
0
sẽ kéo theo x(n)≤ Ne
−α(n−n
0
)
với mọi n ≥n
0
, thì ta nói nghiệm tầm thường là ổn định
mũ. Tập D
n
0
rộng nhất có tính chất trên gọi là miền hút tại n
0
của nghiệm tầm thường.
Nếu các số δ

(0).
Phương pháp hàm Lyapunov. Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định dựa vào
một loại hàm bổ trợ, gọi là hàm Lyapunov. Hầu hết các dấu hiệu ổn định chỉ được phát
biểu dưới dạng các điều kiện đủ. Trong một vài trường hợp đặc biệt cũng có thể có được
cả điều kiện cần, nghĩa là có thể xây dựng được hàm Lyapunov cho hệ. Trước tiên ta ký
hiệu một lớp hàm số trong R
+
như sau (gọi là lớp hàm Hahn):
K = {a(·) : R
+
→ R
+
sao cho a(0) = 0, liên tục, đơn điệu tăng}.
Định lý 2.1.3. Xét hệ sai phân trong R
k
:
x
n+1
= f(n, x
n
) (2.4)
f (n, 0) = 0, với mọi n. (2.5)
Nếu tồn tại hàm V : Z
+
×R
k
→ R
+
, sao cho
1)

n
) (2.9)
thì x
n
≡ 0 là ổn định tiệm cận.
21
Chương 2. Tính ổn định của các phương trình sai phân.
2.2 Phương pháp bất đẳng thức trong nghiên cứu
các định tính.
2.2.1 Bất đẳng thức Halanay.
Phần này tr ình bày phiên bản kiểu rời rạc của bất đẳng thức Halanay và cách áp dụng
để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của phương tr ình sai phân dạng tổng quát.
Xét phương trình sai phân:
∆x
n
= f(n, x
n
, x
n−1
, , x
n−r
) n ∈ Z, (2.10)
trong đó ∆x
n
= x
n+1
−x
n
, và f : Z ×R
r+1

n
}
n≥−r
là hai dãy số thực
thỏa mãn:
x
n+1
≤ Ax
n
+ B max{x
n
;x
n−1
;x
n−2
; ; x
n−r
},
y
n+1
= Ay
n
+ B max{y
n
;y
n−1
;y
n−2
; ; y
n−r

k−1
, , x
k−r
}
y
k+1
= Ay
k
+ B max{y
k
, y
k−1
, , y
k−r
}.
Mặt khác, do giả thiết quy nạp x
i
≤ y
i
, ∀i ≤k và A > 0;B > 0 nên ta có:
x
k+1
≤ Ax
k
+ B max{x
k
, , x
k−r
} ≤Ay
k