ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Thị Huyền Thanh
TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Thị Huyền Thanh
TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Huy Tiễn
Hà Nội - 2012
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Toán tử unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Phương pháp trực giao hóa Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 Bổ đề Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 5
2.1 Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

hạn chiều, giá trị riêng được dùng để nghiên cứu tính ổn định. Một kết quả
chúng ta đã biết cho trường hợp này là:
Định lý 0.0.1. Phương trình vi phân ôtônôm thuần nhất v

= Av, v ∈ R
n
ổn
định nếu và chỉ nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A đều có phần thực
không dương, và các giá trị riêng có phần thực bằng 0 đều có ước cơ bản đơn.
Nó là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận A
đều có phần thực âm.
Còn trong trường hợp phương trình vi phân không ôtônôm thuần nhất v

=
A(t)v, số mũ Lyapunov được dùng để nghiên cứu tính ổn định. Chúng ta cũng
đã biết điều kiện đủ của tính ổn định nghiệm của phương trình này như sau:
Định lý 0.0.2. Phương trình v

= A(t)v ổn định tiệm cận khi số mũ Lyapunov
lớn nhất của nó là âm.
Trong trường hợp phương trình ôtônôm hữu hạn chiều, với giả thiết thích hợp,
một nguyên lý cơ bản là từ sự ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất
Lời nói đầu v
v

= Av sẽ kéo theo sự ổn định nghiệm của phương trình nửa tuyến tính với
nhiễu nhỏ v

= Av+f(v). Còn trong trường hợp không ôtônôm, điều này không
đúng nữa. Vậy bài toán đặt ra là với điều kiện nào thì phương trình vi phân

Hà nội, ngày 22 tháng 05 năm 2012
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Hilbert
Không gian đủ: Không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ
tới một phần tử của X được gọi là một không gian metric đủ. (Dãy {x
n
} ⊂ X
là dãy cơ bản nếu lim
n,m→+∞
||x
n
− x
m
|| = 0).
Không gian tiền Hilbert: Không gian vectơ thực X được gọi là không gian
tiền Hilbert, nếu trong đó xác định một hàm hai biến x, y gọi là tích vô hướng
của hai vectơ x và y thỏa mãn các tính chất sau:
(i) tính đối xứng: x, y = y, x;
(ii) song tuyến tính: αx + βy, z = α x, z + β y, z với mọi α, β ∈ R;
(iii) thuần nhất dương: x, x > 0 nếu x = 0 và x, x = 0 nếu x = 0.
Không gian Hilbert H là không gian tiền Hilbert, đầy đủ, trong đó khoảng
cách giữa các phần tử x, y ∈ H được xác định bởi ||x − y|| =

x − y, x − y .
1.2 Toán tử liên hợp
Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H. Do (Ax, y)
là phiếm hàm song tuyến tính liên tục nên tồn tại duy nhất một toán tử tuyến
tính liên tục A
∗

(iv) (AB)
∗
= B
∗
A
∗
.
1.3 Toán tử unita
Cho H là không gian Hilbert. Toán tử unita là toán tử tuyến tính bị chặn
U : H → H thỏa mãn U
∗
U = UU
∗
= I, trong đó U
∗
là toán tử liên hợp của U
và I : H → H là toán tử đồng nhất.
Toán tử unita U có các tính chất sau:
(i) U bảo toàn tích vô hướng của không gian Hilbert H;
(ii) U là toàn ánh;
(iii) Miền giá trị của U là trù mật và nghịch đảo U
−1
của nó là bị chặn,
U
−1
= U
∗
.
1.4 Nguyên lý điểm bất động
Cho X là không gian định chuẩn đầy đủ. Ánh xạ f : X → X được gọi là

} không chứa vectơ
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3
θ, trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ của hệ {v
1
, . . . , v
n
} biểu diễn
tuyến tính qua hệ {u
1
, . . . , u
n
}.
b) Xét không gian Hilbert H:
Hệ {u
n
} các phần tử của không gian Hilbert H được gọi là hệ trực giao nếu
u
i
, u
j
 = 0 với mọi i = j.
Cho hệ {u
n
} các phần tử của không gian Hilbert H sao cho với mọi n hệ
{u
1
, . . . , u
n
} độc lập tuyến tính. Khi đó tồn tại một hệ trực giao {v
n


s
µ(τ)dτ
ds.
Nếu λ(t) = λ là một hằng số thì
y(t) ≤ λe
t

a
µ(s)ds
.
1.7 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Xét phương trình vi phân tuyến tính sau
v

= A(t)v + f(t, v), f(t, 0) = 0 (1.1)
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4
1. Nghiệm u = u(t), a < t < ∞ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định
theo Lyapunov (hay ngắn gọn là ổn định) nếu với mọi  > 0 và t
0
∈ (a, ∞),
tồn tại số δ = δ(, t
0
) > 0 sao cho:
(i) Tất cả các nghiệm v = v(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện
||v(t
0
) − u(t
0
)|| < δ thì xác định trong khoảng t

(t
0
≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện ||v(t
0
) − u(t
0
)|| < ∆ sẽ có tính chất
lim
t→∞
||v(t) − u(t)|| = 0.
Trường hợp đặc biệt, nghiệm không u(t) = 0 ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định
và
lim
t→∞
v(t) = 0 khi ||v(t
0
)|| < ∆.
4. Nghiệm u(t) = 0 được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số γ > 0 sao cho với
mọi t
0
, tồn tại số N = N(t
0
) mà ||v(t)|| ≤ Ne
−γ(t−t
0
)
, trong đó v(t) là nghiệm
với điều kiện ban đầu ||v(t
0
)|| đủ bé.

+
||A(t)|| = 0 (2.2)
((log)
+
x = max{0, log x}),
trong đó ||A(t)|| là chuẩn của toán tử. Theo bổ đề Gronwall, bài toán (2.1) có
nghiệm duy nhất và nghiệm duy nhất này là toàn cục.
Định nghĩa 2.1.1. Số mũ Lyapunov λ : R
n
→ R ∪ {−∞} của phương trình
(2.1) được định nghĩa như sau
λ(v
0
) = lim
t→+∞
1
t
log ||v(t)||, (2.3)
trong đó v(t) là nghiệm của (2.1) (ta quy ước log 0 = −∞)
Chương 2. Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 6
Mệnh đề 2.1.1. (xem [1], trang 320) Số mũ Lyapunov có các tính chất sau
đây
(i) λ(αv) = λ(v) với mọi v ∈ R
n
và α ∈ R\{0};
(ii) λ(v + w) ≤ max{λ(v), λ(w)} với mọi v, w ∈ R
n
;
(iii) Nếu với v
1

: λ(v
0
) ≤ λ
i
} (2.5)
là không gian tuyến tính và ta luôn có λ(v
0
) > λ
i
với mọi v
0
∈ R
n
\E
i
.
2.2 Tính chính quy
Trước khi định nghĩa tính chính quy Lyapunov của phương trình (2.1),
chúng ta xét bài toán liên hợp của (2.1) là
w

= −A(t)
∗
w, w(0) = w
0
, (2.6)
với w
0
∈ R
n

: µ(w
0
) ≤ µ
i
} (2.9)
là không gian tuyến tính.
Chương 2. Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 7
Định nghĩa 2.2.1. Hai cơ sở v
1
, . . . , v
n
và w
1
, . . . , w
n
của R
n
được gọi là đối
ngẫu nếu v
i
, w
j
 = δ
ij
với mọi i, j trong đó δ
ij
là kí hiệu Kronecker và ., . là
tích vô hướng trong R
n
.

sở đối ngẫu của R
n
thì λ(v
i
) + µ(w
j
) ≥ 0 với mọi i = 1, . . . , n.
Từ tính chất trên và theo định nghĩa hệ số chính quy chúng ta nhận thấy
γ(λ, µ) ≥ 0.
Định nghĩa 2.2.3. Phương trình (2.1) là chính quy (Lyapunov) nếu γ(λ, µ) =
0.
Định lý 2.2.1. (xem [7], trang 226) Hệ số chính quy thỏa mãn đánh giá sau:
γ(λ, µ) ≥
1
n


lim
t→+∞
1
t
t

0
trA(τ)dτ − lim
t→+∞
1
t
t


trong đó a
k
(τ) là các phần tử trên đường chéo chính của A(t).
Chương 2. Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 8
2.3 Cách đưa bài toán về trường hợp tam giác trên
Khi A(t) là ma trận tam giác trên (tổng quát hơn là ma trận tam giác),
chúng ta sẽ có các đánh giá về cận trên của hệ số chính quy. Không mất tổng
quát, qua kết quả của định lý dưới đây, chúng ta luôn có thể giả sử A(t) trong
bài toán (2.1) có dạng tam giác trên (với mọi t) đối với cơ sở chính tắc e
1
, . . . , e
n
của R
n
.
Định lý 2.3.1. Giả sử A : R
0
+
→ M
n
(R) là hàm liên tục. Khi đó luôn tồn tại
hàm liên tục B : R
0
+
→ M
n
(R) và U : R
0
+
→ M

n
(t) (trong đó v
i
(t) là nghiệm của (2.1) với v
0
= e
i
) về hệ
u
1
(t), . . . , u
n
(t) sao cho:
1. u
i
(t), u
j
(t) = δ
ij
với mọi i và j;
2. Mỗi hàm u
k
(t) là một tổ hợp tuyến tính của v
1
(t), . . . , v
k
(t).
Do mỗi v
k
(t) là một tổ hợp tuyến tính của u


(t)x(t) + U(t)x

(t) = A(t)v(t) = A(t)U(t)x(t), (2.15)
và vì vậy x

(t) = B(t)x(t) với B(t) được xác định như trong (3.14).
Với t ≥ 0 cho trước, giả sử V (t) là toán tử thỏa mãn V (t)e
i
= v
i
(t) với mọi
i, và đặt X(t) = U(t)
−1
V (t). Do U(t) là toán tử unita nên từ (2.14) chúng ta
suy ra
0 = v
i
(t), u
j
(t) = V (t)e
i
, U(t)e
j
 = X(t)e
i
, e
j
 với mọi i < j. (2.16)
Do đó X(t) là ma trận tam giác trên. Tương tự, chúng ta cũng có X

)U(t) −
d
dt
(U(t)
∗
U(t))
= U(t)
∗
(A(t) + A(t)
∗
)U(t). (2.17)
Với mọi i, j = 1, . . . , n và t ≥ 0, chúng ta đặt b
ij
(t) = B(t)e
i
, e
j
 và
∼
a
ij
(t) =
A(t)u
i
(t), u
j
(t). Vì B(t) có dạng tam giác trên, nên từ (2.17), chúng ta suy
ra
b
ii






n

j=1
Au
i
(t), u
j
(t) u
j
(t)





=

n

j=1
∼
a
ji
(t)
2

B(t)v
2
=





n

i=1
n

j=1
α
i
B(t)e
i
, e
j
 e
j





2
=
n

2

≤
n

j=1
n

i=j
b
ij
(t)
2
≤ 4n
2
A(t)
2
Do đó, chúng ta có ||B(t)|| ≤ 2n||A(t)||. Sử dụng bất đẳng thức này, chúng ta
cũng dễ dàng suy ra (2.13) từ (2.2). 
Từ kết quả của Định lý 2.3.1, chúng ta nhận thấy việc nghiên cứu tính chính
quy Lyapunov của bài toán (2.1) được quy về việc nghiên cứu tính chính quy
của bài toán (2.12). Điều đó được thể hiện trong định lý dưới đây.
Định lý 2.3.2. Phương trình v

= A(t)v là chính quy Lyapunov khi và chỉ khi
phương trình x

= B(t)x là chính quy Lyapunov.
Chứng minh. Theo Định lý 2.3.1, bài toán (2.1) tương đương với bài toán
(2.12), trong đó nghiệm v(t) của (2.1) và nghiệm x(t) của (2.12) liên hệ với

∗
U(t)
−1
]U(t)y(t)
= [−A(t)
∗
+ U

(t)U(t)
−1
+ U(t)U

(t)
∗
]U(t)y(t)
= [−A(t)
∗
+
d
dt
(U(t)U(t)
∗
)]U(t)y(t)
Chương 2. Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 11
= [−A(t)
∗
+
d
dt
(U(t)U(t)

R
n
.
Định nghĩa 2.4.1. Cơ sở v
1
, . . . , v
n
của R
n
được gọi là chuẩn tắc đối với lọc
gồm các không gian con E
1
⊂ E
2
⊂ . . . ⊂ E
p
= R
n
, nếu với mọi i = 1, . . . , p
luôn tồn tại một cơ sở của E
i
gồm các vectơ trong {v
1
, . . . , v
n
}. Khi cơ sở
v
1
, . . . , v
n

Mệnh đề 2.4.1. (xem [7], trang 236) Luôn tồn tại các cơ sở chuẩn tắc đối
ngẫu v
1
, . . . , v
n
và w
1
, . . . , w
n
của R
n
.
Hệ số Perron được định nghĩa qua các giá trị λ

i
và µ

i
. Trong đó, λ

1
≤ · · · ≤
λ

n
là các giá trị của số mũ λ trên R
n
\{0}, được tạo thành bằng cách lặp lại
mỗi giá trị λ
i

+ µ

i
: 1 ≤ i ≤ n}.
Mối quan hệ giữa hệ số Perron và hệ số chính quy được thể hiện qua định
lý sau
Định lý 2.4.1. (xem [7], trang 237) 0 ≤ π(λ, µ) ≤ γ(λ, µ) ≤ nπ(λ, µ).
Sử dụng Định lý 2.4.1, chúng ta thấy rằng ngoài cách dùng hệ số chính quy,
chúng ta còn có thể dùng hệ số Perron để xét tính chính quy của (2.1). Điều
đó được thể hiện qua định lý dưới đây.
Định lý 2.4.2. (xem [7], trang 238) Các tính chất sau là tương đương
(i) γ(λ, µ) = 0;
(ii) π(λ, µ) = 0;
(iii) Với cặp cơ sở chuẩn tắc đối ngẫu v
1
, . . . , v
n
và w
1
, . . . , w
n
của R
n
ta có
λ(v
i
) + µ(w
i
) = 0 (2.22)
với mọi i = 1, . . . , n;

với k
ij
= v
i
, v
j
 với mọi i và j, là thể tích của hình hộp
được tạo bởi các vectơ v
1
, . . . , v
n
.
Định lý 2.4.3. Các tính chất sau là tương đương
(i) γ(λ, µ) = 0;
(ii) lim
t→+∞
1
t
t

0
trA(τ)dτ =
p

i=1
(dim E
i
− dim E
i−1
)λ

1
t
t

0
trA(τ)dτ = lim
t→+∞
1
t
t

0
trA(τ)dτ,
và do đó tồn tại giới hạn trong (2.23). Mặt khác, theo Mệnh đề 2.4.1 và Định
lý 2.4.2, ta thấy luôn tồn tại cơ sở chuẩn tắc đối ngẫu v
1
, . . . , v
n
và w
1
, . . . , w
n
của R
n
sao cho (2.22) đúng.
Với mỗi i, ta giả sử v
i
(t) là nghiệm của (2.1) với v
0
= v


0
trA(τ)dτ ≤
n

i=1
λ(v
i
). (2.25)
Chương 2. Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 14
Tương tự, với mỗi i ta giả sử w
i
(t) là nghiệm của (2.6) với w
0
= w
i
, chúng ta
cũng có
lim
t→+∞
1
t
t

0
trA(τ)dτ = − lim
t→+∞
1
t
t

i
).
Mặt khác theo (2.22), chúng ta nhận thấy
n

i=1
µ(w
i
) = −
n

i=1
λ(v
i
) nên
lim
t→+∞
1
t
t

0
trA(τ)dτ =
n

i=1
λ(v
i
) =
n

j
 = U(t)v
i
, U(t)v
j
 = u
i
(t), u
j
(t) = δ
ij
.
Đặt x
i
(t) = U(t)
−1
v
i
(t) với i = 1, . . . , n. Lập luận tương tự như (2.16), chúng
ta nhận thấy ma trận X(t) với X(t)v
1
= x
1
(t), . . . , X(t)v
n
= x
n
(t) là ma trận
tam giác trên. Do U(t) là toán tử unita nên
v

ii
(t) = x
i
(t), v
i
 với mọi i. Giả sử (ii) đúng. Chúng ta có
e
t

0
trA(τ)dτ
=
Γ(v
1
(t), . . . , v
n
(t))
Γ(v
1
, . . . , v
n
)
.
Chú ý rằng λ(x
ij
) = lim
t→+∞
1
t
log |x

ii
). (2.28)
Mặt khác, theo (2.27),
lim
t→+∞
log Γ(v
1
(t), . . . , v
n
(t)) = lim
t→+∞
1
t
n

i=1
log |x
ii
(t)| ≤
n

i=1
λ(x
ii
). (2.29)
Từ (2.28) và (2.29) chúng ta suy ra
lim
t→+∞
1
t

t→+∞
1
t
log |x
ii
(t)| = c
i
thì với i = j nào đó, chúng ta chọn một dãy con k
m
sao cho
1
k
m
log |x
jj
(k
m
)| → c
j
khi m → +∞, ta có
lim
t→+∞
1
t
n

i=1
log |x
ii
(t)| = lim

i=j
c
i
=
n

i=1
c
i
Từ đây và (2.27), chúng ta suy ra với mọi m ≤ n
lim
t→+∞
1
t
log Γ(v
1
(t), . . . , v
m
(t)) =
m

i=1
lim
t→+∞
1
t
log |x
ii
(t)|.
Chương 2. Tính chính quy Lyapunov trong không gian hữu hạn chiều 16

1
t
log Γ(v
1
(t), . . . , v
m
(t)).
Vì vậy giới hạn
lim
t→+∞
1
t
t

0
b
mm
(s)ds = lim
t→+∞
1
t
log
Γ(v
1
(t), . . . , v
m
(t))
Γ(v
1
(t), . . . , v

((log)
+
x = max{0, log x})
Theo bổ đề Gronwall, bài toán (3.1) có nghiệm duy nhất và nghiệm này là
nghiệm toàn cục.
Định nghĩa 3.1.1. Số mũ Lyapunov λ : H → R ∪ {−∞} của phương trình
(3.1) được định nghĩa như sau
λ(v
0
) = lim
t→+∞
1
t
log ||v(t)||, (3.3)
trong đó v(t) là nghiệm của (3.1) (ta quy ước log 0 = −∞)
Chương 3. Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 18
Nhận xét. Chúng ta cố định một dãy các không gian con H
1
⊂ H
2
⊂ · · · sao
cho dim H
n
= n với mọi n ∈ N, và
∪
i
H
i
= H. Do H
n

≤ · · · ≤ λ

n,n
(3.6)
của số mũ Lyapunov λ trên H
n
\{0} được tạo thành bằng cách lặp lại mỗi giá
trị λ
i,n
với số lần bằng dim E
i,n
− dim E
i−1,n
(trong đó E
0,n
= {0}).
3.2 Tính chính quy
Tương tự như trong không gian R
n
, trước khi định nghĩa tính chính quy,
chúng ta xét bài toán liên hợp với (3.1)
w

= −A(t)
∗
w, w(0) = w
0
, (3.7)
với w
0

= {w ∈ H
n
: µ(w) ≤ µ
i,n
} (3.10)
Chương 3. Tính chính quy Lyapunov trong không gian Hilbert 19
là không gian con tuyến tính của H
n
. Tương tự, chúng ta cũng xét các giá trị
µ

1,n
≥ · · · ≥ µ

n,n
(3.11)
của số mũ µ trên H
n
\{0} được tạo thành bằng cách lặp lại mỗi giá trị µ
i,n
với
số lần bằng dim F
i,n
− dim F
i+1,n
(trong đó F
n+1,n
= {0}).
Trong chương này, chúng ta luôn giả sử rằng các số mũ λ và µ chỉ nhận một
số hữu hạn các giá trị trong

và w
1
, . . . , w
n
của không gian H
n
.
Áp dụng Mệnh đề 2.2.1 cho các số mũ λ và µ hạn chế trên không gian vectơ
hữu hạn chiều H
n
, chúng ta nhận thấy γ
n
(λ, µ) ≥ 0. Do đó, chúng ta suy ra
γ(λ, µ) ≥ 0.
Định nghĩa 3.2.2. Phương trình (3.1) được gọi là chính quy (Lyapunov) nếu
γ(λ, µ) = 0.
3.3 Cách đưa bài toán về trường hợp tam giác trên
Chúng ta cố định một cơ sở trực giao của H gồm các vectơ u
1
, u
2
, . . . sao
cho H
n
= span{u
1
, . . . , u
n
} với mọi n. Chúng ta luôn đưa được một toán tử
A(t) tổng quát (trong (3.1)) về dạng tam giác trên (với mọi t ≥ 0) đối với cơ