Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO

1

I: KIN THC.
* Con lc lò xo
+ Con lc lò xo gm mt lò xo có  cng k, khi lng không áng k, mt u gn c nh,
u kia gn vi vt nng khi lng m c t theo phng ngang hoc treo thng ng.
+ Con lc lò xo là mt h dao ng iu hòa.
+ Phng trình dao ng: x = Acos(ωt + ϕ).
+ Vi: ω =
m
k

+ Chu kì dao ng ca con lc lò xo: T = 2π
k
m
.
+ Lc gây ra dao ng iu hòa luôn luôn hng v v trí cân bng và c gi là lc kéo v
hay lc hi phc. Lc kéo v có  ln t l vi li  và là lc gây ra gia tc cho vt dao ng
iu hòa.
Biu thc i s ca lc kéo v: F = - kx.
Lc kéo v ca con lc lò xo không ph thuc vào khi lng vt.
* Nng lng ca con lc lò xo

2
(ωt + ϕ)
ng nng và th nng ca vt dao ng iu hòa bin thiên vi tn s góc ω’=2ω, tn s
f’=2f và chu kì T’=
2
T
.
+ C nng: W = W
t
+ W

=
2
1
k A
2
=
2
1
mω
2
A
2
= hng s.
C nng ca con lc t l vi bình phng biên  dao ng.
C nng ca con lc lò xo không ph thuc vào khi lng vt.
C nng ca con lc c bo toàn nu b qua mi ma sát.

MT S CÔNG THC VÀ CHÚ Ý


W
2 2
m A kA
ω
= =
Lu ý: + C nng ca vt dao ng iu hoà luôn t l thun vi bình phng biên 
+ C nng ca con lc n t l thun vi  cng ca lò xo, không ph thuc vào
khi lng vt.
3.  bin dng ca lò xo thng ng khi vt VTCB:
CH  2: CON LC LÒ XO

k m k

sin
mg
l
k
α
∆ =

2
sin
l
T
g
π
α
∆
=

+ Chiu dài lò xo ti VTCB: l
CB
= l
0
+ ∆l (l
0
là chiu dài
t nhiên)
+ Chiu dài cc tiu (khi vt v trí cao nh∀t): l
Min
= l
0
+

* Luôn hng v VTCB
* Bin thiên iu hoà cùng tn s vi li 
Lu ý: Lc kéo v ca con lc lò xo t l thun vi 
cng ca lò xo, không ph thuc khi lng vt.
5. Lc àn hi là lc a vt v v trí lò xo không bin dng.
Có  ln F
h
= kx
*
(x
*
là  bin dng ca lò xo)
* Vi con lc lò xo nm ngang thì lc kéo v và lc àn
hi là mt (vì ti VTCB lò xo không bin dng)
* Vi con lc lò xo thng ng hoc t trên mt phng
nghiêng
+  ln lc àn hi có biu thc:
* F
h
= k|∆l + x| vi chiu dng hng xung
* F
h
= k|∆l - x| vi chiu dng hng lên
+ Lc àn hi cc i (lc kéo): F
Max
= k(∆l + A) = F
Kmax
(lúc vt v trí th∀p nh∀t)
+ Lc àn hi cc tiu:
* Nu A < ∆l  F

7. Ghép lò xo:
* Ni tip
1 2
1 1 1

k k k
= + +
 cùng treo mt
vt khi lng nh nhau thì: T
2
= T
1
2
+ T
2
2

∆l

giãn

O

x

A

-
A


Giãn

Hình v
 th hin góc quét lò xo
nén và giãn trong 1 chu k (Ox
hng xung)
Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO

3
* Song song: k = k
1
+ k
2
+ …  cùng treo mt vt khi lng nh nhau
thì:
2 2 2
1 2
1 1 1

T T T
= + +

8. Gn lò xo k vào vt khi lng m
1
c chu k T
1

T T T
= −

Mt s dng bài tp nâng cao:
iu kin ca biên  dao ng:
Vt m
1
c t trên vt m
2
dao ng iu hoà theo phng thng ng.  m
1
luôn nm yên
trên m
2
trong quá trình dao ng thì:
1 2
2
( )
m m g
g
A
k
ω
+
≤ =

Vt m
1
và m
2

2
vi mt sàn.  m
1
không trt trên m
2
trong quá trình dao ngThì :
1 2
2
( )
m m g
g
A
k
µ µ
ω
+
≤ =
II: CÁC DNG BÀI TP.
BÀI TOÁN 1: TÌM CÁC I LNG THNG GP
(Li , chu kì tn s,  bin dng,  c ng, v!n tc, nng lng )

VÍ D∀ MINH HA
VD1: Con lc lò xo gm vt m=200g và lò xo k=0,5N/cm dao ng iu hòa vi chu kì là
a) 0,2s. b) 0,4s. c) 50s. d) 100s.
HD.
Theo công thc tính chu kì dao ng:
( )

)/(50
4,0
2,0 44
2
2
2
2
mN
T
m
k ===

ππ

VD (H 2007)
Mt con lc lò xo gm vt có khi lng m và lò xo có  cng k, dao ng iu hòa. Nu
m
1

m
2
m
1

m
2
Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C

πVD (H 2008) mt con lc lò xo treo thng ng. kích thích cho con lc dao ng iu hòa
theo phng thng ng. chu kì và biên  ca con lc ln lt là 0,4 s và 8 cm. chn trc x’x
thng ng chiu dng hng xung, gc ta  ti VTCB, gc th#i gian t =0 vt qua
VTCB theo chiu dng. L∀y gia tc ri t do g= 10m/s
2
và )
2
= 10. th#i gian ngn nh∀t k t∃
khi t=0 n lc àn hi ca lò xo có  ln cc tiu là:
A 7/30 s B 1/30 s C 3/10 s D 4/15 s.
HD Gi#i: chn câu A .T = 2)
m
k
= 2)
∗l
g

=> ∗l =0,04 => x = A – ∗l = 0,08 – 0,04 =0,04 m =
A
2
; t =
T
4
+
T
4
+

2

=
48
π
s, ng nng ca con lc tng t∃ 0,096 J n giá tr cc i ri gim v 0,064 J. , th#i
im t
2
, th nng ca con lc bng 0,064 J. Biên  dao ng ca con lc là
A. 5,7 cm. B. 7,0 cm. C. 8,0 cm. D. 3,6 cm.
HD. Ti th#i im t
2
W

= W
t
== C nng ca h W = W

+ W
t
= 0,128 J
Ti t
1
= 0 W
t1
= W – W
1
= 0,032J =
4
W

+
8
T
=
24
5T
= t
2
– t
1
=
48
π
 T =
10
1
(s)  Tn s góc ca dao ng ω =
T
π
2
=
20 rad.s
W =
2
2
max
mv
=
2
22

T
k
m
T
4
2
3
2,2
'
πππ
=
+
==
2
1
'
=

T
TVD: Mt lò xo có chiu dài t nhiên l
0
=20cm. Khi treo vt có khi lng m=100g thì chiu
dài ca lò xo khi h cân bng o c là 24cm. Tính chu kì dao ng t do ca h.
a) T=0,35(s) b) T=0,3(s) c) T=0,5(s) d) T=0,4(s)
HD. Vt v trí cân bng, ta có:
mglkPF
dh

10
2
=
π
,  cng ca lò xo là
a) 0,156N/m b) 32 N/m c) 64 N/m d) 6400 N/m
HD. Theo công thc tính chu kì dao ng:
( )
mN
T
m
k
k
m
T /64
5,0
4,0.44
2
2
2
2
2
===

=
ππ
π

VD: (C 2008)
Mt con lc lò xo gm viên bi nh có khi lng m và lò xo khi lng không áng k có 

V trí cân bng có:
mglk
=
∆
.
Chu kì dao ng con lc:
g
l
k
m
T
∆
==
ππ
22

VD: Khi treo vt m vào lò xo k thì lò xo giãn ra 2,5cm, kích thích cho m dao ng. Chu kì
dao ng t do ca vt là
a) 1s. b) 0,5s. c) 0,32s. d) 0,28s.
HD. Ti v trí cân bng trng lc tác dng vào vt cân bng vi lc àn hi ca là xo
g
l
k
m
lkmg
0
0
∆
=


2
=0,5s. Khi lng m
2
bng bao nhiêu?
a) 0,5kg b) 2 kg c) 1 kg d) 3 kg
HD. Chu kì dao ng ca con lc n xác nh b i phng trình
k
m
T
π
2=

Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO

6
Do ó ta có:
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2

5,0
.4
2
2
2
1
2
2
12
===


VD: Mt vt nng treo vào mt lò xo làm lò xo dãn ra 10cm, l∀y g=10m/s
2
. Chu kì dao ng
ca vt là
a) 0,628s. b) 0,314s. c) 0,1s. d) 3,14s.
HD. Ti v trí cân bng, trng lc cân bng vi lc àn hi ca lò xo

g
l
k
m
lkmg
0
0
∆
=

∆=

=
2
1
kA
2
cos
2
(ω + ϕ).
+ ng nng: W

=
2
1
mv
2
=
2
1
mω
2
A
2
sin
2
(ω +ϕ) =
2
1
kA
2
sin

2
=
2
1
mω
2
A
2
.

VÍ D∀ MINH HA
VD1. Mt con lc lò xo có biên  dao ng 5 cm, có vn tc cc i 1 m/s và có c nng 1
J. Tính  cng ca lò xo, khi lng ca vt nng và tn s dao ng ca con lc.
HD. Ta có: W =
2
1
kA
2
 k =
2
2
A
W
= 800 N/m; W =
2
1
mv
2
max
 m =

 A =
k
W
2
= 0,04 m = 4 cm. ω =
22
xA
v
−
= 28,87 rad/s; T =
ω
π
2
=
0,22 s.

VD3. Mt con lc lò xo có khi lng m = 50 g, dao ng iu hòa trên trc Ox vi chu kì
T = 0,2 s và chiu dài qu− o là L = 40 cm. Tính  cng lò xo và c nng ca con lc.
HD: Ta có: ω =
T
π
2
= 10π rad/s; k = mω
2
= 50 N/m; A =
2
L
= 20 cm; W =
2
1

x +
= 10 cm; W =
2
1
kA
2
= 0,5 J.

VD5. Mt con lc lò xo dao ng iu hòa. Bit lò xo có  cng 36 N/m và vt nh có khi
lng 100 g. L∀y π
2
= 10. Xác nh chu kì và tn s bin thiên tun hoàn ca ng nng ca
con lc.
HD:
Tn s góc và chu k ca dao ng: ω =
m
k
= 6π rad/s; T =
ω
π
2
=
3
1
s.
Chu k và tn s bin thiên tun hoàn ca ng nng: T’ =
2
T
=
6

Khi ng nng bng th nng ta có: W = 2W

hay
2
1
mω
2
A
2
= 2.
2
1
mv
2

 A =
2
ω
v
= 0,06
2
m = 6
2
cm.
Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO


1
A = ± 5cm.
v = ±ω
22
xA −
= ± 108,8 cm/s. VD9. Mt con lc lò xo dao ng iu hòa vi tn s góc ω = 10 rad/s và biên  A = 6 cm.
Xác nh v trí và tính  ln ca vn tc khi th nng bng 2 ln ng nng.
HD:
Ta có: W = W
t
+ W

= W
t
+
2
1
W
t
=
2
3
W
t

2
1

1
k(x
2
+
2
2
ω
v
) =
2
1
k(x
2
+
k
mv
2
) =
2
1
(kx
2
+ mv
2
)
 k =
2
2
2
x
ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO

9
+ Phng trình dao ng ca con lc lò xo: x = Acos(ωt + ϕ).
Trong ó: ω =
m
k
; con lc lò xo treo thng ng: ω =
m
k
=
0
g
l
∆
;
A =
2
0
2
0







ng, gc O trùng vi v trí cân bng; chiu dng là chiu vt bt u chuyn ng; gc th#i
gian là lúc th vt. L∀y g = 10 m/s
2
. Vit phng trình dao ng ca vt.
HD:
Ta có: ω =
m
k
= 20 rad/s; A =
2
2
2
2
2
0
2
0
20
0
)5(
+−=+
ω
v
x
= 5(cm);
cosϕ =
5
5
0
−

cosϕ =
4
4
0
=
A
x
= 1 = cos0  ϕ = 0. Vy x = 4cos10t (cm).

VD3. Mt con lc lò xo có khi lng m = 50 g, dao ng iu hòa trên trc Ox vi chu kì
T = 0,2 s và chiu dài qu− o là L = 40 cm. Vit phng trình dao ng ca con lc. Chn
gc th#i gian lúc con lc qua v trí cân bng theo chiu âm.
HD.
Ta có: ω =
T
π
2
= 10π rad/s; A =
2
L
= 20 cm; cosϕ =
A
x
0
= 0 = cos(±
2
π
); vì v < 0  ϕ =
2
π

= 0,625 kg; A =
2
2
0
2
0
ω
v
x
+
= 10 cm;
cosϕ =
A
x
0
= cos(±
4
π
); vì v > 0 nên ϕ = -
4
π
. Vy: x = 10cos(4πt -
4
π
) (cm).

VD5. Mt con lc lò xo gm mt lò xo nh+ có  cng k và mt vt nh có khi l
ng
m = 100 g, c treo thng ng vào mt giá c nh. Ti v trí cân bng O ca vt, lò xo
giãn 2,5 cm. Kéo vt dc theo trc ca lò xo xung di cách O mt on 2 cm ri truyn

= cos(±
3
2
π
); vì v < 0
nên ϕ =
3
2
π
. Vy: x = 4cos(20t +
3
2
π
) (cm).
VD6: Mt lò xo có  cng K = 50 N/m t nm ngang, mt u c nh vào t#ng, u còn
li gn vt khi lng m = 500g. Kéo vt ra khi v trí cân bng mt khong x = cm và
truyn cho vt mt vn tc v = 10 cm/s theo chiu dng. Vit phng trình dao ng ca
vt.
HD:
Tn s góc ca dao ng iu hòa:
/ =
= 10 rad/s
Biên  dao ng ca vt c tính b i công thc:

A
2
= x
2
+ v
2

∗l = mg/K = 10 cm = A. ptd: x = 10 cos(10t + ))
VD8: Lò xo có chiu dài ban u là 30 cm,. Khi treo vt m thì lò xo dài 40cm. Truyn cho
vt khi ang nm cân bng mt vn tc 40cm/s hng thng lên. Chn chiu dng
Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO

11
hng xung. Vit phng trình dao ng ca vt. L∀y g = 10m/s
2
HD: / = = 10 rad/s, ti VTCB v = / A=>A = 4cm.
 x = 4 cos(10t + )/2) (cm) BÀI TOÁN 4: TÌM  BIN DNG, CHIU DÀI (MAX, MIN)

PHNG PHÁP:
Chi&u dài lò xo:
l
o
: là chiu dài t nhiên ca lò xo:
a) khi lò xo nm ngang:
Chiu dài cc i ca lò xo :

max
=

o

=

o
+ ∆

– A.
Chiu dài ly  x:

=

0
+∆

+x
*khi con lc lò xo t trên mt ph∋ng nghiêng.
+ Con lc lò xo t nm ngang, treo thng ng tn s góc: ω =
0
g
l
∆
;
+ còn con lc lò xo t trên mt phng nghiêng thì: ω =
0
sin
g
l
α
∆
.
+  tìm mt s i lng da vào Các công th c:

∆
.
+ Chiu dài cc i ca lò xo: l
max
= l
0
+ ∆l
0
+ A.
+ Chiu dài cc tiu ca lò xo: l
min
= l
0
+ ∆l
0
– A.
+ Lc àn hi cc i: F
max
= k(A + ∆l
0
).
+ Lc àn hi cc tiu: F
min
= 0 nu A ≥ ∆l
0
; F
min
= k(∆l
0
– A) nu A < ∆l

∆m

m
dài cc tiu ca lò xo trong quá trình dao ng.
HD:
Ta có: ω =
T
π
2
= 5π rad/s; ∆l
0
=
2
ω
g
= 0,04 m = 4 cm; l
min
= l
0
+ ∆l
0
– A = 42 cm;
l
max
= l
0
+ ∆l
0
+ A = 54 cm.
VD2: Mt lò xo có  cng k=25(N/m). Mt u ca lò xo gn vào im O c nh. Treo vào

(
)
sradcml
/5,10;4,6
0
=
=
∆
ω
d)
(
)
(
)
sradcml
/5,13;4,6
0
=
=
∆
ω

HD. .
Di tác dng ca hai vt nng, lò xo dãn mt on
0
l
∆
và có:
)(
0

=
+
=
∆+
=
ω

VD3. Mt con lc lò xo gm qu cu khi lng 100 g gn vào lò xo khi lng không áng
k có  cng 50 N/m và có  dài t nhiên 12 cm. Con lc c t trên mt ph1ng nghiêng
mt góc α so vi mt ph1ng ngang khi ó lò xo dài 11 cm. B qua ma sát. L∀y g = 10 m/s
2
.
Tính góc α.
HD: Ta có: ∆l
0
= l
0
– l = 1 cm = 0,01 m; mgsinα = k∆l
0
 sinα =
mg
lk
0
∆
=
2
1
 α = 30
0
.

> 0 => ϕ = -
2
π
rad. Vy: x = 4cos(10t -
2
π
) (cm).
VD5. Mt con lc lò xo gm vt nng có khi lng m = 500 g, lò xo có 
 cng
k = 100 N/m, h c t trên mt ph1ng nghiêng mt góc α = 45
0
so vi mt ph1ng nm
ngang, giá c nh phía trên. Nâng vt lên n v trí mà lò xo không b bin dng ri th
nh+. B qua ma sát. L∀y g = 10 m/s
2
. Chn trc ta  trùng vi phng dao ng ca vt,
gc ta  ti v trí cân bng, chiu dng hng xung di, gc th#i gian lúc th vt. Vit
phng trình dao ng ca vt.
HD: Ta có: ω =
m
k
= 10
2
rad/s; ∆l
0
=
k
mg
α
sin

13
BÀI TOÁN 5: L(C TRONG CON LC LÒ XO
PHNG PHÁP
-Xác )nh l∗c ph+c h,i, Fh c∗c i và c∗c tiu, l∗c tác d+ng lên v!t và im treo.
1) L∗c h,i ph+c( l∗c tác d+ng lên v!t):
Lc hi phc:
F kx ma
= − =



: luôn hn v v trí cân bng
 ln: F = k|x| = mω
2
|x| .
Lc hi phc t giá tr cc i F
max
= kA khi vt i qua các v trí biên (x = ± A).
Lc hi phc có giá tr cc tiu F
min
= 0 khi vt i qua v trí cân bng (x = 0).
2) L∗c àn h,i − v) trí có li  x (gc O ti v trí cân bng ):
+ Khi con lc lò xo nm ngang F= kx
+ Khi con lc lò xo treo thng ng hoc nm nghiêng 1 góc α : F = k|∆

+ x|
+  ln lc àn hi có biu thc:
* F
h
= k|∆l + x| vi chiu dng hng xung

=0
+ Khi con lc lò xo treo thng ng: ∆

=
2
mg g
k
ω
=
.
+ Khi con lc nm trên mt phng nghiêng 1 góc α: ∆

=
mgsin
k
α

a) Lc cc i tác dng ln im treo là:
max
F k( A)
= ∆ +


b) Lc cc tiu tác dng lên im treo là:
+ khi con lc nm ngang: F
min
=0
+ khi con lc treo thng ng hoc nm trên mt phng nghiêng 1 góc α :
Nu ∆


= 0,2 s; f =
T
1
= 5 Hz; W =
2
1
kA
2
= 0,125 J;
Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO

14
∆l
0
=
k
mg
= 0,01 m = 1 cm; F
max
= k(∆l
0
+ A) = 6 N; F
min
= 0 vì A > ∆l
0
.

- A) 
)(
)(
0
0
max
min
Alk
Alk
F
F
+∆
−
∆
=
=
7
3
.
VD3. Mt con lc lò xo treo thng ng có vt nng có khi lng 100 g. Kích thích cho con
lc dao ng theo phng thng ng thì th∀y con lc dao ng iu hòa vi tn s 2,5 Hz và
trong quá trình vt dao ng, chiu dài ca lò xo thay .i t∃ l
1
= 20 cm n l
2
= 24 cm. Xác
nh chiu dài t nhiên ca lò xo và tính lc àn hi cc i, cc tiu ca lò xo trong quá
trình dao ng. L∀y π
2
= 10 và g = 10 m/s

1
- ∆l
0
+ A = 18 cm; k = mω
2
= 25 N/m;
F
max
= k(∆l
0
+ A) = 1,5 N; ∆l
0
> A nên F
min
= k(∆l
0
- A) = 0,5 N.

VD4. Mt con lc lò xo treo thng ng gm lò xo có chiu dài t nhiên 20 cm,  cng
100 N/m, vt nng khi lng 400 g. Kéo vt nng xung phía di cách v trí cân bng 6
cm ri th nh+ cho con lc dao ng iu hòa. L∀y g = π
2
(m/s
2
). Xác nh  ln ca lc àn
hi ca lò xo khi vt các v trí cao nh∀t và th∀p nh∀t ca qu− o
HD: Ta có: ω =
m
k
= 5π rad/s; ∆l


Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH  2: CON LC LÒ XO

15
BÀI TOÁN 6: CT, GHÉP LÒ XO NI TIP – SONG SONG - XUNG I
PHNG PHÁP:
1). Lò xo ghép ni tip:
a)  cng ca h k
Hai lò xo có  cng k
1
và k
2
ghép ni tip có th xem nh mt lò xo có  cng k tho mãn
biu thc:
21
111
kkk
+=
(1)
Khi vt ly  x thì:

= =




= +




1 2
1 1 1
= +
k k k
hay
1 2
1 2
k k
k =
k + k

b) Chu k dao ng T - tn s dao ng:
+ Khi ch có lò xo 1( k
1
):
2
1
1
2
1 1

+ Khi ghép ni tip 2 lò xo trên:
2
2
1
2
4
π
π
=  =
m T
T
k k m

Mà
21
111
kkk
+=
nên
2 22
1 2
2 2 2
4 4 4
π π π
= +
T TT
m m m

2 2 2
1 1

1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
f kx,F k x ,F k x
x x x
F F F
= = =


⇔ = =


= +

1 2
1 1 2 2
x x x
kx k x k x
= =



= +


1 2
k = k + k

b) Chu k dao ng T - tn s dao ng:
+ Khi ch có lò xo1( k
m

k
1
k
2

Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH



2: CON L

C LÒ XO

16
+ Khi ghép ni tip 2 lò xo trên:
2
2
4
2

2 2 2
1 1
f = f +f

c) Khi ghép xung i công th c ging ghép song song
Lu ý: Khi gii các bài toán dng này, nu gp tr#ng hp mt
lò xo có  dài t nhiên

0
( cng k
0
) c ct thành hai lò xo
có chiu dài ln lt là

1
( cng k
1
) và

2
( cng k
2
) thì ta có: k
0

0
= k
1

1

2
=0,8s. Khi mc vt m vào h hai lò xo k
1
ghép
ni tip k
2
thì chu kì dao ng ca m là
a) 0,48s b) 1,0s c) 2,8s d) 4,0s
HD. Chu kì T
1
, T
2
xác nh t∃ phng trình:







=
=
2
2
1
1
2
2
k
m

4
1
4
1
π
π
m
TT
kk
2
2
2
2
1
21
4
11
π
+
=+

m
TT
kk
kk
2
2
2
2
1

kk
m
k
m
T 18,06,0
4
.222
222
2
2
1
2
2
2
2
1
21
21
=+=+=
+
=
+
==
π
πππ
=> áp án b
VD2: Hai lò xo có chiu dài bng nhau  cng tng ng là k
1
, k
2

=
2
2
1
1
2
2
k
m
T
k
m
T
π
π







=
=

2
2
2
2
2


π
k
1
, k
2
ghép song song =>  cng
21
kkk
+
=

=>
( ) ( )
( )
s
TT
TT
TTm
TT
m
kk
m
k
m
T 48,0
8,06,0
8,0.6,0
4
.222

πππ

L
1
,
k
L
2
,
k
Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH



2: CON L

C LÒ XO

17
BÀI TOÁN 7: S( THAY .I CHU KÌ, T/N S CON LC LÒ XO KHI m THAY .I
PHNG PHÁP:
Lò xo  cng k
+ gn vt m

T
2
2
1
1
2;2
ππ
==
( )
gm
T
T
m
m
m
T
T
50200.
2
1
2
2
1
2
1
2
2

T
1
1
2
π
=
;
Chu kì ca con lc khi mc vt m
2:
k
m
T
2
2
2
π
=

Chu kì ca con lc khi mc vt m
1
và m
2:
k
m
k
m
k
mm
T
2121

m
2
vào mt lò xo, nó dao ng vi chu kì T
2
=1,6s. Khi gn ng th#i m
1
và m
2
vào lò xo ó
thì chu kì dao ng ca chúng là
a) 1,4s b) 2,0s c) 2,8s d) 4,0s
HD. Chu kì T
1
, T
2
xác nh t∃ phng trình:







=
=
k
m
T
k
m

T
21
2
+
=
π
( )
sTT
TT
T 26,12,1
4
2
222
2
2
1
2
2
2
2
1
=+=+=
+
=
π
π Phone: 01689.996.187


1
11
===
,
m
k
f
π
2
1
=

Tn s dao ng mi ca con lc xác nh t∃ phng trình
'
'
2
1
m
k
f
π
=
m
m
k
m
m
k
f
f

HD. Chu kì ca con lc khi mc vt m
1
, m
2
tng ng là:
k
m
T
1
1
2
π
=
;
k
m
T
2
2
2
π
=

Chu kì ca con lc khi mc ca2 hai vt m
1
và m
2:
k
m
k


VD6: Ln lt treo hai vt m
1
và m
2
vào mt lò xo có  cng k=40N/m và kích thích chúng
dao ng. Trong cùng mt khong th#i gian nh∀t nh, m
1
thc hin 20 dao ng và m
2
thc
hin 10 dao ng. Nu treo c hai vt vào lò xo thì chu kì dao ng ca h bng π/2(s). Khi
lng m
1
và m
2
ln lt bng bao nhiêu
a) 0,5kg; 1kg b) 0,5kg; 2kg c) 1kg; 1kg d) 1kg; 2kg
HD.
Th#i gian  con lc thc hin dao ng là chu kì dao ng ca h
Khi ln lt mc t∃ng vt vào lò xo, ta có:
k
m
T
k
m
T
2
2
1

T
121
5
22
ππ
=
+
=

(
)
( )
kg
kT
m 5,0
20
40.2/
20
2
2
2
2
1
1
===
π
π
π
(
)


VÍ D∀ MINH HA
VD1: Cho 1 h dao ng nh hình v(, khi lng lò xo
không áng k. k = 50N/m, M = 200g, có th trt không ma
sát trên mt phng ngang.
1) Kéo m ra khi VTCB 1 on a = 4cm ri buông nh+. Tính V
TB
ca M sau khi nó i
q3ang #ng 2cm .
2) Gi s4 M ang dao ng nh câu trên thì có 1 vt m
0
= 50g bn vào M theo phng
ngang vi vn tc
o
v
. Gi thit va chm là không àn hi và xy ra ti th#i im lò xo có 
dài ln nh∀t. Tìm  ln
o
v
, bit rng sau khi va chm m
0
gn cht vào M và cùng dao
ng iu hoà vi A
'
= 4
2
cm.
HD. 1 - Tính vn tc TB
Mt dh có th coi là hình chiu ca chuyn
ng tròn u ca 1 ch∀t im nh hình v(. Khong

π
(s) => V
TB
=
)(30 scm
t
S
=

2 - Theo câu 1, M có li  x
0
= a = 4 cm thì lúc ó lò xo có chiu dài ln nh∀t
+ Ngay sau va chm, h (M + m
0
) có vn tc v
LBT ng lng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c h dh vi biên  A' = 4
2
cm và tn s góc

Mk


20
ω
'
=
05,02,0
50
0
+
=
+
mM
k
= 10
2
(Rad/s)

Li có v =
2
0
2''
)( xA
−
ω

= 40
2
(m/s)
T∃ (1) | v
0
VD3: Mt con lc lò xo gm vt M và lò xo có  cng k ang dao ng iu hòa trên mt
phng nm ngang, nh1n vi biên  A
1
. úng lúc vt M ang v trí biên thì mt vt m có
khi lng bng khi lng vt M, chuyn ng theo phng ngang vi vn tc v
0
bng vn
tc cc i ca vt M , n va chm vi M. Bit va chm gi∋a hai vt là àn hi xuyên tâm,
sau va chm vt M tip tc dao ng iu hòa vi biên  A
2
. T s biên  dao ng ca vt
M trc và sau va chm là :
A.
1
2
2
2
A
A
=
B.
1
2
3
2
A
A
=

2
1 1
1
2 2
2.
1 2
1 1
2
2 2
2 2
1
2
mv kA
E kA
A
kA kA
E mv kA
A
E kA


=



  =



 =  =

t trên m và kích thích cho h dao ng theo phng song song
vi b mt tip xúc gi∋a hai vt.  m
0
không b trt trên m thì lc ngh ma sát cc i mà
m tác dng m
0
trong quá trình dao ng phi nh hn hoc bng lc ma sát trt gi∋a hai vt.
f
msn
(Max) < f
mst

2
0 0 0 0
. . . . . . .
m a m g m x m g
µ ω µ
⇔ ≤ ⇔ ≤

⇔

2
0 0
. . . .
m A m g
ω µ
≤

Trong ó :
µ

0
không trt trên b mt ngang ca vt m. Cho g = 10(m/s
2
),
2
10
π
≈
.
L#i Gii
- Khi m
0
không trt trên b mt ca m thì hê hai vt dao ng nh là mt vt
( m+m
0
). Lc truyn gia tc cho m
0
là lc ma sát ngh xu∀t hin gi∋a hai vt.

2
0 0
. . .
msn
f m a m x
ω
= =
.
Giá tr ln nhât ca lc ma sát ngh là :
2
0

g
A
µ
ω
 ≤
; mà
2
0
k
m m
ω
=
+
nên ta có :
0
. . 0,05 5 .
m m
A g A m A cm
k
µ
+
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Vy biên  ln nh∀t ca m  m
0
không trt trên m là A
max
= 5cm.
VD2. Mt vt có khi lng m = 400g c gn trên mt lò xo thng ng
có  cng k = 50(N/m). t vt m’ có khi lng 50g lên trên m nh hình

.

VD3.Mt con lc lò xo dao ng iu hòa theo phng ngang vi biên  A. Tìm li  x mà
ti ó công su∀t ca lc àn hi t cc i
A. x=A B. x=0 C.x=A.cn2/2 D.A/2

m

m
k

+ Mt khác
d∀u "=" xy ra khi VD4. Có 3 lò xo cùng  dài t nhiên, có  cng ln lt là k1 = k, k2 = 2k, k3 = 4k. Ba lò
xo c treo cùng trên mt mt phng thng ng ti 3 im A,B,C trên cùng #ng thng
nm ngang vi AB = BC. Ln lt treo vào lò xo 1 và 2 các vt có khi lng m1 = m và m2
= 2m, t∃ v trí cân bng nâng vt m1, m2 lên nh∋ng on A1 = a và A2 = 2a. Hi phi treo
vt m3 lò xo th 3 có khi lng bao nhiêu theo m và nâng vt m3 n  cao A3 bng bao
nhiêu theo a  khi ng th#i th nh+ c ba vt thì trong quá trình dao ng c ba vt luôn
thng hàng?
Gi#i:
Ti v trí cân bng
ta có:
∆l
1
=
1
1
k
gm
=
k

4
3

 O
1
, O
2
và O
3
thng hàng
=>∆l
1
= ∆l
2
= ∆l
3
(vì chiu dài ban u bng nhau)
=>
3
3
k
gm
=
k
gm
4
3
=
k
mg

B
•

A
•

l

∆l
∆l
∆l
Phone: 01689.996.187 ÔN, LUYN THI I HC VT LÝ - DAO NG C
CH



2: CON L

C LÒ XO

23
( #ng thng i qua trung im cnh th nh∀t song song vi hai áy s( i qua rung im
cnh th 2 => #ng trung bình)
theo tính ch∀t #ng trung bình hình thang có  dài bng trung bình cng chiu dài hai áy.


A2 = (A3+A1)/2 => 2a =(A3 + a)2 => A3 = 3a

2
)

HD. Khi m
1
không r#i khi m thì hai vt cùng dao ng vi gia tc a = ω
2
x
Giá tr ln nh∀t ca gia tc (a
max
= ω
2
A)
Nu m
1
r#i khi m thì nó chuyn ng vi gia tc trng tr#ng g
Vy iu kin  m
1
không r#i khi m
a
max
< g ⇔ ω
2
A < g  A<
2
g
ω

+
ω =

CH



2: CON L

C LÒ XO

24
III.  TRC NGHIM T.NG HP
Câu 1: Cho mt con lc lò xo dao ng iu hoà vi phng trình x = 10cos
)3/t20(
π
−
(cm).
Bit vt nng có khi lng m = 100g. ng nng ca vt nng ti li  x = 8cm bng
A. 2,6J. B. 0,072J. C. 7,2J. D. 0,72J.
Câu 2:Cho mt con lc lò xo dao ng iu hoà vi phng trình x = 10cos
)3/t20(
π
−
(cm).
Bit vt nng có khi lng m = 100g. Th nng ca con lc ti th#i im t =
π
(s) bng
A. 0,5J. B. 0,05J. C. 0,25J. D. 0,5mJ.
Câu 3: Cho mt con lc lò xo dao ng iu hoà vi phng trình x = 5cos
)6/t20(
π
+

2/A
±
thì
D. c nng bng ng nng. B. c nng bng th nng.

C. ng nng bng th nng. D. th nng bng hai ln ng nng.
Câu 8: Cho mt con lc lò xo dao ng iu hoà vi phng trình x = 5cos
)6/t20(
π
+
(cm).
Ti v trí mà ng nng nh hn th nng ba ln thì tc  ca vt bng
A. 100cm/s. B. 50cm/s. D. 50
2
cm/s. D. 50m/s.
Câu 9: Mt vt có m = 500g dao ng iu hoà vi phng trình dao ng x =
2sin10
π
t(cm). L∀y
2
π
≈
10. Nng lng dao ng ca vt là

A. 0,1J. B. 0,01J. C. 0,02J. D. 0,1mJ.
Câu 10: Con lc lò xo có khi lng m = 400g,  cng k = 160N/m dao ng iu hoà theo
phng thng ng. Bit khi vt có li  2cm thì vn tc ca vt bng 40cm/s. Nng lng
dao ng ca vt là
A. 0,032J. B. 0,64J. C. 0,064J. D. 1,6J.
Câu 11: Mt con lc lò xo có vt nng khi lng m = 1kg dao ng iu hoà trên phng

2
. Khi lò xo có chiu dài l =
28cm thì vn tc bng không và lúc ó lc àn hi có  ln F

= 2N. Nng lng dao ng
ca vt là
A. 1,5J.
B. 0,08J. C. 0,02J. D. 0,1J.
Câu 15: Mt con lc lò xo t nm ngang gm vt nng khi lng 1kg và lò xo khi lng
không áng k có  cng 100N/m dao ng iu hoà. Trong quá trình dao ng chiu dài
ca lò xo bin thiên t∃ 20cm n 32cm. C nng ca vt là
A. 1,5J. B. 0,36J. C. 3J.
D. 0,18J.
Câu 16: Mt vt nng 500g dao ng iu hoà trên qu− o dài 20cm và trong khong th#i
gian 3 phút vt thc hin 540 dao ng. Cho
2
π
≈
10. C nng ca vt khi dao ng là
A. 2025J.
B. 0,9J. C. 900J. D. 2,025J.
Câu 17: Mt con lc lò xo có  cng là k treo thng ng. Gi  giãn cca lò xo khi vt
v trí cân bng là
0
l
∆
. Cho con lc dao ng iu hòa theo phng thng ng vi biên  là
A(A >
0
l

A. F

= k(A -
0
l
∆
). B. F

= k
0
l
∆
. C. 0. D. F

= kA.
Câu 19: Chiu dài ca con lc lò xo treo thng ng khi vt v trí cân bng là 30cm, khi lò
xo có chiu dài 40cm thì vt nng v trí th∀p nh∀t. Biên  dao ng ca vt là
A. 2,5cm. B. 5cm. C. 10cm. D. 35cm.
Câu 20: Con lc lò xo treo thng ng dao ng iu hoà, v trí cân bng lò xo giãn 3cm.
Khi lò xo có chiu dài cc tiu lò xo b nén 2cm. Biên  dao ng ca con lc là
A. 1cm. B. 2cm. C. 3cm.
D. 5cm.
Câu 21: Mt con lc lò xo treo thng ng, vt có khi lng m = 1kg. T∃ v trí cân bng
kéo vt xung di sao cho lò xo dãn on 6cm, ri buông ra cho vt dao ng iu hoà vi
nng lng dao ng là 0,05J. L∀y g = 10m/s
2
. Biên  dao ng ca vt là

A. 2cm. B. 4cm. C. 6cm. D. 5cm.
Câu 22: Mt vt treo vào lò xo làm nó dãn ra 4cm. Cho g =

A. 21cm. B. 22,5cm. C. 27,5cm. D. 29,5cm.
Câu 25: Con lc lò xo dao ng iu hoà trên phng ngang: lc àn hi cc i tác