TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
1
1
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
www.k2pi.net MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010
PHẦN
MỤC LỤC
Trang
I
PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
II
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC
III
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh )
9.
Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng )
10.
Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận )
11.
Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương )
12.
340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin )
13.
Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam )
14.
Bộ sách : CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC … ( Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn )
15.
Bộ sách : CÁC DẠNG TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC ( Phan Huy Khải )
16.
… và một số tài liệu tham khảo khác .
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
2
2
17.
Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website.
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
3
3
PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
1.
7
9
9
m
7
b)
4
2
x 1 x m
0m1
c)
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
5.
7.
2 y 1
2 x 1
x 2x 2 3 1
y 2y 2 3 1
x
y
8.
22
3x 2 4x 29x 3 1 x x 1 0
13.
3
3 2 2
4x 5x 6 7x 9x 4x
14.
2 xy y x y 5
5 x 1 y m
m 1; 5
x ;x
. CMR:
2
12
f '''(x) 1 f ''(x)
, x x ,x
f '(x) 2 f '(x)
18.
23
f(x) cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x m
2
(x) 36,f m
19.
22
xy
log x y 1
20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 )
44
3 3 2 2
x y 240
x 2y 3 x 4y 4 x 8y
23.
4 3 3 2 2
33
x x y 9y y x y x 9x
x y x 7
. : (x,y)=(1;2)
24.
4
1
x x 1 m x x x 1 1
x1
.
27. m :
2
3 x 1 y m 0
x xy 1
28.
siny
sin2x cos2y sinx cosy 1
x,y 0;
4
30.
32
3
16x 24x 12x 3 x
31.
2x y y 2x 1 2x y 1
32
1 4 .5 2 1
y 4x ln y 2x 1 0
32.
22
22
x 2x 22 y y 2y 1
y 2y 22 x x 2x 1
36.
y
x
1
xy
2
11
xy
yx
Cách 2 :
2
2
11
5x 6 x
(5x 6) 1 x 1
2
15
f(t) t , t
7
t1
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
5
5
38. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 )
3 2 3
2x 1 27x 27x 13x2 2
HD : PT
3
33
2x 1 (3x 1) 2(2x 1) 2 (3x 1) f( 2x 1) f(3x 1)
41.
42. ( Đề thi Khối A – năm 2010 )
2
22
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0
4x y 2 3 4x 7
HD :
2
x
4
x
1
2
.
43. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .
x y 4
x 7 y 7 a
x 9.
HD :
x y 0 x4 16
x , t [t 3;4]
. ĐS :
a 4 2 2
44.
25
2 2 5
log (x 2x 11) log (x 2x 12)
47.
4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0
48. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) .
22
2
yx
2
32
x1
e
y1
3log (x 2y 6) 2log (x y 2) 1
49. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :
22
xx
lnx , x 0
F(x)
24
0, , x 0
xlnx, x 0
f(x)
0, x 0
. CMR :
F'(x) f(x)
a0
xR
2
3
2x 2
2
2
x0
e1
N lim
ln(1 x
x
)
3
3
x0
33
2
x x 1
N
1
m
x
li
2
3
2x 2
6
2
x0
e1
N lim
ln(1 x
x
)
sin2x sin
3
7
x
3x
0
e
N lim
e
sinx
1 2 3 n
xxx; ; x
a)
2n
2n
1
1
P''(x ) P''(x ) P''(x )
0
P'(x P'( P'(x))x)
b)
2n1
))
1 1 1
0
P'(x P'(x P'(x )
a)
n
T osx 2cos2x nc(x) c osnx
n
2 2 2 2 2
2
2x 1 2x 3 2x (2n 1)
(x)
x (x 1) (x 1) (x 2)
x (n 1) (x n)
S
50. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số :
a) Cho
R: a b 0
nn
a b a b
22
b)
a 3,n 2
(
n N,n
x x x x
1 x 1 x 1
2! n! 2! n!
e)
22
x x 1 x xy 1
f)
2
y f(x) 2 xxa 1
g)
msinx cosx 1
y
mcosx
9
0;
4
PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC
1.
f :R R
:
a)
x0
f(x)
lim 1
x
b)
22
f x y f x f y 2x 3xy 2y , x,y R
2.
f :R R
2008 2008
f x f(y) f x y f f(y) y 1, x,y R
3.
f :R R
2
f x.f x y f(y.f x ) x
7. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 )
f:
2
(x) 2yf(x) f(y) f y f(x) , ,x,yf R
2 2 2
a b b c c a 3
2.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b a b b c b c c a c a a b b c c a
3.
2 2 2 2
2
a b c 81 a b 13
a b c
b c a 4 4
2a b
4.
a b c 36abc 2
7 8 9
P a b c
bc ca ab a b c
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6
9.
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
10.
2 2 2
1 1 1
1
a 2 b 2 c 2
. CMR :
ab bc ca 3
11.
2 2 2
ba c3
. CMR :
x 1 y 1 z 1 0
. CMR :
2
22
x y z
1
x 1 y 1 z 1
16. CMR :
222
2 2 2 2 2 2
(3a b c) (3b c a) (3c a b) 9
20. (Chọn ĐTHSG QG Nghệ An năm 2010 )
4 4 4 2 2 2
b c ) 25(9(a a b c ) 48 0
2 2 2
a b c
b 2c c 2a a
F
2b
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
9
9
Lời giải 1 :
4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c ) 25(a b c ) 48 0 25(a b c ) 48 9(a b c ) 48 3(a b c )
3(a b c ) b c ) 48 0
9
3 b c
(a
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
c b a c b) a b c .(a
3
2 2 2
F
a b c
1
3
Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN )
2 2 2 2 2
a (b 2c)a a (b 2c)a 2a
2
b 2c 9 b 2c 9 3
.
a a c b b a c c b
a c b a c b a b c (**)
3 3 3
.
2 2 2 2 2 2
21
F a b c a b c (a b c )
39
2 2 2 2 2 2 2 2 2
21
a b c a b c 3 a b c
39
.
2 2 2
t 3 a b c
t 3;4
min f(t) f(3) 1 (* * **)
F 1.
minF 1
a b c 1
.
21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
x y z
9 x y y z z x
Lời giải 1 :
2 2 2 2 2 2
1 1 1
9 x y y z z x 36
x y z
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
10
10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y y z z x y 1 z 1) (z x 1) 29 x 6 x (y 3 (xy yz zx)
2
2
27 9
VT 4 3 (xy yz zx) . 108 6 (xy yz zx)
xy yz zx xy yz zx
x y z
(1)
2
y
2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
4 4 4
12
x y z
hay 9 + x
2
y
2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
1
y
(
Lời giải :
3xy x y 1 2 xy 1 xy 1 xy 1
(*)
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 22
3xy 3xy 1 (1 3xy)
1 1 1 3xy(x y) (x y)
y y (3
2xy
3x 3y 1 2xy
M
3 3 3
aa
1
bb
a b c
3
b c a
a
3
b
24. ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z
0
2 2 2
yx z1
.
P 6(y z x) 27xyz
HD :
2 2 2
2 2 2
y z 1 x
4 4 3 4 4 3 4 4 3
6 6 6 6 6 6
(x (y (z
xy
y ) z ) x )
12
yxzz
Lời giải :
2 2 2
a;y b;z cx abc 1
3 3 3
33
2 2 2 2 2
333
2
3
(a (b (c
ab
b ) c ) a )
12
bacc
2 2 2 2 2 2
(a
1
b ) (b c )
1 1 3(a b c)
2a
(c a
b b c a
)
c2
2
22
(a b)
a b
2
28. ( Đề thi HSG Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) . Cho
a
ca abc
b
b
c
HD :
4 2 2 2 2 4
a (a b c ) (a b c)
a b c
abc 3abc 27abc
VT
31. ( Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Bình Định năm 2010) .
2 xy xz 1
.
3yz 4z
S
x 5xy
x y z
32. ( Đề thi chọn HSG Thái Nguyên năm 2010 ).
1 2 3
x y z
a; b; c abc 1
y z x
. :
2 2 2
b c 13
3
a
P
b
(a b c)
ca
2
(ab bc ca)
(a b c) abc(a b c) (ab)(ac) (ab)(bc) (ac)(bc)
3
cc
a
2
13
(ab bc ca)
(ab bc ca)
P
ab bc ca 1
)
Lời giải 2 :
z
a; b; c a
y
z
x
y
bc
x
1
1 1 1
a; b; c abc 1
x y z
.
2 2 2 2
2
a b c 3abc (a b c) 9
c a b ab bc ca a b c
(a b c)
3
3a abcbc 3
36. ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) .
[0;1]
a b c 1
C1 : ( THTT)
2 2 2 2 2 2
b c b c
c a 2(a b c) a b c
c b a
a
b
b ac
a
o
a
a
VT a
b
ab b
ab b
ab
a
b
bc
38. ( Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh – Đồng Nai năm 2010 ) . Cho
a,b,c 0:abc 1
2 2 2
ab bc c aba c
HD :
a b c
a b c
b c a
22
a b c
b c c a b
32
a 2
HD :
22
33
3
b c b c b c a 1 a
2 3 2
a a a 2(a b c) b c
32
40. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .
bc ca ab
P.
a 3 bc b 3 ca c 3 ab
Lời giải 1 :
x 3zx (x y z) (xy yz zx) (x y z)
(x y z)
3
1 3 3
P1
3 4 4
Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT )
x a,y b,z c;x,y,z 0; .
:
2 2 2
yz zx xy
P.
x 3yz y 3zx z 3xy
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
13
13
x 3yz y 3zx z 3xy
x 3yz y 3zx z 3xy
Q. x y z 3xy 3yz 3zx
2
2
x y z
Q
x y z xy yz zx
2
x y z
xy yz zx
3
Suy ra
3
Q
4
bc
b c c a a
a
b
2
2
22
22
2
2
2
a b c 1 1 1 1 1 1 1 1
P . a
b c c a a b 3 b c c a a b 3 b c c a a b
33
2(a
bc
b
3
2242. ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) . Cho a,b,c >0 . CMR :
3 3 3
3 3 3
a b c
(a b) (b c) (c a)
3
8
Lời giải :
b c a
x; y; z ; xyz 1
a b c
3 3 3
1 1 1 3
8
(1 x) (1 y) (1 z)
M-
22
1 1 1
x,y 0
1 xy
1 x 1 y
22
xy(x y) (1 xy) 0
2
2 2 2 2
1 1 z 1 z(z 1) 1 z z 1
1 xy z 1
(
VT
1 z) (1 z) (1 z) z 2z 1
3
z Max{x,y,z} 1 yz z zx 1
y 1 z
Lời giải 1 :
2
2
2
1x
1x
x
(1 x) 1 x 1 1 x 0 1 x 0
1 1 x
P 2
Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ :
1 x 1 y 1 x y
1 , x y
1 x 1 y 1 x y
4
5
y z z x x y y z x 2 y(y z) z(z x) x
3
(x
2
y)
2
2 2 2
xz yz zx
xz xy yz (xz) (xy) (yz)
VP
y(y z) z(z x) x(x y) xyz(y z) xyz(z x) xyz(x y) 2xyz(x y z)
2
(xy yz zx)
xyz(x y z) (xy)(yz) (xz)(zy) (zx)(xy) VP
3
3
2
45. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình – 2010 ) . Cho
0:a ba b,c c, 3
22
22
2 2 2
1 3 3 3
a 1 b 1 c 1 a a b c
2 2 2
3
P a b c
2
Tìm GTLN :
Bổ đề :
2 2 2
1 a a 1 b b 1 1 (a b) (a b)
2 2 2 2
2
a b c
2 4 7 4
(a b c) (ab bc ca) 1
99
P (a b
9
c
3
)
3
49. ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) . Cho
x,y,z 0
11
x y z 1 (1 x)(1 y)(1
M
z)
Giải :
x y z t 0
t
)
f( )
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
15
15
50. Cho
a,b,c 0
4 4 4 2 2 2
3a 1 3b 1 3c 1 a b c
b c c a a b 2
HD :
4
4 4 4 4 1 3
1 a a a a3 42a 1 4a
34
Svacxo
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 1 1 1 1
6 a b c
3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b
bc
54. Cho
a,b,c 0:ab bc ca 3
. CMR :
2 2 2
a b c
abc
2a bc 2b ca 2c ab
55. Cho
a,b,c 0
. CMR :
3 3 3
2 2 2
1 a 1 b 1 c
a b c
59. Cho
(a,b,c 1;2)
. CMR :
cb
bc
b a a c
1
4b c c a 4c abab4a
60. Cho
a,b,c 0:abc 1
.CMR :
36
a b c ab bc
1
ca
61. Cho
x,y,z 0
. CMR :
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
x y z
P 4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2
y z x
64. Cho
a,b,c 0: bca 3
. CMR :
a b c ab bc ca
65. Cho
a,b,c 0:abc 1
. CMR:
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
66. Cho
x,y,z 0
. CMR :
x
1
x (x y)(x z) y (x y)(y z) z (x z)(y z)
2 2 2
2 2 2
a b c 3
2
b 1 c 1 a 1
.
70.
2a 2b 2c
3
a b b c c a
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
16
16
HD :
a
;y ;z x
bc
x
ca
yz 1
b
b c c a a b a b c
2
c)
72. Cho
0: xyx,y yzz zx, 3
22 3 2 3 23 22
P x y (xy z z 1) (y 1) (z 1)x
Giải :
73.
1
2
n 1 3 n
x1
x 7 log x 11
HD :
2
3
f (x(x) 17 lo 1) 5g ,x (0; )
2
x (0;5)
11)
2x
f '(x) 0
n
,
(x l3
n
(x 4)c ;
sao cho :
n n n
1
f(x ) f(4) f '(c) x 4 x 4
11ln3
(
2
2
11)ln
2c 2c 1
f '(c)
(c
11ln3
2 11c ln3
3
)
1
n 1 1
n
1
2n
n
1
x) 1f (x x
.
n
fx
x
f(0) 1; lim f(x)
,
(0; )
.
n
{x }
n
a(lim 1x a)
3. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 )
1
2
n
n
n 1 n
u
{u }:
uu
1
u
2010
2010 u 2010 u .u 2010.u u u
1
u
n
n1
1
S 2010 1
u
2
n
n 1 n n
u
uu
n
nn
n1
1
limlimu 20100 limS
u
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
18
18
4. ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) .
1
2
n
n
n 1 n
1 2
x
1
3
1 f(2) f(x) f(1) 2
2
1 2 n
x x , ,x;
1 2 n
,x , ,1x x2
n
{x }
2
a
a 1 a a 2
2
Ta s
2
2
n
2 1 x 21x 2 2 x 22 22
n 1 n
2
22xx
2
n
n
1
1 1
2
x2x
2
2
u
n
limu
.
6. ( Đề thi HSG Tỉnh Bến Tre năm 2010 ) .
1
n
22
n 1 n n n n
1
xx
x
{x }:
1 x xx 1
22
n n n n n n
Mincopxki
2
2
nn
Mincopxki
1 3 1 3
x x 1 x x 1 x x
2 2 2 2
1 1 3 3
x x 2
2 2 2 2
x , n 1
n
1)x
1n )(
n
limU
3
nn
U (n 1) .x
Lời giải :
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
19
19
3
33
n
n n n 1
3
n1
2
x
(n 1) n 1 n
n nx (n 1) x
xn
n
n
x
1
n
(*)
3
n
2
4(n 1)
limU lim 4
n (n 1)
.
9. ( Đề thi HSG Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) .
2
n
n
n1
n
0
n
2
x0
{x } :
x (x 3)
, n
1
0
x 1
,
2
2
x(x
f(x)
3)
13x
(1; )
22
22
x
f '(x) 0
(x 1)
x (1; ) f(x),
(3
f( ) 1
x
1
1)
k
x 1
1 2 n n 1
x x xx 1
2
n
2
aa 3
1
limx a 0 a a 1
3a
0
0 1x
,
k k k k
kk
k
2
2
k
2
k1
2
(x 3) 1)
x
1
x 2x (x
x x 0
3x 3x 1
k
0 1x
1 2 n n 1
n
(u 3a)
a
u
{u }:
u
u ,n 0,1,
3u
11. ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) .
0
2
n
nn
n1
n
1
1 2(u 1
u
n
1
1
(naa )
a
1
a
.
n
n
a
lim 2
n
13. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Dương năm 2006 ) .
n
1 n 1
2
.
n
i
n
i1
1
x
y
2
n
limy
.
HD :
2
22
n 1 n n n n n n n n
n n n 1
1 1 1
x (x 1)(x 2)(x 3) 1 x 3x 1 x 3x 1
x 2 x 1 1
x
x
1 1 1
x x x
lim
x x x
HD :
2
x 2009x
f(x) , x 1
2010 2010
x1
f(x) f(1) 1
n
x 1, n
2010x x ) x 1) 2010 2010
x1
xx
2009x 2
(x 1)(x 1) x 1 x 1
010(x x (x
16. ( Bài tương tự ) .
1
24
n
n
n 1 n
x1
):
x
x x N *
2
f(1).f(3).f(5) f(2n 1)
(x
f(2).f(4).f(6) f n
x
)
):
(2
2
nn
un.x
HD :
2
2
f(k 1) (k 1)
f(k)
(k 1
1
1)
18. Cho
n
2
22
1 2 n n n 1 n n n 1
n1
a n n 1 a n a aa a a
1
1 a
n
(1)
n
19.
n
x
1 n 1
n
2006
x 1,x 1 (n 1)
1x
.
n
(y )
i
n
2
n
i1
i
1
y
x
n
Lời giải : :
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
21
21
2
xx
f(x)
2
4x
2
x 0,
x
n
x4
)
2
x
n
{x }
n
x 0, n
.
n
n
0im ( )a l x a
2
n n n 1 n 1
n n n 1 n 1 n 1 n n n 1 n 1
2 2 2
n 1 n
n n 1 n n 1 n
x 4x x
x (x x ) x
x 2x 4x x (x x )
1 1 1
xx
xx
x .x x
x
2
.x x
1
nn
2 2 2
1 2 n 1 n n
3
n n 1 n 1
2009
6x 6sin(x
x
), n 1x
HD :
3
x
x ins x,x
6
x0
3
f(x) 6x 6sinx ,x 0
3
2
1 6(1 cosx)
6sin(x ) 6sin6x x 6x x(x )
(Sử dụng Bất đẳng thức :
3
3
x
x inx 6x xs 6sinx 0, x0
6
)
n
{x }
n
limx a 0(a )
1 2 n
x
lim
x .x x
23.
1n
n
1
2
n+ n
x = 3
(x
x = 9x +11x + 3; n 1,
:
N
)
n.
n1
n
n
n
2
n
a1
lim x a a 0 a 9a 1a 3
3
a
8
1
n
1
22
n+1 n n
u = 2008
u = u - 4013u + 2007 ; n 1, n N.
a)
n
u n + 2007; n 1, n N
.
b)
n
n
1 2 n
1 1 1
x = + + + ; n 1, n N.
u - 2006 u - 2006 u - 2006
n
limx
n
0
x
n
n
n1
x
x1
):
2l
(x
x1
ln2 1
n2 1
x
2
n
. .
n
limu
29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .
x
1
x n 0
2008
(1).
N
*
n
n
n + 1
- x
n
).
Lời giải : ( ĐÁP ÁN SỞ GD&ĐT )
N
n
(n; n + 1) (2).
n
- n =
n
x
1
2008
> 0 => x
n
> n.
=> 0 < x
n
- n <
n
1
2008
.
n
1
u , n 2
5u 13
n
limu ?
Giải :
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
23
23
31.
1
n
2
n n 1
1
x
nn
uu
1
0 lim 0
n n n
32.
1
n
2
n1
n
u
u:
2 2 1 u
u
2
1
2
, n 2
33
3.2
33.
1
n1
n
n
2
n1
u
u:
u
11
3
u
,n
u
2
3
u
, n 2
2(2n 1
u:
u
)u 1
u
i
n
n
i1
lim u
HD :
n
n
n
2
u 1 1
4
22
. Suy ra :
n1
n1
n1
n1
x
n
nn
n
1
2
22
2
n
u
lim
n
HD :
n
n
u tan
3
37.
n
(u )
n
u 2 2 2 2
1n
n
n
2
u .u u
lim
2
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
Phạm Kim Chung – www.k2pi.net – ĐT : 0984.333.030 – Mail : Tr.
24
24
38.
1
n
2
n 1 n n
n
1
b
2
):
11
bb
(b
b (n 1)
2
4
1
C
1
D
1
1
sao cho
1
MA NB
MD NB
1
D
1
.
5.
6.
a)
OD DE DF
1
SA SB SC
b)
ODC 90
10.
15
2
5
11.
1
B
1
C
1
D
1
1
1
B
1
.
1
B
1
2 2 2 0 2 2
SC 2SA.SCAC SA os120 3(x.a)c
;
2 2 2 0 2 2
SB SC 2SB.SBC os6C.c a )0 (x
2 2 2
AB BCAC
b)
SM AC
AC (SOM) AC OS
OM AC
AB SO
Suy ra :
SO (ABC)
.
Copyright: Tài liệu đại học ©