1
ĐẠI HỌC HUẾ
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA
NGUYỄN GIA ĐỊNH
NGUYỄN TRỌNG CHIẾN – NGUYỄN THỊ KIM THOA
HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC
TOÁN CAO CẤP VÀ PHƯƠNG PHÁP
DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC
luyện tập và làm cơ sở để giảng viên tham khảo khi xây dựng đề thi.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng tài liệu này chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót nhất định. Ban Giám đốc Trung tâm Đào tạo từ xa –
Đại học Huế và các tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân
thành của bạn đọc, đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên của Trung tâm
để tiếp tục hoàn thiện tài liệu này.
Trân trọng cảm ơn.
Các tác giả
45 Phần I
TOÁN CAO CẤP
. Đặc biệt, nếu
2
R
X⊂
thì ta nói
R
là
một quan hệ hai ngôi trên
X
.
1.1.2. Định nghĩa
Cho
R
là một quan hệ hai ngôi trên tập hợp
X
. Khi đó ta nói:
-
R
có tính phản xạ nếu
,
x
XxRx
∀
∈
;
-
R
có tính đối xứng nếu
1) Quan hệ “bằng nhau” (
=
) trên một tập hợp
X
tùy ý có các tính
chất: phản xạ, đối xứng, phản đối xứng và bắc cầu.
2) Quan hệ
≤
trên tập hợp N các số tự nhiên có các tính chất: phản
xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
3) Quan hệ “bao hàm” (
⊂
) trên tập hợp P
()X
gồm tất cả các tập hợp
con của
X
là một quan hệ hai ngôi có các tính chất: phản xạ, phản đối xứng
và bắc cầu.
4) Quan hệ đồng dạng trên tập hợp các tam giác có các tính chất:
phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
5) Quan hệ “nguyên tố cùng nhau” trên tập hợp N
*
các số nguyên
dương chỉ có tính chất đối xứng.
8
1.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG
(theo quan hệ
R
), kí
hiệu là
a
hay
[]
a
hay C(a).
Mỗi phần tử của một lớp tương đương gọi là một đại biểu của lớp
tương đương đó.
1.2.3. Mệnh đề
Cho
R
là một quan hệ tương đương trên tập hợp X. Khi đó mọi lớp
tương đương đều khác rỗng và hai lớp tương đương bất kì hoặc rời nhau
hoặc trùng nhau.
1.2.4. Định nghĩa
Một phân hoạch của tập hợp
X
là một họ
(
)
i
iI
X
i
iI
X
∈
của tập
hợp
X
xác định một quan hệ tương đương
R
trên
X
, sao cho mỗi
i
X
là
một lớp tương đương. Quan hệ
R
được xác định bởi:
x
Ry
nếu có
iI∈
sao
cho
,
i
x
yX∈
.
1.2.6. Định nghĩa
1, 2, 3, 4X =
và xét quan hệ hai ngôi
R
trên P
()X
như sau:
(
)
,, .
A
BXARBAB∀∈ ⇔=P
(Kí hiệu
A
để chỉ số phần tử của
A
). Dễ dàng chứng minh được
R
là một quan hệ tương đương trên P
()X
. Các lớp tương đương theo quan hệ
R
là:
{
}
0
C =∅
(tập hợp con của
}
2
1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4C =
(các tập con của
X
có hai phần
tử),
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
3
1, 2,3 , 1, 2,4 , 1,3,4 , 2,3,4C =
(các tập con của
X
có ba phần
tử),
{
}
{
}
4
1, 2, 3, 4C =
(tập con của
Dễ dàng chứng minh được
(
)
mod n≡
là một quan hệ tương đương
trên Z. Với mỗi x∈Z, tồn tại duy nhất hai số nguyên
q
và
r
sao cho
x
qn r=+
với
0 rn≤<
và khi đó
(mod )
x
rn
≡
. Do đó các lớp tương
đương theo quan hệ này là
{
}
0|qn q=∈Z
,
{
}
11|qn q=+∈Z
, ,
{
nói X là tập được sắp thứ tự bởi
≤
. Nếu
x
y
≤
, ta nói
x
đứng trước y. Nếu
x
y≤
và
x
≠ y thì ta viết
xy
<
. Tập con
YX⊂
được gọi là được sắp thứ tự toàn phần
(hay được sắp thự tự tuyến tính) nếu với mọi
,
x
yY
∈
, ta có
x
y
≤
hoặc
các số tự nhiên khác không. Ở đây, quan hệ chia hết sắp
thứ tự bộ phận tập
*
N
.
3) Quan hệ bao hàm
(
)
""⊂
sắp thứ tự bộ phận tập P
()X
gồm các tập
con của
X
.
4) Cho
X
là tập hợp được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ
≤
. Trên
n
X
ta định nghĩa quan hệ hai ngôi D như sau:
()
(
)
12 12
,,, , ,,, ,
n
nn
aA∈
là phần tử tối đại của A nếu
,;
x
Aa x x a∀∈ ≤ ⇒ =
11
Phần tử
bA∈
là phần tử tối tiểu của A nếu
,;
x
Ax b x b∀∈ ≤ ⇒ =
Phần tử
mA∈
là phần tử lớn nhất của A nếu
,;
x
Ax m
∀
∈≤
Phần tử
nA∈
là phần tử nhỏ nhất của A nếu
Phần tử nhỏ nhất của tập hợp tất cả các phần tử chặn trên của
A
(nếu
có) gọi là cận trên của
A
, kí hiệu là
sup
A
;
Phần tử lớn nhất của tập hợp các phần tử chặn dưới của
A
(nếu có)
gọi là cận dưới của
A
, kí hiệu là
inf
A
.
1.3.4. Chú ý
Phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có) của
A
là duy nhất.
Nếu A có phần tử lớn nhất thì đó cũng là phần tử tối đại duy nhất.
Tương tự, nếu A có phần tử nhỏ nhất thì đó cũng là phần tử tối tiểu duy nhất.
Cận trên của
A
thuộc
*
bởi quan hệ chia hết (
"|"
) và
{
}
1, 2,4,6, 7,8,9,10,11,12A =
. Tập
A
không có phần tử lớn nhất, nhưng có 12
phần tử nhỏ nhất và cũng là phần tử tối tiểu duy nhất là 1, các phần tử tối đại
là
7, 8, 9, 10, 11,
12
. Cận trên của
A
trong N
*
là BCNN
(
)
1, 2,4,6,7,8,9,10,11,12
và cận dưới của
A
trong N
*
là
Các phần tử tối đại của P
{
}
()\XX
là các tập
{
}
\Xa
với
aX
∈
. Cận trên
và cận dưới của
{
}
12
,,,
n
A
AA A= …
trong P
()X
lần lượt là
12 n
A
AA∪∪∪…
và
12 n
A
AA∩∩∩…
1. Xác định xem quan hệ
R
trên tập Z các số nguyên có tính phản xạ, đối
xứng, phản đối xứng, bắc cầu không? Với
x
Ry
nếu và chỉ nếu:
a)
;
x
y≠
b)
1;xy ≥
c)
1
x
y=+
hay
1
x
y=−
;
d)
x
là bội số của
y
;
d)
R
có tính phản xạ và bắc cầu.
e)
R
có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
f)
R
chỉ có tính phản đối xứng.
g)
R
có tính phản đối xứng và bắc cầu.
2. Cho tập hợp
{
}
0,1, 2,3,4,5X =⊂N
. Hãy liệt kê tất cả các phần tử của
quan hệ
R
sau trên
X
và xét xem quan hệ
R
có các tính chất nào?
a)
,,
x
yXxRy xy∀∈ ⇔+
là số chẵn.
b)
,
(
)
2,0
,
(
)
2, 2
,
(
)
2, 4
,
(
)
3,1
,
(
)
3, 3
,
(
)
3, 5
,
(
)
4,0
,
(
,
()
1, 3
,
()
1, 4
,
(
)
1, 5
,
(
)
2, 2
,
(
)
2, 4
,
(
)
3, 3
,
(
)
4, 4
,
(
)
5,5
và
yRz
kéo theo
zRx
. Chứng minh rằng quan hệ
R
là phản xạ và vòng quanh
nếu và chỉ nếu
R
là một quan hệ tương đương.
Giải (
)
⇒
Ta đã có
R
là phản xạ.
,,
x
y X xRy xRy yRy yRx
∀
∈⇒∧⇒
(do tính vòng quanh), tức là
R
có tính đối xứng.
,, ,
4. Cho
0
L
là một đường thẳng cho trước trong mặt phẳng R
2
. Một quan hệ
R
trên tập L tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng R
2
được xác định như
sau:
12 1 2 1 0
,,LL LRL L L
∀
∈⇔∩≠∅L
và
20
LL
∩
≠∅
Xác định xem
R
có là một quan hệ tương đương hay không?
Giải
R
có tính đối xứng và bắc cầu, nhưng
R
không có tính phản xạ. Do
aAB∈∩
Chứng minh rằng
R
là một quan hệ tương đương trên
X
. Hãy chỉ
ra tập hợp thương.
Giải
Từ
A
A
=
, ta có
(
)
,
A
AR
∈
hay
R
có tính phản xạ.
(
)
(
)
,,, ,
(
)
,,
A
CaAC AC R⇒=∨∈∩⇒ ∈
tức là
R
có tính bắc cầu. Vậy
R
là một quan hệ tương đương. 15
Với mỗi
A
X∈
, nếu
aA
∉
thì
(
)
,
A
BR AB
∈
⇔=
nghĩa là lớp
}
{
}
{
}
{
}
/|, |XR A A Ma A A Xa A=⊂∉∪∈∈
6. Gọi
X
là tập hợp các hàm thực biến số thực. Chứng tỏ quan hệ
R
sau
là quan hệ tương đương trên
X
:
a)
,, 0,()(), ,.
x
yXxRy C xt yt t tC∀∈ ⇔∃> = ∀∈ <R
b)
0
() ()
,, lim 0
n
t
xt yt
xy XxRy
() (),yt zt=
2
,ttC
∀
∈<R
12
min( , ), ( ) ( ),CCCxtztt⇒∃ = = ∀ ∈R
,
tC<
,
nghĩa là
R
có tính bắc cầu. Vậy
R
là quan hệ tương đương.
b)
0
() ()
,lim 0
n
t
xt xt
xX
t
→
−
∀∈ =
hay
x
t
xt yt
t
→
−
⇒=
và
0
() ()
lim 0
n
t
yt zt
t
→
−
=
0
() ()
lim
n
t
x
tzt
t
→
−
⇒
00
,, , ,, ,mn mn mn Rm n m n m n∀∈ ⇒+=+N
. 16
Chứng minh rằng
R
là một quan hệ tương đương trên N
2
. Hãy chỉ ra
tập hợp thương.
Giải
Rõ ràng
R
có tính phản xạ.
(
)
(
)
2
11 2 2
,, , ,mn m n∀∈N
(
)
(
)
11 22
,,mn Rmn
22 33
,,mn Rmn
12 21
mn mn⇒+= +
và
23 32
mnmn
+
=+⇒
12 23 21 32
mn m n m nmn
+
++=+++
()
13 31
mn mn⇒+=+
(
)
(
)
11 3 3
,,mn Rmn⇒
, nghĩa là
R
có tính bắc
cầu. Vậy
R
là một quan hệ tương đương.
*
11 2 2 11 2 2 12 21
,,, ,, ,
z
nzn znRzn znzn∀∈× ⇔=ZN
Chứng minh rằng
R
là một quan hệ tương đương trên
*
×ZN
. Hãy
chỉ ra tập hợp thương.
Giải
Rõ ràng
R
có tính phản xạ.
(
)
(
)
*
11 2 2
,,, ,zn zn∀∈×ZN
(
)( )
11 2 2
,,
)
(
)
11 2 2 2 2 3 3
,,,,
z
nRzn znRzn∧
12 21 23 32 1223 2132 123 231
;zn zn zn zn znzn znzn zzn zzn⇒=∧=⇒ = ⇒ =
nếu
2
0z ≠
thì
13 31
zn zn=
, nếu
2
0z
=
thì
(
)
12 1
00zn z
=
⇒=
và
32
0zn
=
'
,','
'
z
z
zn z n
nn
⎧
⎫
=∈×=
⎨
⎬
⎩⎭
ZN
Tập hợp thương là
()()
{
}
**
/,,Rznzn×= ∈×ZN ZN
và chính là tập
Q các số hữu tỉ.
9. Trong mặt phẳng có hệ tọa độ vuông góc, hai điểm
()
111
,Pxy
,
()
222
nghĩa là
R
là một quan hệ tương đương. Với điểm
(
)
,Pab
trong mặt
phẳng, lớp tương đương
(
)
{
}
,'(,)|Pab P xy xy c
=
=
(với
cab=
). Nếu
0c =
thì
(
)
,Pab
chính là hai trục tọa độ
0x
=
và
0y
=
. Nếu
1, 0 1, 0S −
.
10. Trên tập hợp R các số thực, xét quan hệ hai ngôi
R
sau:
33
,, .
x
yxRyxyxy∀∈ ⇔−=−R
Chứng minh rằng
R
là một quan hệ tương đương. Tìm các lớp tương
đương và tìm tập hợp thương. 18
Giải
33
,, , 0xyz x x x x∀∈−=−=R
, tức là
x
Rx
hay
R
có tính phản xạ;
33
x
yxy−=−
z−
, tức là
x
Ry
và
yRz
x
Rz⇒
hay
R
có tính bắc cầu. Vậy
R
là một
quan hệ tương đương.
{
}
()
()
{}
33
22
,|
|10.
aax xaxa
xxaxaxa
∀∈ = ∈ − = −
=∈ − ++−=
RR
R
⎩⎭
;
Nếu
2
3
a =
hay
1
3
a =−
thì
21
,
33
a
⎧
⎫
=−
⎨
⎬
⎩⎭
;
Nếu
22
33
a−<<
và
1
3
là một quan hệ thứ tự toàn phần trên
X
.
Giải
,,
x
yz X∀∈
,
() ()
f
xfx≤
hay
R
có tính phản xạ, nếu
() ()
f
xfy≤
và
() ()
f
yfz≤
thì
() ()
f
xfz≤
hay
R
có tính bắc cầu. Ngoài ra, nếu
19
hoặc
() ()
f
yfx≤
hay
x
Ry
hoặc
yRx
. Vì vậy,
R
là một quan hệ thứ tự
toàn phần trên
X
.
12. Cho tập hợp
{
}
2, 4, 6,7,8,10,11,12X =
. Hãy xác định phần tử tối đại,
tối tiểu, lớn nhất và nhỏ nhất của tập hợp
X
với quan hệ thứ tự chia hết
"|"
và tập hợp
(
X
, không có phần tử nhỏ nhất.
13. Xét quan hệ chia hết trên tập hợp N
*
và các tập con
{
}
4,8,12A =
,
{
}
2,3,4,5B =
.
a) Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất của
A
và
B
.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu của
A
và
B
.
c) Tìm các phần tử cận trên đúng, cận dưới đúng của
A
và
B
.
Giải
a)
BCNN
()
2,3,4,5 60=
,
A
và
B
lần lượt có cận dưới là UCLN
(
)
4,8,12 4=
và UCLN
()
2,3,4,5 1=
.
14. Tập
A
được gọi là sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ thứ tự
≤
nếu mọi tập
con khác rỗng của
A
bị chặn trên đều có cận trên.
a) Chứng minh rằng tập sắp thứ tự tốt là tập sắp thứ tự đầy đủ. 20
b) Chứng tỏ rằng N và R sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ
≤
trên đúng của
B
. Do đó
A
được sắp thứ tự đầy đủ bởi
≤
.
b) N là tập được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ
≤
thông thường, nên theo
Câu a)
N được sắp thứ tự đầy đủ bởi quan hệ này.
Theo nguyên lí về cận của tập các số thực
R, mọi tập con khác rỗng
của
R bị chặn trên thì có cận trên đúng. Do đó R được sắp thứ tự đầy đủ bởi
quan hệ
≤
.
Xét tập
{
}
02Bq q=∈ <<Q
thì
B
≠
∅
và có chặn trên trong Q.
Nếu
B
f
gMfRg xXfxgx fx∀∈ ⇔∀∈ =
Chứng minh rằng
R
là một quan hệ thứ tự.
M
có được sắp thứ tự toàn
phần bởi
R
hay không? Hãy xác định các phần tử tối đại và tối tiểu của
M
.
Giải
,, , ,
f
gh M x X
∀
∈∀∈
()
(
)()
f
xfx fx=
hay
f
Rf
. Do đó
R
có tính phản đối xứng;
Nếu
f
Rg
và
gRh
tức là
(
)
(
)
(
)
f
xgx f x=
và
(
)
(
)()
gxhx gx=
thì
() ()() ()
f
xgxhx f x=
; khi đó, nếu
(
)
0gx
Vì vậy,
R
là một quan hệ thứ tự trên
M
. Nếu
X
chỉ có một phần tử
x
thì
,
f
gM∀∈
, ta luôn có
(
)
(
)
(
)
f
xgx f x=
hoặc
(
)() ()
gxf x gx=
,
tức là
f
Rg
hay
2
1gx
=
. Ta có
(
)
,
f
gR∉
và
(
)
,gf R∉
. Do đó
R
có quan hệ thứ tự không toàn phần.
Chọn
aM∈
thỏa mãn
(
)
1,ax x X
=
∀∈
, thì
f
M
∀
∈
, ta có
, do đó
b
là phần tử tối tiểu duy
nhất cũng là phần tử nhỏ nhất của
M
.
22
Chương 2
ÁNH XẠ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
2.1. KHÁI NIỆM VÀ CÁC TÍNH CHẤT
2.1.1. Định nghĩa
Cho hai tập hợp
A
và
B
. Một ánh xạ
f
từ
A
vào
B
B
còn được gọi là một hàm từ
A
vào
B
và được kí
hiệu bởi
:
f
AB→
hay
f
A
B
⎯
⎯→
hay
(
)
:
f
aA fa B
∈
∈
.
Vậy một ánh xạ hoàn toàn được xác định bởi tập nguồn, tập đích và
giá trị tại mọi phần tử của tập nguồn. Vì lí do đó, đẳng thức
f
g=
giữa hai
f
, kí hiệu
f
G
.
2.1.2. Thí dụ
1) Cho
A
là một tập hợp và
B
là một tập con của
A
. Phép tương
ứng
:
f
AA→
cho bởi
()
f
aa
=
là một ánh xạ, gọi là ánh xạ đồng nhất, kí
hiệu
A
id
hay
A
I
;
gx f x=
với mọi
x
X
∈
. Ánh xạ 23
g
gọi là thu hẹp của
f
lên
X
, kí hiệu
X
gf=
. Ngoài ra, nếu có ánh xạ
:hY B→
sao cho
A
hf=
thì
h
gọi là một mở rộng của
f
.
3)
Các hàm số
2
=
∈≥RR
.
4) Cho các ánh xạ
,,:fgh →RR
xác định bởi
(
)
f
xx=
(giá trị
tuyệt đối của
x
),
()
[]
gx x=
(phần nguyên của
x
),
(
)
[]
hx x x=−
(phần lẻ
của
x
), trong đó phần nguyên của
x
là số nguyên
A
∈
,
X
là một tập con của
A
và
Y
là một tập con của
B
. Khi đó ta nói
•
(
)
f
x
là ảnh của
x
bởi
f
.
•
() ()
{
}
f
XfaBaX=∈∈
là ảnh của
X
f
baA
f
ab
−
∈=∈=
và viết đơn giản là
()
1
f
b
−
. Mỗi
()
1
af b
−
∈
gọi là một tạo ảnh của
b
bởi
f
. Khi
X
A=
ta gọi
()
f
X
là ảnh của
là các
tập con của
B
. Khi đó ta có
1)
()
()
1
.XffX
−
⊂
24
2)
()
()
1
f
fS S
−
⊂
.
3)
()()
(
)
f
XY fX fY∪= ∪
.
7)
()()
(
)
\\
f
AX f A f X⊃
.
8)
()
(
)
11
\\
f
BS A f S
−−
=
2.2 ĐƠN ÁNH – TOÀN ÁNH – SONG ÁNH
2.2.1. Định nghiã
Ánh xạ
:
f
AB→
gọi là một đơn ánh nếu với mọi
,' , 'aa Aa a∈≠
kéo theo
(
)
bfa=
hay
()
f
AB
=
. Người ta còn gọi toàn ánh
f
là ánh xạ từ
A
lên
B
.
2.2.3. Định nghĩa
Ánh xạ
:
f
AB→
gọi là một song ánh nếu
f
vừa đơn ánh vừa toán
ánh, nghĩa là với mỗi
bB∈
tồn tại duy nhất
aA
∈
sao cho
là một đơn ánh nhưng không phải là một toàn ánh. Ánh xạ
2
nn
∈
∈ZZ
không phải là đơn ánh cũng không phải là toàn ánh.
3) Ánh xạ
:f →RR
xác định bởi
3
x
x
là một song ánh, nhưng
ánh xạ
:g →ZZ
xác định bởi
3
x
x
là một đơn ánh không phải toàn ánh.
4) Ánh xạ
→RR
xác định bởi
sin
x
x
không phải là toàn ánh.
f
và
g
, kí hiệu
gf
hay gọn hơn là
gf
.
2.3.2. Thí dụ
1) Cho ánh xạ
:
f
AB→
. Khi đó,
BA
id f f id f
=
=
.
2) Cho hai ánh xạ
{
}
:\0f →RR
và
:g
+
→RR
cho bởi
()
1
f
AB→
,
:gB C→
và
:hC D→
. Khi đó ta có
() ( )
hg f h g f=
.
2.3.4. Mệnh đề
Cho hai ánh xạ
:
f
AB→
và
:gB C→
. Khi đó ta có
Copyright: Tài liệu đại học ©