TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG ÔN HỌC SINH GIỎI
MÔN GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
I . Những kinh nghiệm ôn luyện :
1. Học sinh
- Chọn học sinh có kĩ năng giải toán tốt , yêu thích bộ môn giải toán trên
máy tính cầm tay
- Trong đội tuyển nên có học sinh lớp 8 để tạo nền tảng cho năm sau
2. Giáo viên
- Là một môn thi tương đối khó, đặc biệt là trong những năm gần đây vì
vậy giáo viên phải thường xuyên tìm tòi qua tài liệu hoặc trong các đề thi cấp
tỉnh, đề thi khu vực, đề thi quốc gia. Giáo viên phải tự xây dựng cho mình kế
hoạch ôn luyện rõ ràng, chi tiết, đủ các dạng bài tập cơ bản.
- Trong quá trình ôn luyện, giáo viên nên chia nhỏ các dạng bài đế học
sinh dễ nắm bắt, và mỗi dạng bài có cách giải cụ thể và
Ví dụ:
a, Bài tập tính giá trị biểu thức có thể chia thành các dạng sau:
- Tính giá trị của biểu thức đại số
- Tính giá trị của biểu thức hình học
- Tính giá trị của biểu thức có sử dụng biến nhớ
b, Bài toán kinh tế có thể chia thành các dạng sau:
- Bài toán lãi kép
- Bài toán trả lãi
- Bài toán gửi góp
- Phải nhận dạng được những dạng bài tập cơ bản mà trong đề thi luôn có
như : tính giá trị của biểu thức, bài tập về đa thức, bài toán kinh tế
- Không được ôn tủ, mà phải ôn kĩ các dạng bài . Xem các đề thi của năm
trước để tìm tòi thêm các dạng bài tập mới.
- Luyện cho học sinh thật kĩ, học sinh phải nắm được hết các dạng bài tập
và cách giải của nó, không được mở lại phần hướng dẫn của giáo viên khi gặp
được dạng bài đã học.

437 4
99
-
=
433
99
; 3,5(26) =
3526 35 3491
990 990
-
=
Bài tập: Đổi ra phân số: a/ 3,08(078) b/ 0,(123)
c/ 4,(35) d/ 2,45(736)
e/ 0,8(945) f/ 0,82(345)
- Lựa chọn các bài tập luyện đủ các loại biểu thức như : có chứa căn, có số
thập phân vô hạn tuần hoàn, có các loại số
Ví dụ:
Bài 1 :Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác đến 0,000001)
1. A =
4 2 4
0, 8 : ( .1,25) (1,08 ) :
4
5 25 7
(1,2.0,5) :
1 5 1 2
5
0,64 (6 3 ).2
25 9 4 17
-
+ +

2 1 2,2.10
1 :
5
+
− + +
−
+

Kq: A = 10
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A =23% của
3
2
2
15 9 8
47,13 : 11 4
7 22 21
14 13
12, 49 2
25 24
 
− +
 ÷
 
 
 
− +
 
 ÷
 
 

sin 90 cot 30 cos 45 tan 20
2 7 sin108 cos32 tan 64
− − +
+
.
c, Tính giá trị của biểu thức có sử dụng biến nhớ :
- Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) hoặc tính trực tiếp
bằng nút Ans
VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x
2
-11x - 2006 tại
a) x = 1; b) x = -2; c) x =
2
1−
; d) x =
0,12345
1,23456
;
Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X:
Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1997)
Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
Rồi dùng phím
#
để tìm lại biểu thức, ấn
=
để nhận kết quả. (Ghi kết quả
là -1 904)
3
Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c)
1

+
y =
2,35
2,69
Bài tập áp dụng :
1/ Tính
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x
A
4x x 3x 5
− + −
=
− + +
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
2/
a. Tính
4 3 2
x 5x 3x x 1+ − + −
khi x = 1,35627
b. Tính
5 4 3 2
P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357= − + + − −
khi x = 2,18567
3/
x x 9 3 x 1 1
T(x) :
9 x
3 x x 3 x x
æ ö æ ö

- Đây là dạng bài tập thường gặp trong những năm gần đây, và là dạng bài
tập học sinh thường lúng túng do không nhớ công thức hoặc cách biến đổi
- Với dạng bài này học sinh phải nắm được kiến thức kĩ năng về mặt toán
học ( do không thể dùng máy tính bấm trực tiếp ), sau đó chỉ sử dụng MTCT
như công cụ hỗ trợ trong tính toán
VD: tính tổng
S =
1
1.3
+
1
3.5
+ +
1
2005.2007
S =
1
2 3+
+
1
3 4+
+ +
1
2007 2008+
2.Bài tập liên phân số:
- Giáo viên hướng dẫn học sinh theo 3 dạng:
a. Tính giá trị của liên phân số
- Tính theo thứ tự thực hiện phép tính
- Tính ngược từ dưới lên
Ví dụ: Tính

+
+

b, Tìm số chưa biết trong liên phân số

Ví dụ : Tính a, b biết (a, b nguyên dương)

- Quy trình bấm phím
-1
-1
329 64
b
= a 3
1051 329
9
- 3 = x =
64
1
9
7; b = 9
c
=Ên Sau ®ã Ên M¸y hiÖn
Ên Ên M¸y hiÖn 5
Cø bÊm tiÕp tôc ®Õn khi m¸y hiÖn 7
th × cho ta kÕt qu¶ a =
- Cho học sinh luyện tập
5
329 1
1
1051

+

Tìm a ,b ,c biết
3 12585 20052006 1
a) 9 b) a
2 1
1354 2007
10 b
1 1
a c
b d
+ = = +
+ +
+ +
c, Tìm x trong liên phân số:
- Tính giá trị của liên phân số
- Nhập biểu thức tính x
Ví dụ: Tìm x biết :
x x
4
1 1
1 4
1 1
2 3
1 1
3 2
4 2
+ =
+ +
+ +

 ÷
 ÷
+ +
 ÷
 ÷
 
+
 ÷
 

3.Bài tập về đa thức:
a, Tính giá trị của đa thức tại các giá trị cho trước của biến
Ví dụ 1: Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e
Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
a/ Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9)
b/ Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên.
Giải: Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x
2
. Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16,
Q(5) = 25.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).

5
– 15x
4
+ 85x
3
– 284x
2
+ 274x – 120.
Ví dụ 2 : Cho đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q và cho biết Q(1) = 5;
Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13).
Giải như ví dụ 7: Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3).
Ta tính được Q(10) = 3047.
Q(11) = 5065.
Q(12) = 7947.
Q(13) = 11909.
Ví dụ 3: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:- Đặt g(x) = f(x) + ax
2
+ bx + c.
Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ⇒ a, b, c là nghiệm của hệ phương
trình:
3 0
9 3 11 0

- Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x -
3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x
0
) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x -
5)(x - x
0
) + x
2
+ 2.
Ta tính c: A = f(-2) + 7f(6) = đượ
Ví dụ 4: Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx +d có P(1)=7 ; P(2)=28 ;
P(3)=63. Tính P = (P(100) + P(-96)):8
Giải : Đặt Q(x) = P(x) - 7x
2
.
Làm tương tự ta có Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-r) và P(x)=Q(x) + 7x
2
P(100)= 99.98.97.(100 - r ) + 7.100
2
P(-96)= (-97).(-98).(-99).(-96-r) + 7.(-96)
2
b/ Tìm dư của 2 đa thức f(x) và g(x) và điều kiện chia hết:
7
a, Lý thuyết

2 2 2 2 8
− − − − −
       
= + + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
- Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax+b ta luôn được P(x) = Q(x)(ax +
b)+ m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(
b
a
−
)
VD3: Tìm a để
4 3 2
x 7x 2x 13x a+ + + +
chia hết cho x + 6.
Ta có: a = -f(-6) = 222
Ta có thể thực hiện: Ta nhập biểu thức : X
4
+ 7X
3
+ 2X
2
+ 13X +A = 0
Ấn: SHIFT SOLVE = X ? nhập -6
Ấn tiếp: SHIFT SOLVE máy hiện: A = 222. Vậy : a = 222.
Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x
4
– 9x
3

= 2 vào f(x), ta được f(-1) = 0
⇔
k = - 30.
c/ Tìm thương của phép chia đa thức: Trong trường hợp chia một đa thức
P
n
(x) cho một nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau:
Giả sử khi chia đa thức P
n
(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+ … + a
1
x + a
0
cho nhị
thức x – m ta được đa thức Q
n
(x) = b
n-1

b
n-1
= a
n
b
n-2
= m. b
n-1
+ a
n-1
. . . . . .
b
0
= m.b
1
+ a
1
và số dư r = m.b
0
+ a
0
8
a
n
a
n-1
a
n-2
… a
1

x) 2x 3x 4x 5= − + −
chia cho
g(x) x 2= +
Ta ghi:
2 0 -3 4 -5
-2 2 -4 5 -6 7
Vậy đa thức thương Q
3 2
(x) 2x 4x 5x 6= − + −
và số dư r = 7
Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức
4 3 2
f(x) 3x 5x 4x 2x 7= + − + −
chia
cho
g(x) 4x 5= −
3 5 -4 2 -7
5
4
3
35
4
111
16
683
64
6
87
256
Vậy đa thức Q

x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỷ
p
q
thì p là
ước của a
0
, q là ước của a
0
”.
Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có a
1
= 1 thì nghiệm

nhân tử được nữa.
Vậy x
3
- 5x
2
+ 11 x - 10 = ( x - 2)(x
2
- 3x + 5)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x
5
+ 5x
4
– 3x
3
– x
2
+58x - 60 thành nhân tử?
Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).
Ta có Ư(60) = {
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±
5;
±

2
+ 26x - 20
Nghiệm nguyên là ước của 20.
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {
±
1;
±
2;
±
4;
±
5;
±
10;
±
20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho
(x + 5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho
(x+5).
Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x
3
- 3x
2
+ 6x - 4)
Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của
h(x) = x
3
- 3x
2

1
x
-
2
2014,2015
.
1
x
+
2011,2012
2014,2015
= at
2
- bt +c = a.(t -
2
b
a
)
2
+ c -
2
4
b
a
( với a =
2013,2014
2014,2015
, b =
2
2014,2015

* Tớnh trờn mỏy: 12578.14375 = 180808750 12578.103.14375 =
180808750000
* Tớnh trờn mỏy: 963.14375 = 13843125
T ú ta cú: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125
Hoc vit: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 v cng trờn mỏy:
808750000 + 13843125 = 822593125 A = 180822593125
b) Giỏ tr chớnh xỏc ca A l: 180822593125
c) B =123456789
2
= (123450000 + 6789)
2
= (1234.10
4
)
2
+ 2.12345.104.6789 +
6789
2
Tớnh trờn mỏy: 12345
2
= 152399025; 2x12345x6789 = 167620410
6789
2
= 46090521
Vy: B = 152399025.10
8
+ 167620410.10
4
+ 46090521
= 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521=

Vy 999 999 999
3
= 999 999 997 000 000 002 999 999 999.
Bi 3: Tớnh chớnh xỏc ca s A =
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
2
12
10 2
3
Gii: - Dựng mỏy tớnh, tớnh mt s kt qu:
2
10 2
34
3
+
=
v
2
2
10 2

+
=
v
2
4
10 2
11115556
3

+
=
11
Nhận xét:
+
k
10 2
3
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4

æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç

1
.r
2
.
2. Nếu r
1
.r
2
> b thì số dư của phép chia ac cho b là số dư của phép chia r
1
.r
2
cho b.
3. Nếu r
1
+ r
2
< b thì a + c chia cho b dư r
1
+ r
2.
4. Nếu r
1
+ r
2
> b thì số dư của phép chia a + c cho b là số dư của phép chia r
1
+ r
2
cho b.

N
º
R(modB)
Thì R chính là số dư của phép chia trên.
Để giải dạng toán này ta cần có một số kiến thức về quan hệ đồng dư.
1. Định nghĩa quan hệ đồng dư
Cho 2 số nguyên A và B. Ta nói A có quan hệ đồng dư theo modul M với B,
kí hiệu là
ºA B(modM)
khi và chỉ khi M là ước số của (A – B), trong đó M là
số nguyên dương
Ví dụ:
º7 2(mod5)
;
º
5
2 4(mod7)
2. Một số tính chất
i.
< =>º MA 0(modM) A M
ii.
º º ºA B(modM); B C(modM) => A C(modM)
iii.
± ±º º ºA B(modM) => A C B C(modM); A.C B.C(modM)
iv.
+º º º ºA B(modM); C D(modM) => A + C B D(modM); A.C B.D(modM)
v.
º º
N N
A B(modM); => A B (modM)

2
1991 289(mod2008)
;
º
3
1991 1111(mod2008)
=>
º º
5
1991 289.1111(mod2008) 1807(mod2008)

=>
º º
10 2
1991 1807 (mod2008) 241(mod2008)

=>
40 4
1991 241 (mod2008) 713(mod2008)º º
Vậy số dư của phép chia 1991
40
cho 2008 là 713
Ví dụ 3: Tìm số dư của 3
2012
2
chia cho 11
Dùng máy tính thử ta có 3
5
≡
1(mod 11)

.3(mod11)
≡
3(mod11)
Vậy số dư của phép chia bằng 3
c, Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)
- Phương pháp giải toán
Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của hai số nguyên dương A và B (A < B).
Thuật toán: Xét thương
A
B
. Nếu:
1. Thương
A
B
cho ra kết quả dưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết quả
dưới dạng số thập phân mà có thể đưa về dạng phân số tối giản
a
b
(a. b là các
số nguyên dương) thì:
ƯCLN(A, B) = A:a = B:b ; BCNN(A, B) = A.b = B.a
2. Thương
A
B
cho ra kết quả là số thập phân mà không thể đổi về dạng phân
số tối giản thì ta làm như sau: Tìm số dư của phép chia
A
B
. Giả sử số dư đó là
R (R là số nguyên dương nhỏ hơn A ) thì:

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN của 3995649 và 15859395
Giải: Ta có:
=
3995649
0,2519424
15859375
Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Vậy ta phải
dùng phương pháp 2.
Số dư của phép chia
15859375
3995649
là 3872428. Suy ra:
ƯCLN(15859375, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428)
Ta có:
3872428
3995649
= 0,9691612051
Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta
tiếp tục tìm số dư của phép chia:
3995649
3872428
. Số dư tìm được là 123221. Suy
ra:
ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221)
Ta có:
=
123221 607
3872428 19076
. Suy ra:
ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203,

được:
1 2
1 2
,
k
ee e
k
n p p p=
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p
1
< p
2
< < pk
Khi đó số ước số dương của n được tính theo công thức:
τ
(n)
= (e
1
+ 1) (e
2
+ 1) (ek + 1)
* Thuật toán tìm ước số nguyên tố của số a
a shift sto A
A/3 =
Ấn tiếp A/(A/Ans + 2) = = = = …. kiểm tra , khi số trên màn hình hạ xuống
dưới giá trị của căn A thì ngưng. Nếu không cố số nguyên tố nào xuất hiện
trên dòng kết quả của màn hình thì số đó là số nguyên tố.
* Bài tập
Bài toán 1: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:


÷
3
=
(48273,66667)

tiếp tục chia cho các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta đều nhận được A
không chia hết cho các số đó. Lấy A chia cho 97, ta được:
ANPHA

A

÷
97
=
(1493)
Vậy: 144821 = 97 x 1493
để kiểm tra xem 1493 có là hợp số hay không ta chỉ cần kiểm tra xem 1493 có
chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn
1493 40<
hay không.
- Thực hiện trên máy ta có kết quả 1493 không chia hết cho các số
nguyên tố nhỏ hơn 40 ⇒ 1493 là số nguyên tố.
Vậy A = 215
2
+ 314
2
có ước số nguyên tố nhỏ nhất là 97, lớn nhất là
1493.
Bài toán 2: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:

Áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là:
τ
(A)
= 11.6.3.2.2.2 = 1584
Bài toán 5: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm
2004):
Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của:
N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004
Giải
- Phân tích N ra thừa số nguyên tố, ta được:
N = 2
5
x 3
4
x 5
5
x 7 x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977
áp dụng định lí 2, ta có số các ước dương của N là:
τ
(N)
= 6 x 5 x 6 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 46080
e, Tìm số tự nhiên theo các điều kiện cho trước:
* Lý thuyết
Các dấu hiệu chia hết
Giả sử số tự nhiên n =
011
aaaa
kk −
18
• n

3 ( hoặc 9)
⇔
a
0
+ a
1
+ a
k
M
3 ( hoặc 9 )
• n
M
11
⇔
(a
0
+ a
2
+ +) – (a
1
+ a
3
+ )
M
11
( Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu của tổng các chữ số thứ chẵn
và tổng các chữ số thứ lẻ ( tính từ phải sang ) chia hết cho 11 ).
* Bài tập
Bài 1: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:
1 2 3 4x y z

chia hết cho 7 là 1020334, thương là
145762
Bài 2: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:
19
1 2 3 4x y z
chia hết cho 13.
Đáp số: - Số lớn nhất dạng
1 2 3 4x y z
chia hết cho 13 là 1929304
- Số nhỏ nhất dạng
1 2 3 4x y z
chia hết cho 13 là 1020344
Bài 3: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004)
Tìm tất cả các số n dạng:
1235679 4N x y=
chia hết cho 24.
Giải
- Vì N
M
24 ⇒ N
M
3 ; N
M
8 ⇒ (37 + x + y)
M
3 ;
4x y
M
8.
⇒ y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.

hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai
thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
20
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x
cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210.
Giải
- Từ giả thiết, ta có: x = 393.q
1
+ 210 ⇒ x -210 chia hết cho 393
x = 655.q
2
+ 210 ⇒ x -210 chia hết cho 655
⇒ x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ 5 ≤ k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 6: Tìm các chữ số x, y, z để
579xyz
chia hết cho 5, 7 và 9.
Giải
- Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ
số x, y, z sao cho

Vậy ta có đáp số sau:
21
x y z
2 8 5
6 0 0
9 1 5
Bài 7: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
Giải
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lượt n = 0, 1,
2, ta được n = 0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Chứng minh với mọi n ≥ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật
vậy:
(2n + 7)
M
(n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)]
M
(n + 1) ⇒ 5
M
(n + 1) ⇒ n ≤
5.
Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4.
a) Tương tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
g, Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa
* Lý thuyết
- Để tìm 1 chữ số tận cùng của A
n
ta tìm số 0
≤

n
22
Ta có nhận xét sau
a
20k
≡
00 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 0
a
20k
≡
01 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 1,3,7,9
a
20k
≡
25 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 5
a
20k
≡
76 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 2,4,6,8
- Tìm ba chữ số tận cùng của số a
n
a
100k
≡
000 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 0
a
100k
≡
001 (mod 1000) nếu a



≡
76.2
19
(mod 100)
≡
88 (mod 100)
 A
≡
88.7 (mod 100) => A
≡
616 (mod 100)
Vậy hai chữ số cuối của A là 16
Bài 2: Tìm 3 chữ số tận cùng của
2003
9
2
Giải
Ta có 9
2000
≡
001 (mod 1000) => 9
2003

≡
001.9
3
(mod 1000)
≡
729 (mod 1000)

Giải
Ta có:
( ) ( )
2 4 2
2011 4121 mod10000 ; 2011 4121 2641 mod 10000≡ ≡ ≡
( ) ( )
8 2 10
2011 2641 4881 mod10000 ;2011 4121 4881 4601 mod 10000≡ ≡ ≡ × ≡
( ) ( )
20 2 40
2011 4601 9201 mod 10000 ; 2011 8401 mod10000≡ ≡ ≡
( ) ( )
80 100
2011 6801 mod 10000 ; 2011 6001 mod 10000 ;≡ ≡
( ) ( )
200 1000
2011 2001 mod 10000 ; ; 2011 1 mod10000 ;≡ ≡( )
( ) ( )
2
2010 10 1000
2011 2011 2011 4601 1 mod10000 4601 mod10000= × ≡ × ≡

Vậy:
2010
2011A =
có bốn chứ số cuối là: 4601
h, Tìm chữ số thứ k (k

Giải
a) Số
1
0,027027 (027)
37
A = =
tuần hoàn chu kỳ 3 chữ số 027.
Vì 2005 ≡ 1 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của A là: 7
b) Số
1
0,0243902439(02439)
41
B = =
tuần hoàn chu kỳ 5 chữ số 02439.
Vì 2005 ≡ 0 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của B là: 9
c) Số
10
0,(1960784313725490)
51
C = =
TH chu kỳ 16 chữ
số:1960784313725490
Vì 2005 ≡ 5 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của C là: 7
d) Số
1
0,(020408163265306122448979591836734693877551)
49
D = =

tuần hoàn chu kỳ 42 chữ số