Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC
“GIẢI BÀI TẬP TOÁN”
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Q
ua quá trình học toán, rồi dạy toán tôi đã cảm nhận ở học sinh và học sinh
của mình nhiều khi rất vất vả trong việc giải toán. Nhiều em học sinh đã rất
khổ tâm khi không giải được những bài toán mà thầy cô cho về nhà, nhất là
những bài toán trong các kì thi, kiểm tra vì thời gian có hạn.Tự kiểm điểm
thấy những em đó đã cố gắng học toán và nắm chắc kiến thức và cũng đã
“xoay” đủ mọi cách nhưng cuối cùng vẫ bế tắc không tìm ra lời giải. Khi
được xem lời giải của sách giáo khoa hoặc thầy cô giáo thì các em cảm thấy
rất tiếc vì bài toán không phải là khó.Về nguyên tắc thì các kiến thức cần
vận dụng đều là kiến thức cơ bản đôi khi bài toán rất đơn giản ngoài sức
tưởng tượng của các em. Nguyên nhân của sự bế tắc đó là người giải toán
chưa có kinh nghiệm phân tích suy nghĩ tìm lời giải bài toán. Như vậy thuộc
lý thuyết hoàn toàn chưa đủ mà phải vận dụng các kiến thức đó như thế nào
để có hiệu quả.Vì vậy người “ giải toán” cần nắm được phương pháp chung
tìm lời giải bài toán. Biết vận dụng linh hoạt phương pháp đó. Rồi mỗi bài
toán lại có cách giải riêng muôn hình muôn vẻ. Thời gian học thì hạn chế
nên người học toán cần phải biết rèn luyện phương pháp suy nghĩ đúng đắn
và biết đúc rút ra kinh nghiệm. Sau đây tôi xin nêu một vài kinh nghiệm dạy
học: “ Giải bài tập toán ”.
Thật ra kinh nghiệm giải toán vô cùng phong phú song trong phạm vi nhỏ
hẹp tôi chỉ xin nêu ra một số khía cạnh:
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 1 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
 Cách học, ghi nhớ, vận dụng kiến thức cơ bản

quanh có dạng hình chữ nhật
* Khi dạy về định lý cần nắm vững 4 bước:
Bước 1: Hình thành biểu tượng < khái niệm phải chứng minh >
Bước 2: Khái niệm được chứng minh được giới thiệu rõ ràng có hệ thống
dưới dạng giả thiết, kết luận.
Bước 3: Dùng phân tích đi lên để tìm đường lối chứng minh
Bước 4: Sử dụng các phương pháp chứng minh và quy tắc suy luận để
chứng minh.
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 3 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
* Khi dạy học giải bài tập toán (4 bước)
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán
Bước 3: Thực hiện chương trình
Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm:
- Kiểm tra các bước giải
- Khai thác các cách giải dẫn đến bài toán mới
- Đặc biệt hoá, khái quát hoá
Nếu như giáo viên áp dụng tốt các phương pháp này một cách sáng tạo
và phù hợp với từng đối tượng học sinh thì sẽ thu được hiệu quả cao.
2, Để khắc sâu định nghĩa khái niệm, định lý, ta cần lưu ý:
- Đơn giản hoá khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh hiểu
bản chất.
- Hướng dẫn học sinh cách nhớ qua từng khái niệm, từng bài
( nhớ dạng tổng quát phát biểu thành lời )
- Dùng minh hoạ hình ảnh, liên hệ thực tế sinh động.
Tôi xin nêu một vài ví dụ dạy Đại số lớp 8 phần hằng đẳng thức I
Bước 1: Giáo viên (GV) khẳng định cho học sinh (HS) sự tồn tại của hằng

= a
2
+ 2a + 1
4, ( a + )
2
= a
2
+ a +
5, ( 2m+n)
2
= 4m
2
+ 2mn + n
2
6, ( 3x+y)
2
= 9x
2
+ 6xy + y
2
Bài 2: Khai triển tiếp (nâmg cao)
1, ( a+b+1)
2
= ? a
2
+ b
2
+2ab + 2a + 2b tại sao?
2, ( a + b+ c)
2

+ 10a +1 = ?
7, m
2
+n
2
–2mn - a
2
+ 2ab - b
2
= ?
Bước 4: Củng cố, liên hệ thực tế, ích lợi của hằng đẳng thức 1
Bài 1: Tính nhanh
1, 51
2
+2.49.51+ 49
2
= ?
2, 23
2
+ 17
2
+ 46.17 = ?
3, 273
2
+454.273 + 227
2
= ?
5, 2004
2
+12.2004 + 36

Phương pháp 1: Điểm đó (các điểm đó) cách đều 1 điểm cố định, một
khoảng không đổi. ( Dựa vào định nghĩa đường tròn )
Phương pháp 2: Điểm cách tâm của đường tròn 1 khoảng đúng bằng bán
kính ( d = R)
Phương pháp 3: Điểm nhìn 1 đoạn thẳng dưới một góc vuông ( quỹ tích )
Phương pháp 4: Tứ giác chứa 4 điểm nội tiếp đường tròn ( chương 2 ) mới
áp dụng.
Phần minh hoạ bài tập. Bài tập SGK:
Ngoài ra có thể bổ xung 1 số bài tập khác như sau:
Bài 1:

Khai thác:
- Tìm hiểu bài toán: cho gì? c/m?
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 6 -
∆ ABC Có MB= MC; MD AB;
ME AC, I ε AB/ DB = DI
K ε AC/ EK = EC
Gt
Kl
4 điểm B, I, K, C ε 1 đtròn
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
- Xác định dạng toán c/m gì? Dạng 1
- Nêu các phương pháp c/m
- Chọn phương pháp nào? <p1> Tức là cần c/m gì
MB = MI = MK = MC = BC không đổi
- C/m như thế nào?
∆ MBI cân tại M ?
∆ CMR cân tại M ?

tương đối.
Phương pháp 1: Đường thẳng a và đường tròn (O;R) có một điểm
chung nhất.
Phương pháp 2: Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a đúng
bằng bán kính (d = R)
Phương pháp 3: Đường thẳng a vuông góc với bán kính tại mút
thuộc đường tròn.
Phương pháp 4: Hệ thức MT
2
= MA. MB < đối với HS giỏi> có
hình vẽ minh hoạ.
Các phương pháp này GV thường xuyên kiểm tra. Sau đó nên
có các bài tập củng cố minh hoạ cho các dạng GV phân tích tìm
đường lối, giải mẫu, HS áp dụng GV lại sửa sai.
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 8 -
2
BC
2
1
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
Bài 1:
2. Tìm hiểu bài toán: Cho gì ? C/M gì ?
Câu a:
? Xác định dạng toán: c/m đthẳng là tiếp tuyến
? Chon phương pháp c/m : phương pháp 3 (đthẳng bkính tại mút
ε đtròn )
? Tức là cần c/m gì?
? C/m như thế nào Khi đó - HS trình bày (lớ chọn)

Ở đây tôi chỉ muốn nhấn mạnh việc áp dụng lý thuyết vào giải
toán như thế nào chứ không trình bày cách giải. Với phương châm
dạy như vậy các định nghĩa, khái niệm, định lí gắn với các dạng
toán, và trong mỗi dạng lại củng cố đến các định nghĩa, định lí liên
quan. Nếu rèn HS liên tục trong các giờ học, các em học tập sẽ tiến
bộ hơn. Nhất là môn hình học mà đa số HS thường sợ học hơn, kĩ
năng kém hơn.
II. CÓ PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI
Theo tôi đây là một khâu quan trọng của việc giải toán như tôi
trình bày ở phần I. Khâu này có 4 bước:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
HS cần phải đặt ra câu hỏi : “Bài toán cho cái gì ? ” , “Cần cái
gì ? ” , “Mối liên quan giữa cái đã cho và cái phải tìm như thế
nào”. Nếu HS cứ đọc đề bài một cách tràn lan, không có điểm nhấn
về các đơn vị kiến thức thì dễ dẫn việc lựa chọn lời giải sai.
Qua thực tế giảng dạy, dự giờ tôi đã gặp rất nhiều trường hợp
xin lấy một số ví dụ như sau: Khi dạy đại số lớp 9 phần “ giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ” là bài toán
rất khó với HS đặc biệt HS trung bình, yếu. GV cần hướng dẫn cho
các em cách tìm hiểu, tóm tắt bài toán nhằm nêu bật các biểu thức
toán học mà trên cơ sở đó HS có thể lập được phương trình, hệ
phương trình.
Ví dụ 1: Bài 2 (Tr 68) Đại số 9
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 10 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
Đề bài: “Hai số hơn kém nhau là 12 đv, nếu chia số nhỏ cho 7, chia
số lớn cho 5 thì được thương thứ 1 kém thương thứ 2 là 4 đv. Tìm 2
số đó.”

A
+ 15= 2.v
B

v
A
= ?
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 11 -
7
sonho
5
solon
7
sonho
5
solon
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
? Bài toán hỏi gì ( Tách câu hỏi )
v
B
= ?
? Chọn ẩn như thế nào ( trực tiếp )
Gọi v
A,
v
B
lần lượt là x, y (đv, đk)
? Lập phương trình (1) x + 15 = 2y (1) ? Tại sao (tóm tắt)

? Nêu cách vẽ hình vuông ( GV vẽ )
? Lấy các điểm A’, B’, C’, D’ như thế nào ( có 2 cách )
- Điểm thuộc cạnh hình vuông
- Điểm nằm ngoài cạnh hình vuông (thuộc phần kéo dài)

Bài toán cho các đoạn bằng nhau ta nghĩ đến điều gì? (c/m
các tam giác bằng nhau suy ra các đoạn thẳng = nhau, góc =
nhau )
Nêu p
2
c/m tứ giác là hình vuông ? Chọn phương pháp nào?
- Hình thoi có một góc vuông Tứ giác có 4 cạnh bằng
nhau
Có 1 góc vuông
Khi trình bày c/m chỉ xét 1 hình vẽ a ( ở hình vẽ b tương tự )
Ví dụ 4: Bài 2 – TR 19 – Hình học 9
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 13 -
Nửa (O; ) Ax AB tại A
By AB tại B
M ε ; OM CD tại M; BC x
AD tại N
Gt
Kl
1, MN AC
2, CD.MN = CM.DB
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
H/S đọc, nêu cách vẽ hình (hoặc gọi HS vẽ)? Ghi gt, kl
Câu 1: ? Xác định dạng toán: C/m 2 đường thẳng song song

? C/m A’B’C’D’ là hình thoi ta cần chứng minh gì
? Sơ đồ như sau (ghi từ dưới lên)
Xét ∆A’BB’; ∆B’CC’; ∆C’DD’; ∆D’AA’
Có
AA’ = BB’ = CC’ = DD’ (gt) Theo chứng minh trên
B = C = D = A = 1v (gt)
A’B = B’C = C’D = D’A ∆ C’DD’ = ∆ D’AA’
∆A’BB’ = ∆ B’CC’ = ∆ C’DD’ = ∆ D’AA’ D’
3
= A’
1
; A’
1
+ D’
1
=
1v
A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’A’ D’
1
+ D
3
= 1v
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 15 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
A’B’C’D’ là hình thoi A’D’C’ = 1v (D’
2
= 1
v)

DB
NA
ND
=
NA
ND
MC
MD
=
BD
MN
CD
CM
=
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
dắt như thế nào, lập luận ra sao. Giáo viên làm mẫu một số ý, bài
với lời giải chuẩn mực ngắn gọn đủ ý, lập luận chặt chẽ, chính
xác.
Nếu là bài hình sơ đồ đánh số thứ tự từ trên xuống dưới gọi
HS tự trình bày GV bổ xung, sửa chữa, rèn lập luận chứng minh,
hoặc gọi HS lên bảng trình bày, cô giáo tổ chức sửa sai ( gọi HS
nhận xét sửa bài cho bạn, cho bài tương tự để HS luyện củng cố
kĩ năng, kiểm tra ngắn, kiểm tra giấy nháp ).
Có nhiều em HS tìm ra lời giải rất nhanh. Nhưng kĩ năng
trình bày hạn chế do vậy thi cử, kiểm tra điểm sẽ không cao.
Còn có HS trung bình, yếu thì khâu này càng khó chẳng biết bắt
đầu từ đâu. Do vậy tôi rất chú ý đến việc trình bày lời giải. Cần
dạy cho các em từng kĩ năng nhỏ nhặt nhất vẽ hình vào vị trí nào
? To hay nhỏ ( tuỳ theo bài toán ). Ví dụ nếu bài toán cho đtròn

Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm các công việc sau:
1, Kiểm tra các bước giải
2, Khai thác các cách giải
3, Đặc biệt hoá nội dung bài toán
Ví dụ 4: “Cho tứ giác ABCDcó M, N là trung điểmcủa các
cạnh AB, CD Chứng minh rằng MN ≤ ”
? Phân tích tìm lời giải
? Kiểm tra các bước giải
? Từ điều cần chứng minh biến đổi một chút ta được gì: MN ≤
? Chứng minh MN ≤ tổng của 2 đoạn thẳng ta nghĩ đến cách
chứng minh nào ?
- So sánh1 cạnh của tam giác với 2 cạnh kia
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 18 -
2
BCAD
+
2
BCAD
+
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
? ∆ đó như thế nào: Tạo ra 1 ∆ có 1 cạnh là MN
và 2 cạnh kia bằng một nửa canh AD, BC
? Cạnh có độ dài bằng nửa AD, BC
là đường nào (đường trung bình của ∆ ACD, ABC)
? Hãy tạo ra đường trung bình của ∆. Lấy I là trung
điểm của AC nối MI, NI
? Trình bày lời giải như thế nào (GV hướng dẫn) HS tự trình bày.
Khi HS trình bày xong cách giải, GV khích lệ các em tìm cách khai

1 tứ giác là hình thoi - hbh + 2 cạnh kề = nhau (c2)
- hbh có 2 đ/c vuông góc (c3)
- tứ giác có 4 cạnh = nhau (c4)
? So sánh cách nào ngắn nhất,, hay nhất ()c1
? Khai thác thêm bài toán: c/ minh
1, ED BC
2, ED AM
3, Tứ giác ADME có là hình vuông không?
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 20 -
gt
kl
∆ABC (AB = AC); MB = MC
ME AC ; MD AB
E ε AB ; D ε AC
Tứ giác ADME là hình thoi
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
4, Nếu có cần thêm điều kiện gì? Hoặc
∆
ABC cần có điều kiện
để tứ giác ADME là hình vuông? Ta thay đổi điều kiện bài toán
như thế nào?
- Cho ∆ABC vuông cân tại A
Ví dụ 3: Khi dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 (HS
đã quen). Sang lớp 9 ta có thể liên hệ dẫn dắt chuyển dạng bài tập
để HS vận dụng nhanh, dễ hiểu.
Lớp 8
1, x
2

ABC là tam giác thường (h.c)
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 21 -
2
)1(12 +=++ xxx
)1)(1(1 ++=+++ yxyxxy
2
)1(12 +=++ xxx
)3)(2(65
2
yxyxyxyx ++=++
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
(h.a) (h.b) (h.c)
Trực tâm trùng với
đỉnh B OK là
đường TB. ∆ABC
OK =
Điểm O H
∆ABC đều O là trọng tâm

OK =
Tạo ra ∆AFH có OK là
đường trung bình
OK =
Ví dụ 5 : “Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì của
một tam giác đều tới các cạnh của nó là một số không đổi”.
Sử dụng phương pháp đặc biệt hoá chọn 3 vị trí điểm M.
1, M trùng với đỉnh A của tam giác
Khi đó khoảng cách từ M tới 2 cạnh AB, AC bằng 0

∆
ABC: Ta cần chứng minh
MI + MK + MJ Là không đổi
Qua M kẻ đường thẳng BC cắt AH tại N
AB, AC tại Q, R ∆ABC đều
Khi đó suy ra M ε 1 cạnh của ∆ AQR
Ta có: MI + MJ = AN; MK = NH
Nên MI + MJ + MK = AN + NH = AH
Tóm lại: K/cách từ 1 điểm bất kì của 1 ∆ đều tới các cạnh của nó
là một số không đổi đúng bằng độ dài đường cao.
III, RÈN LUYỆN ÓC PHÂN TÍCH MỘT BÀI TOÁN
Gặp một bài toán điều trước tiên đặt ra là nên dùng phương pháp nào để
giải nó. Muốn vậy phải biết cách phân tích bài toán. Xác định xem bài toán
ấy thuộc loại toán nào, có liên quan gì tới các bài toán đã biết. Từ đó mới
quyết định sẽ sử dụng những kiến thức nào để giải nó. Nhất là với những bài
toán có ý nghĩa thực tế ta có cách phân tích bài toán khéo léo mới tìm ra lời
giải đúng.
Ví dụ 1: “Một bức tường cao 10 mét. Một con sên bò từ dưới chân tường
lên. Ban ngày nó lên cao được 3 mét, ban đêm nó lại tụt xuống 2 mét. Hỏi
con sên leo hết bức tường đó mất mấy ngày, mấy đêm ? ”
? Khi phân tích bài toán ta cần chú ý dữ kiện gì
? “ Ban ngày nó leo cao 3 m, ban đêm nó lại tụt xuống 2 m ”. Như vậy 1
ngày ? 1 đêm con sên leo được bao nhiêu (1 mét)
? 7 ngày, 7 đêm con sên leo lên được bao nhiêu (7m)
? Còn 3 mét nữa con sên leo mất bao lâu 1 ngày
? Tổng cộng là mấy ngày? Mấy đêm? (8 ngày, 7 đêm)
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 23 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *

phân tích thấy: “Mấu chốt của bài toán ở chỗ nào? ” Đó là: “ Chu vi HCN
không đổi ” do đó suy ra lượng tăng và lương giảm phải bằng nhau.
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 24 -
45
yx
=
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
? Gọi ẩn như thế nào:
- Gọi chiều dài của HCN là x (m)
- Chiều rộng của HCN là y (m) (đk: x,y> 0;x,y <108)
? Tính lượng giảm:
- Vì chiều dài giảm đi 20 % nên lượng giảm là x/5 (m)
? Tính lượng tăng:
- Tăng chiều rộng lên 25 % thì lượng tăng là y/4 (m)
? Lập phương trình (1):
2 (x + y ) = 216 (1)
? Lập phương trình (2):
Mà chu vi HCN không đổi nên lượng tăng và lượng giảm bằng nhau ta
có phương trình:

(2)

? Lập hệ phương trình: Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình
2( x + y ) = 216

Đến đây HS giải dễ dàng.Vì vậy ta cần lưu ý cho HS đọc kĩ, dạy các
em tóm tắt bài toán, phân tích dữ kiện bài toán, liên tục đặt ra các câu hỏi
kích thích tư duy: “Cho cái này tìm được cái gì?”