Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Phƣơng pháp đổi biến số
Quy tắc :
- Đặt ẩn phụ
- Đổi cận, lấy vi phân 2 vế
- Chuyển tích phân cần tính sang tích phân theo biến mới
Dạng I. Đổi biến số dạng 1
Bài 1: Tính tích phân
2
1
0
sin2 3cos
2sin 1
xx
I dx
x
0
tan
os2
x
I dx
cx
(ĐHKA – 2008) Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 6. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 6. Các phương pháp tính tích phân (phần 1) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 6. Các
phương pháp tính tích phân (phần 1), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
(ĐHKB – 2012)
4
2
1
ln
(2 ln )
e
x
I dx
xx
(ĐHKB – 2010)
ln5
5
ln3
23
xx
dx
I
ee
(ĐHKB – 2006)
1
6
2
6
9
0
2 1 4sin3 . os3I x c xdx
2
10
0
sin2 sin
1 3cos
xx
I dx
x
(ĐHKA – 2005)
Đổi biến số loại I : dạng 2
22
( 0)a x a
Đặt
sin , ;
22
x a t t
I dx
x
2
2
4
2
1
4 x
I dx
x
Đổi biến số loại I : dạng 3
22
;0
dx
a
ax
Đặt
a tan , ;
22
2
2
2
0
4
dx
I
x
1
3
22
1
(1 )
dx
I
x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 7. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
ln ( )
()
f x u
P x dx dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1. (ĐHKD – 2010)
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
2. (ĐHKD – 2008)
2
3
1
ln x
Dạng II:
()
()
( ).
fx
b
fx
a
e
P x dx
a
đặt
()
()
()
fx
fx
P x u
e
dx dv
a
0
2
3
1
3. 1
x
I x e x dx
1
0
4. .2
x
I x dx
Dạng III:
( ). (sin ,cos )
b
a
P x R x x dx
, đặt
()
(sin ,cos )
3.(ĐHKB – 2011)
3
2
0
1 sin
os
xx
I dx
cx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 8. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 8. Các
phương pháp tính tích phân (phần 3), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
3) I =
2
2
0
cos
11 7sin os
x
dx
x c x
4) I =
4
2
0
1
(1 1 2 )
x
dx
x
6
0
tan
cos2
x
dx
x
8) I =
3
4
3
0
sin
cos
x
dx
x
9) I =
2
0
sin 2
cos 1
x
dx
11) I =
4
44
0
sin 4
sin cos
x
dx
xx
.
12) I =
2
0
3
sin( )
24
sin( )
24
x
dx
x
5 3 6
0
(1 )x x dx
.
2) ĐHKB 2010: I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
xx
.
3) ĐHKB 2006: I =
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
4) I =
ln2
2
dx
x
.
Bài 3: Tính tích phân
1) I =
3
2
1
2 ln
.ln
e
x
xdx
x
. 2) I =
1
0
1
1
x
dx
x
32
3
0
. 3 4 1
xx
dx
xx
6) I =
3
0
1
11
x
dx
x
7) I=
ln2
0
1
1
x
dx
e
0
3
3 1 3
x
dx
xx
. 4) I =
2
1
ln
1 ln
e
x
dx
xx
.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 - 5) Đề tốt nghiệp PTTH 2011. I =
x
dx
x
.
9) ĐHKA 2006 I =
2
22
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
xx
. 10) ĐHKB 2004 I =
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x
dx
xx
.
15) I =
3
53
2
0
2
1
xx
dx
x
. 16) I =
2
1
3 ln
1 2ln
e
x
dx
xx
x
dx
e
.
21) I =
ln5
2
ln2
1
x
x
e
dx
e
. 22) I =
7
3
0
2
1
x
dx
x
.
23) I =
.
27) I =
3
1
ln
1 2ln
e
x
dx
xx
. 28) I =
1
2
1
0
2
(2 9) 3 2
x
xx
dx
.
29) I =
ln9
2
3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
DẠNG 1: Quan sát biểu thức dưới dấu tích phân nhẩm tính xem đặt một bộ phận nào đó bằng t để sau khi
lấy vi phân 2 vế ta chuyển được tích phân cần tính về tích phân cơ bản hoặc đơn giản hơn.
Bài 1: Tính tích phân
1) ĐHKB 2005 I=
2
22
00
sin2 .cos 2 os .sin
1 cos 1 cos
x x c x x
dx dx
xx
Đặt: 1 + cosx = t , - sinxdx = dt.
x
0
2
2
0 0 0
sin 4 2.sin 2 . os2 4.sin2 . os2
1 os2
2 sin 3 os2
2
2
x x c x x c x
dx dx dx
cx
x c x
. Đặt 3+ cos2x = t; -2 sin2x dx = dt
x
0
4
t
4
3
I = - 2
34
43
44
0
1
I =
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1 1
()
7 10 ( 5)( 2) 3 ( 5) ( 2)
dt
dt dt
t t t t t t
=
11
1
ln 5 ln 2
00
3
tt
4) I =
4
2
, x =
2
2
2
tt
, dx =(t-1)dt.
x
0
4
t
2
4
I =
2
4 4 4
32
2 2 2
2 2 2
2
1
3 4 2 1 4 2 1
2
( 1) 3 2ln 2
24
tt
t t t
t dt dt t dt
t t t t
(sin cos )
(sin cos ) 1 2(sinx cos )
xx
dx
x x x
Đặt sinx + cosx = t; (cosx - sinx)dx = dt
x
0
4
t
1
2
I = -
2 2 2
2
22
1 1 1
2 2 2
( 1) ( 1)
2 1 2 2 ( 1) 2
dt dt
Đặt sinx +1= t; cosx dx = dt
x
0
2
t
1
2
I =
2 2 2
22
1 1 1
[1 4( 1) ] 4 8 3 3
( 4 8 )
t dt t t
dt t dt
t t t
=
2
2 2 2
2 8 3ln
t
0
1
3
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 - I =
11
33
4
2
22
11
1
( 1 )
11
t dt
t dt
tt
=
11
33
00
10 1 (1 ) (1 )
2 1 1
93
d t d t
tt
=
11
10 1 10 1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
33
22
9 3 9 3 3 3
00
tt
32
00
sin (1 cos ).sin
cos cos
x x x
dx dx
xx
. Đặt cosx = t, -sinxdx = dt
x
0
4
t
1
2
2
I = -
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
22
1 1 1 1
11
10) I =
44
6 6 2
00
3
cos2 (sin cos ) cos2 (1 sin 2 )
4
x x x dx x x dx
. Đặt sin2x = t.
11) I =
44
44
2
00
sin 4 2cos2 .sin 2
1
sin cos
1 sin 2
2
x x x
dx dx
xx
x
sin3
2 2 (4sin 3)
sin
t
dt t dt
t
=
2
4
2
( 4cos2 2) ( 2sin 2 2)
4
t dt t
= 2 -
2
.
13) I =
22
. Đặt sinx =t
→I =
1 1 1 1
0 0 0 0
1
2 3 (2 1) 4 4 (2 1)
(1 ) 2
0
2 1 2 1 2 1 2 1
t t d t
dt dt dt t
t t t t
=1- 2ln
1
2 1 1 2ln3
0
t
.
Bài 2: Tính tích phân
1) I =
1
5 3 6
0
ln
(2 ln )
e
x
dx
xx
. Đặt 2+lnx = t, t: 2→3,
dx
dt
x
.
I =
3 3 3
22
2 2 2
33
( 2) 1 1 2 1 3
2 ) ln ln .
22
32
t dt
dt dt t
t t t t
3) ĐHKB 2006: I =
3 2 ( 1)( 2) 2 1
dt
dt dt
t t t t t t
=
55
33
ln 2 ln 1 ln3 ln4 ln2 ln ln2 ln .
33
42
tt
4) I =
ln2 ln2
2
22
00
3 ( 3)
3 2 3 2
x x x x
x x x x
e e e e
dx dx
e e e e
5) ĐHKB 2012: I =
1
3
42
0
32
x
dx
xx
. Đặt x
2
= t → 2xdx = dt.
x
0
1
t
0
1
I=
1 1 1
2
22
0 0 0
1 .2 1 1 2 1
2 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 2 1
x x tdt
.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 - Đặt
21xt
→ 2x+1=t
2
2x = t
2
-1 4x = 2(t
2
-1), dx = tdt.
x
0
4
t
1
3
I
2
33
2
.
Bài 3: Tính tích phân
1) I =
3
2
1
2 ln
.ln
e
x
xdx
x
. Đặt
3
2
2 ln xt
.
2) I =
1
0
1
1
x
x
0
3
t
3
15
2
4) I =
ln16
x
4
0
e1
1
x
dx
e
. Đặt
x
4
e t
→ e
x
.
Đặt
3
43
34x x t
→ 3x
4
- 4x
3
= t
3
, 12(x
3
-x
2
)dx = 3t
2
dt, t: 0→ -1.
6) I =
33
00
1 1.(1 1)
1 ( 1)
11
x x x
dx dx
x
x
e1
22
x
dx dt dt dt t t
t t t t t
e
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
DẠNG 2: nếu gặp tích phân, mà biểu thức dưới dấu tích phân chứa
22
0
(1 )x dx
. 4) I =
2
2
2
2
0
1
x
dx
x
.
5) I =
1
2
2
2
2
1 x
dx
x
. 6) I =
2
2
2
dx
xx
. 10) I=
2
2
0
cos
8 2sin
x
dx
x
.
DẠNG 3: Nếu gặp
22
dx
ax
, a>0;
22
a x dx
, a>0,
22
dx
ax
1
(1 )
dx
x
.
<3> I =
1
2
0
1
dx
x
<4> I =
2
32
2
0
2 4 9
4
x x x
dx
x
.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 - <7> I =
ln5
x
xx
0
e
(3 e ). e 1
dx
<8> I =
2
3
2
0
2 x dx
<9> I =
1
2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
.
MỞ RỘNG DẠNG 3
Nếu gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân là phân thức đại số. Tử là hằng số, mẫu bậc 2 vô
nghiệm. Hoặc tử bậc nhất, mẫu bậc 2 vô nghiệm. Hoặc tử bậc 2, mẫu trùng phương vô nghiệm. Thì biến
đổi mẫu về dạng u
2
+ a
2
, a>0. Sau đó đặt u = atant,
;
22
t
Bài tập mẫu: Tính tích phân
<1> I =
. <4> I =
15
2
2
42
1
1
1
x
dx
xx
. Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
. (x = 3sint)
3) I =
1
23
0
(1 )x dx
. (x = sint) 4) I =
2
2
2
2
0
1
x
dx
x
. (x = sint)
5) I =
1
2
2
2
2
1 x
dx
x
9) I =
2
1
1 ln
e
dx
xx
. (lnx = t, 2 lần đổi biến) 10) I=
2
2
0
cos
8 2sin
x
dx
x
. (sinx = t)
GIẢI
1) Đặt x =
8 sint
,
;
22
t
.
7) I =
1
2
2
2 (1 )x
. Đặt 1+ x =
2 sint
→ dx =
2. osct
dt.
x
-2
-1
t
4
0
BÀI 7. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
.
6) Đặt x = 2 sint → dx = 2cost dt x
1
2
t
6
2
2
22
22
2 2 2
1
66
4 os 1
22
1 cos 3 .
sin sin 3
66
x c t
I dx dt dt t t
x t t
dx tdt t t
dt dt
tt
x x t t
t
.
Đặt t +
4
= u → dt = du.
t
0
2
u
4
3
4
du du u
uu
DẠNG 3: Nếu gặp
22
dx
ax
, a>0;
0
2
dx
x
. <2> I =
1
22
1
(1 )
dx
x
.
<3> I =
1
2
0
1
dx
x
(x = tant). <4> I =
2
32
2
0
2 4 9
sin
1 os
x
dx
cx
(cosx = t).
<7> I =
ln5
x
xx
0
e
(3 e ). e 1
dx
(
x
e1t
). <8> I =
2
3
2
0
2 x dx
(x =
x
. <12> I =
2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
.
GIẢI
<1>
Đặt x =
2 tant
,
;
22
t
dt dt dt t
tt
.
<2> Đặt x = tant → dx =
2
1
osct
dt.
x
-1
1
t
4
4
I =
4 4 4
2
2
22
00
4 2 4
x
x dx x dx J
xx
Đặt x = 2tant → dx =
2
1
2
os
dt
ct
.
x
0
2
t
0
4
→ J =
4
2
2
0
2
.
=
2
1
ln 2
0
12
x
-
22
2
22
00
1 ( 2 4) 1
24 2 4 4 ( 1) 3
d x x dx
x x x
(đặt x-1=
3 tant
)
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
2 2 4 2 2 6 2 3 2
0 0 0 0
11
1 ( 1)( 1) 1 1 1 ( ) 1
x x dx x
dx dx dx
x x x x x x x x
1
2
0
1
dx
x
đặt x = tant;
1
2
32
0
( ) 1
x
dx
x
3 cos 4 sin 3 cos 4 sin
x x x x
dx dx dx I I
x x x x
Tính I
1
: Đặt cosx =
3 tant
→ -sinx dx =
2
1
3
cos
dt
t
.
Tính I
2
: I
2
= 4
22
Bài tập mẫu: Tính tích phân
<1> I =
0
2
3
2
39
dx
xx
. <2> I =
1
2
0
1
1
x
dx
xx
.
<3> I =
0
2
24
dx
x
. Đặt x +
3
2
=
27
tan
2
t
→ dx =
2
27 1
.
2 os
dt
ct
.
x
3
2
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 - I =
1
2
0
1
13
24
x
dx
x
. Đặt x+
13
tan
22
t
→ dx =
2
3
cos
(tan 1)
4
t
t
x
dt t dt dt dt
t
t
=
3
6
( os ) 3
3
3 ln cos
cos 6 6
6
d c t
t
t
0
6
I =
66
2
2
00
3
1
os
3(tan 1)
3 6 3
ct
dt dt
t
.
<4>
I =
1 5 1 5
22
22
2
2
11
1
os
dx dt
x c t
.
x
1
15
2
t
0
4
I =
44
2
2
00
1
os
tan 1 4
ct
b. Các dạng bài tập
DẠNG 1:
( ).ln ( )
b
a
P x f x dx
(P
x
là đa thức)
Cách giải: Đặt
ln ( )
()
f x u
P x dx dv
BÀI TẬP MẪU: Tính tích phân
<1> I =
. <4> ĐHKD 2008 I =
2
3
1
ln x
dx
x
<5> ĐHKD 2004 I =
3
2
2
ln( )x x dx
. <6> ĐHKB 2007 I =
32
1
.ln
e
x xdx
.
<7> I =
1
2
2
0
x
.
<11> I =
1
32
2
2
2
21
.ln( 1)
1
e
xx
x dx
x
<12>
2
2
1
ln
e
x
I dx
1 ln( 1)x
dx
x
.
DẠNG 2:
f ( )
f ( )
e
()
a
x
b
x
a
P x dx
BÀI 8. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3) Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1. ĐHKD 2006: I =
1
0
( 2).
x
x e dx
. 2. I =
1
22
0
(4 2 1).
x
x x e dx
.
3. I =
1
2
0
( 2 ).3
x
x x dx
1 os
x
xe
dx
cx
7. I =
4
2
0
sin
x
dx
x
. 8. I =
2
3
2
0
.sin
sin2 . os
xx
dx
x c x
. 12. I =
0
.sin3x xdx
.
13. I =
3
1
os(ln )
e
c x dx
. 14. I =
6
1
sin(ln )
e
x dx
.
DẠNG 3:
( ). (sinx,cos )
b
a
P x R x dx
.
dx
cx
.
3. I =
0
1 sin
x
dx
x
.
4
2
0
4. .tanI x xdx
2
2
0
5. . osI x c xdx
0
2
3
1
9. ( 1)
x
I x e x dx
3
1
1
10. ln
e
x
I xdx
x
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
13.
(sinx os )
xx
I dx
cx
14.
2
0
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
xx
DẠNG 4
f ( )
e . (sinx,cos )
2
cos
0
.sin 2
x
e xdx
3. I =
2
sin
0
sin 2 .
x
x e dx
4. I =
2
2
1
.ln
e
x xdx
.
5. I =
4
a
b. Các dạng bài tập
DẠNG 1:
( ).ln ( )
b
a
P x f x dx
(P
x
là đa thức)
Cách giải: Đặt
ln ( )
()
f x u
P x dx dv
BÀI TẬP MẪU: Tính tích phân
vx
→ I=
11
11
.ln 2 (2 2) 2
11
ee
ee
x x x dx e dx e x e e e
x
x
.
<2> ĐHKD 2010
I =
1
3
2 .ln .
e
x x dx
x
I = (x
2
-3lnx).
ln
1
e
x
-
2
2
1 1 1
3ln
3 3 ln (ln )
e e e
xx
dx e xdx xd x
x
=
2 2 2 2
→
1
1
1
dx du
x
v
x
I =
33
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 8. Các phương pháp tính tích phân (phần 3) Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 - <4> ĐHKD 2008 I =
2
3
1
ln x
dx
x
Đặt
3
ln
1
xu
dx dv
x
23
1 1 1 1 1
.ln ln2
11
2 2 8 4
x dx
x x x
<5> ĐHKD 2004 I =
3
2
2
ln( )x x dx
. Đặt
2
ln( )x x u
dx dv
→
2
21x
dx du
=
33
3ln6 ln4 2 ln 1
22
xx
.
<6> ĐHKB 2007 I =
32
1
.ln
e
x xdx
. Đặt
2
3
ln xu
x dx dv
→
4
1
Đặt
3
ln xu
x dx dv
→
4
1
4
dx du
x
x
v
→ J=
4 4 4 4 4 4
1
x x x
dx
x
. Đặt
2
2
ln( 1 )
1
x x u
x
dx dv
x
→
2
2
1
1
dx
9
4
ln( )xx
dx
x
. Đặt
ln( )
1
x x u
dx dv
x
→
1
1
2
21
2 ( )
2
x
x
dx du
2 1 2 1
2 .ln( ) 2 . 6ln6 4ln2
4
2 ( )
xx
I x x x x dx dx
x x x x x
J
Đặt t =
x
→ x = t
2
, dx = 2tdt
x
4
9
t
2
3
J=
3 3 3 3
2
2 2 2 2
. Đặt
2
ln( 1)x x u
xdx dv
→
2
2
21
1
2
x
dx du
xx
x
v
(2 1)
1 1 1 1 1 2 1 3
22
ln3 2 1 ln3 2 1 .
2 2 1 2 2 2 1 2( 1)
x
x
x dx x dx
x x x x x x
11
2
2
22
00
1
1 1 1 ( 1) 3 3 3
2
1 3 3 1
tan , , .
2 2 2 2 2 os
t t dx dt
ct
x
0
1
t
6
3
J =
3
6
2 3 3
39
dx
x
→
2
1
1
x
dx du
x
v
x
33
t t dx dt
ct
x
1
3t
4
3
J =
3
4
3
12
4
dt t
=
11
22
2
22
12
2
(2 1).ln( 1) .ln( 1)
1
ee
x
x x dx x dx
x
II
* Tính I
1
: Đặt
2
ln( 1)
22
1
2 ( ) 2
( ).ln( 1) 1 1
11
2
ee
e
x x x x
I x x x dx e e dx
xx
=
1
2
2
1
2
1 1 2 2 1 1 2 2ln 1
1
2
e
e
e e x dx e e x x x
2 1 1
.ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln ( 1)
1 2 2
2
ee
e
x
I x dx x d x x
x
.
Vậy I = I
1
+I
2
=
5 1 1
1 2 2 2ln
2
21
e
e
x
v
x
I =
2
1
2 2 2 4
ln 2 2
11
e
ee
dx
x
x x e x e
.
<13> I =
Copyright: Tài liệu đại học ©