Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy,
Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ
đơn vị .
B. ; M(x;y;z)⇔
C. Tọa độ của vectơ:
cho
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. cùng phương⇔
9. .
D. Tọa độ của điểm:
cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z

;y
0
;z
0
), }. Phương trình tổng quát của
mặt phẳng
α
: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
 một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có
c/
α
//
β
⇒ d/
α

'; '; 'u v x x y y z z± = ± ± ±
r r
( ; ; )ku kx ky kz=
r
. ' ' 'u v xx yy zz= + +
ur r
' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + =
r r
2 2 2
u x y z= + +
r
( )
' ' ; ' ' ; ' '; ;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
∧ =
r r
,u v
ur r
[ , ] 0=
r r
r

1 1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x zy
+ + +
= = =
AB AC∧
uuur uuur
0
r
1
2
AB AC∧
uuur uuur
AB AC∧
uuur uuur
AD
uuur
( )

d
n u
α
=
uur uur
1
( )
1;0;0i
r
( )
0;1;0j
r
( )
0;0;1k
r
O
z
x
y
II. Đường thẳngIV.Đường cong
Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),=(a;b;c)}
i.Phương trình tham số:;
ii.Phương trình chính
tắc:

KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
),
α
:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M
0
(x
0
;y
0
;z
0
), },
∆’ {M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'), }
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α:
d(M,
α

α
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng
α
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng
α
là tiếp diện của mặt cầu (S)
tại M khi đó =)
3. Nếu d(I,
α
)<R thì
α
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của
α
và (S). Để tìm tâm H
và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆
qua I, vuông góc với
α
+H=∆
α
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với
α
)
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−20=0.
Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).


+ + + =

1 1 1 1
( ; ; )n A B C=
uur
2 2 2 2
( ; ; )n A B C=
uur
1 2
[ ]u n n
∆
=
uur uuruur
0
0
y
z
=


=

0
0
x
z
=
=


. '
. '
n n
n n
ur uur
r uur
.
.
n u
n u
ur r
r r
u
∆
r
'u
∆
uur
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
+ + +
+ +
1
[ , ]MM u
u
uuuuur r
r
0 0

b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
22
:
1 1 1
yx z−+
∆ = =
−
5 1
; ; 1
2 2
D
 
−
 ÷
 
3
1 2
1
x t
d y t
z t
= − +


= −


= −

3

− −
= =
−
4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
, .
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với
điểm A qua đường thẳng d
1
.
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
ĐS:
a. A’(−1;−4;1), b. .
5. (Khối D_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
đường thẳng và .
a. Chứng minh d
1
và d
2
song song với
nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa cả hai đường thẳng d
1
và d
2

− −
1
21 1
:
3 1 2
yx z
d
+− +
= =
−
2
12 3
:
10 2
x t
d y t
z t
= −


=


= −

5
ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b. .
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết
phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

1 1 1x y z− + + − =
6
ĐS: k=1.
8. (Khối
D_2002)
Trong không
gian với hệ
tọa độ Oxyz
gian cho mặt
phẳng (P):
2x−y+2=0 và
đường thẳng
d
m
là giao tuyến của hai mặt phẳng (
α
): (2m+1)x+(1−m)y+m−1=0, (
β
): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường
thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
ĐS: .
9. (Khối
B_2009)
Chuẩn
Trong không
gian với hệ tọa
độ Oxyz, cho tứ
diệm ABCD có

7
ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao .
10. (Khối B_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC.
3 1
:
26 11 2
yx z+ −
∆ = =
−
8
ĐS:
a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7).
11. (Khối B_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
−2x+4y+2z−3=0 và mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất.
ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3).
12. (Khối B_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng
9

1
).
b. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A
,
M và song song với
BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
1
1 1
:
2 1 1
yx z
d
− +
= =
−
2
1
: 1 2
2
x t

1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

24 4
:
3 2 1
yx z++ −
∆ = =
−
( )
0;6;0AC =
uuur
11
16. (Khối A_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x−2y−z−4=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2

đường thẳng và .
a. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
1
1 9
:
1 1 6
yx z+ +
∆ = =
2
31 1
:
2 1 2
yx z−− +
∆ = =
−
2
18 53 3
; ;
35 35 35
M
 
 ÷
 
1 2
:
2 1 2

1
,
d
2
.
ĐS: §
19. (Khối A_2006)
Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho
hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ với
A(0;0;0), B(1;0;0),
D(0;1;0), A’(0;01).
Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và
CD.
a. Tính khoảng
cách giữa
đường thẳng
A’C và MN.
b. Viết
phương
trình mặt
phẳng chứa
A’C và tạo với
mặt phẳng
Oxy một góc
α
biết
2 1

2
(3;−7;1)
( )
1
' ,
2 2
d A C MN =
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
14
21. (Khối A_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình
chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt
BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
( )
0;0;2 2S
15
ĐS: a. , b. .
22. (Khối A_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai
đường thẳng:
và
a. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa đường thẳng ∆
1

= +


∆ = +


= +

16
ĐS: a.
2x−z=0, b.
H(2;3;4)
23.
(CĐ_Khối
A_2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P
1
): x+2y+3z+4=0 và (P
2
): 3x+2y−z+1−0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
ĐS: (P): 4x−5y+2z−1−0
24. (CĐ_Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa
độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và
đường thẳng d có phương trình