www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

1
Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị
, ,
i j k
  



1
i j k
  
  
.
B.
 
1 2 3 1 2 3
; ; a
a a a a a i a j a k
  

   
; M(x;y;z)
OM xi y j zk
  

. ' ' '
u v xx yy zz
  
 

5.
' ' ' 0
u v xx yy zz
    
 

6.
2 2 2
u x y z
  


7.
 
' ' ; ' ' ; ' '
; ;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
   
 
 

A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z
B
)
1.
( ; ; )
   

B A B A B A
AB x x y y z z
2.
2 2 2
( ) ( ) ( )
     
B A B A B A
AB x x y y z z

3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x
G
=
3
A B C
x x x

2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x zy
  
  
5. ABC là một tam giác
AB AC

 

0

khi đó S=
1
2
AB AC

 

6. ABCD là một tứ diện
AB AC

 
.
AD

0, V
ABCD

( ; ; )
n A B C


. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng

: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0 Ax+By+Cz+D=0.
 một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có
( )
[ , ]
ABC
n AB AC

  

d
n u


 
.



1;0;0
i




0;1;0
j




0;0;1
k


O

z
x




 

;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
  
 

iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
   


   

trong đó
1 1 1 1
( ; ; )
n A B C







; Oz:
0
0
x
y






b/ (AB):
AB
u AB

 
; c/ 
1

2

1 2
u u
 

 

’)=cos=
. '
. '
n n
n n
 
 
;

Góc giữa đường thẳng và mp
*sin(,

)=sin=
.
.
nu
n u
 
 
.

KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
),


2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
  
 

* Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M,)=
1
[ , ]
MM u
u
 


* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(,’)=
0 0
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u
  
 
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S)I(a;b;c),bán kính R
Dạng 1: (x-a)
2

*Điều kiện để mặt phẳng

tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng

là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M
khi đó
n


=
IM

)
3. Nếu d(I,

)<R thì

sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của

và (S). Để tìm tâm H
và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
2 2
- ( , )
R d I


b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng  qua I, vuông góc với


ĐS: Chuẩn
5 1
; ; 1
2 2
D
 

 
 
, Nâng cao
3
1 2
1
x t
d y t
z t
  


 


 


2. (Khối D_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.

nhỏ nhất.

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

5

ĐS: a.
2
2
:
2 1 1
yx z
d


 

, b. M(1;0;4).
4. (Khối D_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
1
2
2 3
:
2 1 1
yx z
d

 

 
  
 
.
5. (Khối D_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
2
1 1
:
3 1 2
yx z
d

 
 

và
2
12 3
:
10 2
x t
d y t
z t
 






.
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z2=0. Viết
phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

ĐS:
   
2 2
2
1 1 1
x y z
    
.
7. (Khối D_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d
k
là giao tuyến của hai mặt phẳng (

): x+3kyz+2=0,
(

): kxy+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d
k
Vuông góc với mặt phẳng (P):xy2z+5=0.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

7


Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z5=0 và hai điểm A(3;0;1), B(1;1;3). Trong
các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

9ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z5=0, Nâng cao
3 1
:
26 11 2
yx z
 
  

.
10. (Khối B_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;2;1), C(2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z3=0 sao cho MA=MB=MC.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

10
ĐS:
a. x+2y4z+6=0, b. M(2;3;7).
11. (Khối B_2007)

1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
 


  


 

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
, d
2
.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho A, M, N thẳng hàng.

ĐS: a. (P): x+3y+5z13=0, b. M(0;1;1), N(0;1;1).
13. (Khối B_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1

17
2
MN 
14. (Khối B_2004)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

12
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4;2;4) và đường thẳng
3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t
  


 


  

. Viết phương trình
đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
ĐS:
2
4 4
:
3 2 1

1 1 6
yx z
 
  
,
2
3
1 1
:
2 1 2
yx z
 
  

. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 
1
sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng 
2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4. Nâng cao M
1
(0;1;3),
2
18 53 3
; ;
35 35 35
M
 
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1
2
:
2 1 1
yx z
d


 

và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
  


 




.
a. Chứng minh rằng d


biết
1
cos
6


www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

15ĐS: a.
 
1
' ,
2 2
d A C MN  , (Q
1
): 2xy+z1=0, (Q
2
): x2yz+1=0.
20. (Khối A_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z
  
 


ĐS: a.
 
2 6
,
3
d SA BM 
, b.
.
2
S AMN
V 
.
22. (Khối A_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
2
:
2 3 4
y
x z

  
và
2
1
: 2
1 2
x t
y t

2
): 3x+2yz+10. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
ĐS: (P): 4x5y+2z10
24. (CĐ_Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình
1
1 1 2
y
x z

 

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

19
ĐS: a. xy+2z6=0
b.
 
1 2
5 5 7
1; 1;3 , ; ;