1
___________

ABC
GLA
nhữngphơngphápchứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh


gla
abc
những ph ơng pháp chứng minh

LI NểI U Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang trong mỡnh
nhiu v p huyn bớ . T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc
gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng. Nú xut hin trong bi thi nh th
thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao
o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht.
Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo
cuc chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong
nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s

a,b,c 0: a b c 3>++=
222
abc
1b 1c 1a 2
3
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22
AM GM
22
aab ab
aa
1b 1b 2b 2
−
=− ≥ − =−
++
ab
a
. Hoàn toàn tương tự ta có :

()()
222
abc 1
abc abbcca
1b 1c 1a 2 2
++≥++−++≥

ab bc cd da a c b d 4
4
−
⎡++ +⎤
⎣⎦
+++=+ + ≤ =# Bài 3 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=
22 2 2
abcd
2
1bc1cd1da 1ab
+
++
++++
≥

BG .
Ta có :
(
)
22
AM GM AM GM
22
b
aac
aabc abcba.a.c
aaa a
1bc 1bc 2 4

()
()
()
22
AM GM
bc ad
abc bcd cda dab bc a d da c b a d c b
44
−
++
+++= ++ + ≤ ++ +
=
=
()()
()
()
(
2
AM GM
bcad abcd
abcd abcd 4
416
−
++ +++
+++ ≤ +++ =
)
. đpcm ⇒

# Bài 4 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức : a,b,c,d 0>
3333

abc
1
a2b b2c c2a
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22 2
AM GM
3
22
22
3
4
a2ab 2ab2
aaa
a2b a2b 3
3ab
−
=− ≥ − =−
++
a.b
. Lại có :
3
___________

ABC
GLA

++++++
+++
= . pcm .

# Bi 6 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=

222
333
abc
1
a2b b2c c2a
+
+
+++

BG .
Ta cú :
23 3
AM GM
3
2
33
2
3
a2ab 2ab2
aaa
a2b a2b 3
3b a

= =

111
b
1b 1c 1
++
++
+
vo v trỏi ca BT ó CM .
# Bi 8 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
a1 b1 c1 d1
4
1b 1c 1d 1a
++++
+
++
++++

# Bi 9 .
( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
1111
2
1b 1c 1d 1a
+
++
++++

# Bi 10 .


4
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
II. 1 S DNG TIP TUYN TèM LI GII TRONG CHNG MINH BT NG THC
Tụi khụng cú nhiu nhng thụng tin v phng phỏp ny, ch bit phng phỏp ny c vit bi
Kin - Yin Li vi tiờu Using Tangent Lines to Prove Inequalities nm 2005. Sau ú trờn din n toỏn
hc :
www.mathscope.org tỏc gi Nguyn Tt Thu ó vit li lm ti SKKN
Cỏi hay ca phng phỏp ny l s xut phỏt t nhiờn tỡm li gii cho bt ng thc. Ta i vo mt s
VD sau ú s im qua ý gii toỏn ca nú.
# Bi 1. Cho . Chng minh rng : a,b,c R:a b c 6++=
(
)
444 333
abc2abc++ ++

BG .
- Li gii 1. Thc ra bi toỏn vi bi toỏn ny thỡ gó khng l Cauchy Schwarz (BunhiaCopxki) s
khut phc nú khụng my khú khn.
()
()()()
()
()
2

AM GM AM GM AM GM
333
a 2 3a, b 2 3b, c 2 3c

+ + +
()
(
)
(
)
444 333
a b c 2abc 2a b c 3abc 6+++ ++ ++ + ++


pcm
-
Li gii 3. Nhng tỏc gi mun dựng bi toỏn n gin ny nhc n mt cỏch chng minh khỏc :
Ta cú :
()()
(
)
2
43 2 43
a2 . Tng t ta cú : a 8a16 a2a2a40a2a8a16= +
(
)
(
)
444 333
abc2abc 8abc480++ ++ ++=

hoc
() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==
+


() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==

+
Phng trỡnh tip tuyn ti A(x
0
; y
0
) l : y y
0
= f(x
0
)(x x

3
abc
abc 1
VT
a abc b bca c cab a b c 3abc 10
abc
1
9

++
=++ =
+++ +++
++
+
9

_ Li gii bng phng phỏp tip tuyn :
gii c bng phng phỏp tip tuyn, nht thit phi chuyn
BT ó cho v 1 BT cha cỏc biu thc di dng 1bin s.
5
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
Ta cú :
()
AM GM

, o hm :
f'(x)=
()
2
2
2
4x 20
x2x5
+
+
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
( im ri ) l :
99x 3
y
100

=
.
Do ú :
2
4x
x2x5+
(
)
(
2

+ +




(
)
(
)
(
)
fa fb fc 9

++

Xột hm s
()
2
5x 1
fx
xx

=

, tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
l : y = 18x 3

4

tha món : a+ b+ c =1. Chng minh bt ng thc
222
abc
a1b1c110
++
9
+
++

BG .
Xột hm s :
2
x
f(x)
x1
=
+
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
l :
36x 3
y
50
+
=

+ + +
2
+
+
++ ++ ++

BG . Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :
() () ()
222
222
12a 12a 12a
3
2a 2a 1 2a 2a 1 2a 2a 1 5

+
+
+ + +

Xột hm s :
2
2
4x 4x 1
f(x)
2x 2x 1
+
=
+
, phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=

2
23x 1 6x 1
0, x 0;1
25 2x 2x 1
+

+
.
Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt !
6
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

# Bi 6 ( USA MO 2003 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc :
()
()
()
()
()
()
22
22 2
22
b c 2a c a 2b a b 2c
8

fx
3x 2x 1
++
=
+
, phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
l :
12x 4
y
3
+
=
Lỳc ú : f(x)
12x 4
3
+

=
()()
()
(
2
2
3x 1 4x 1
0, x 0;1
33x 2x 1

= a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca) . Do ú BT cn CM tng ng vi BT :
222
abc2a2b2c+++ + + 9
Xột hm s : f(x) = x
2
2x+ , tip tuyn ca hm s ti im cú honh x
0
= 1 l : y = 3x .
Khi ú f(x) 3x = x
2
3x 2x+
(
)
(
)
(
2
x1 x2x 0,x 0;3= +
)
. Bi toỏn ó tỡm thy hng gii !
# Bi 8 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0>
()
222 22
13 111

BT
()
13111
abc 10
abc
33
+

++++



.Li cú :
111 9
abcabc
++
++
, ta cn CM :
()
33
abc 10
abc
+
++
++
, xột hm s
()
33
fx x 1,
x

()
222
abc 9
4a b c
bc ca ab
++
+
+
+++

BG . _ Li gii 1. S dng BT Cauchy Schwarz ( BunhiaCopxki )
7
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
()
()
()()
2
CS SCW Nesbit
22 2
abc abc
abc
9
b
ccaab 4

()
2
x
fx
1x
=

, tip tuyn ca th hm s ti im
cú honh x
0
=
1
3
l :
18x 3
y
4

=
. Lỳc ú ta cú :
()
()( )
()
(
2
32
22
3x 1 2x 3
18x 3 18x 39x 20x 3
f(x) , x 0;1

i1 i1
ii
x
1
1x 1x
==

+
+


# Bi 12 (
HONGKONG MO 1998) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :
(
)
()
()
222
222
xyz x y z x y z
33
9
xyzxyyzzx
+++ + +
+

++ ++

# Bi 13 (
Olympic 30-4 nm 2006) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :
# Bi 15 . Cho . Chng minh bt ng thc :
222
a,b,c 0:a b c 1>++=
111
1ab 1bc 1ca 2
9
+
+


# Bi 16 (
BT Nesbit ) . Cho a, . Chng minh bt ng thc : b,c 0>
abc3
b
ccaab2
++
+++

_ Tỡm li gii :
Chun húa : a+ b + c =3, BT ó cho tr thnh :
abc
3a 3b 3c 2
++

3
. Xột hm s :
()
x

()
2
a,b,c,d
1
1
1a

+


8
___________
∑
ABC
GLA
nh÷ngph−¬ngph¸p chøngminh b§T ®éc ®¸o
___________
Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình
# Bài 18 (UK TST 2004 ) . Cho
n
i
i1
a0,i1,n:a
=
>= =
∏
i
1
. Chứng minh bất đẳng thức :
()

++ ++ ++
++
++ ++ ++
≤

# Bài 20 (
SERBIA 2005). Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
()
abc3
abc
2
bc ca ab
++≥++
+++

_Lời giải khác :
Chuẩn hóa : a + b + c =6. BĐT đã cho tương đương với BĐT :
abc
3
6a 6b 6c
++
−−−
≥

Đặt :
222
6a x, 6b y,6c z x y z 12 xyz6−= −= −=⇒ + + = ⇒++≤, ta có :
222
6x 6y 6z
3

() () ()
222
222
222
2x 2y 2z
1
2x y z 2y z x 2z x y
+
+≤
++ ++ ++

# Bài 22.
Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
() () ()
333
333
333
abc
1
abc bca cab
+
+≥
++ ++ ++

# Bài 23.
Cho a, là độ dài các cạnh tam giác. Chứng minh bất đẳng thức : b,c
111 1 1 1
abcabcbcacab
++≤ + +
+

−
=

Do đó : f(x)
(
)
(
)
2
32
35
3x 1 27x 18x 21x 16
75x 16 270x 243x 75x 16
27 27 27
−− − ++
−−−+
−= =
.
Ta cần xét xem hiệu trên có lớn hơn hoặc bằng 0, hay không ? Lúc đó ta chỉ cần kiểm tra xem hàm số :
có dương với mọi
32
g(x) 27x 18x 21x 16=− − + +
(
)
x0;1∈ ?
9
___________
∑
ABC
GLA

1

g’(x) + 0
−

g(x)
16 8
−
Nhìn vào BBT ta thấy : g(x) >0 hay g(x) < 0 , x (0;1)
∀
∈ ….????????????????????

•
Rõ ràng phương pháp tiếp tuyến có bán kính sát thương chưa rộng, nó đang bộc lộ điểm yếu…và nhất
thiết phải nâng cấp .
•
Đây là nguyên văn lời giải của nickname : 2M trên trang web : mathscope.org Bài giải trên xuất phát từ Bổ đề :
Nếu f(x) lõm trên khoảng (a; b) liên tục trên đoạn [a; b] thì :
() ()
(
)