Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương
trình bậc hai hệ số thực có biệt thức Delta âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Theo chương trình Nâng cao
Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong khơng gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường
thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.b (1,0 điểm)
- Số phức: Mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình
bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức.
- Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax
2
+ bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lơgarit.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

Hết
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán

0
(
0
0
)
6
π

(
0
30
)
4
π

(
0
45
)
3
π

0
(60 )

2
π

0
(90 )

180
)

sin

0
1
2

2
2

3
21
3
2

2
2

1
20

cos

31

3||

3
−-1
3
3
−0

cot

||

31

π
π
− = +
+ = −
− = −
+ = +
+
+ = ≠ + ∈
−
−
− = ≠
+




 ℤ

a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
a b a b b a
a b
a b a b k k
a b
a b
a b a b
a b
, )
2

2
1 cos2 1 cos2
cos tan
2 1 cos2
1 cos2
sin
2
a a
a a
a
a
a
+ −
= =
+
−
=
 


4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng

[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )

a cos a
a a k k
cos a
a a k k
a
k
a a a k
π
π
π
π
+ =
+ = ≠ + ∈
+ = ≠ ∈
= ≠ ∈

 ℤ
 ℤ
 ℤ

5. Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2

−
+ =







Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com
 
+ = + −
 
 




x x x cos x
x x cos x x
x
x x x x x

6
3 3
4 4 2
4 4 2 2
6 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
1
sin cos 1 sin 2
2
sin cos sin cos
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x x x
x x x

= = ⇔ ∈

= − +

ℤ
x k
x a k
x k
sin 2
sin ;
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k
π
π π

= +
= ⇔ ∈

= − +

ℤ
2

x arccosa k
cosx a k
x arccosa k

Phương trình tanx = a
(
Đ
K:
π
π
≠ + ∈
ℤ
,
2
x k k
)
Phương trình cotx = a
(
Đ
K:
π
≠ ∈
ℤ
,
x k k
) 
tan tan ;

IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình asinx + bcosx = c
asinx + bcosx = c
2 2
sin( )
a b x c
α
⇔ + + =
. Trong
đ
ó
2 2 2 2
;sin
a b
cos
a b a b
α α
= =
+ +

2. Phương trình
2 2
a x b x x c x d
+ + =
sin sin cos cos- Ki
ể
m tra xem cosx = 0 có là nghi
BẢNG ĐẠO HÀM


'
( )
x
α
=
1
.
x
α
α
−



'
1
x
 
 
 
=
2
1
x
−



'
( )
u
α
=
1
. '.
u u
α
α
−



'
1
u
 
 
 
=
2
'
u
u
−




'
)(
x
e
= e
x



'
)(
x
a
= a
x
.lna

(ln| x |)’ =
x
1


(log
a
| x |)’ =
1

| u |)’ =
a
u
u
ln
'

(u
±
v)’ = u’
±
v’


(uv)’ = u’v + v’u


(ku)’ = k.u’ 
'
u
v
 
 
 

www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 4 DeThiThuDaiHoc.com
Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4

Khơng có cực trị Có cực đại hoặc cực tiểu
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 3. Các ví dụ
Hàm số bậc ba Hàm số bậc bốn
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 4
y x x
= + −

Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
y x x x x
= + = +

Cho

2 3
y x x
= − −

Giải
* Tập xác đònh: D = R
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)
y x x x x
= − = −

Cho
2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x
x y
= ± ⇒ = −

= ⇔ − = ⇔

= ⇒ = −


* Giới hạn:
lim
x


www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 5 DeThiThuDaiHoc.com
x
−∞
-2 0 +
∞

y’ + 0 - 0 +
y
0
+∞

−∞
-4
* Nhận xét :
+ HS đồng biến trên


y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
-3
+∞ -4 -4
* Nhận xét:
+ HS đồng biến trên
( 1;0)
−
và
(1; )
+∞
,
nghịch
biến trên
( ; 1)
−∞ −
và
(0;1)
.
+ HS đạt cực đại tại x = 0 ; y
CĐ
= -3, đạt cực tiểu
tại x =
1
±

 
≠ −

Các bước khảo sát Ví dụ
* TXĐ: D =
\
d
R
c
 
 
 
−
.

* Tính đạo hàm
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
.
* Giới hạn, tiệm cận.

lim ?
d

,
lim
x
a
y
c
→−∞
=

⇒
Tiệm cận ngang: y =
a
c
.
* Lập bảng biến thiên:
y’ > 0 y’ < 0 Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−

Giải
* Tập xác định:

x
y
→±∞
=
nên tiệm cận ngang là y = 1.
* Bảng biến thiên:
x
−∞
1 +
∞

y’ - -
y
1
+∞
−∞
1

* Nhận xét:
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán

- Đồ thị đối xứng qua điểm I là giao điểm của
TCĐ và TCN.
- Trục hồnh: y = 0.
- Trục tung: x = 0.
+ HS ln nghịch biến trên
(
)
;1
−∞
và
(
)
1;
+∞
.
+ HS khơng có cực trị.
* Đồ thị:
+ Cho
0 1
x y
= ⇒ = −
.
+ Cho
0 1
y x
= ⇒ = −
. BÀI TẬP


6.
3 2
6 9
y x x x
= − +

7.
3 2
3
y x x
= − +

8.
3 2
2 3 1
y x x
= − + +

9.
3 2
3 1
y x x
= − + −

10.
3
3 2
y x x
= − + −

= −

3.
4 2
1
2 1
4
= − + +
y x x

4.
4 2
2 4 1
y x x
= − −

5.
4 2
2 2
y x x
= − −

6.
4 2
2 1
y x x
= − +7.

=
−
x
y
x

3.
2 1
1
x
y
x
−
=
+

4.
2 3
1
x
y
x
−
=
+

5.
3
1
x

x
y
x
−
=
+

9.
2 1
2
x
y
x
+
=
−

10.
2 1
2
x
y
x
− +
=
+

11.
2 1
2

Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn

∈
ℝ
.
- Nếu
0
∆ =
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
, trừ
2
b
x
a
= −
.
- N
ế
u
0
∆ >
, gi
ả
s
ử
tam th
ứ
c có 2 nghi
ệ
m

u a 0 cùng d
ấ
u a
2. Định giá trị của m
Đối với hàm bậc 3
3 2
y ax bx cx d
= + + +
(
0
a
≠
)
- T
ậ
p xác
đị
nh: D = R

-
Đạ
o hàm:
2
' 3 2
y ax bx c
= + +
.

Đối với hàm nhất biến
ax b

'
( )
a d b c
y
cx d
−
=
+

y
đồ
ng bi
ế
n trên D

' 0
y
⇔ ≥
,
x D
∀ ∈
0
0
>

⇔


ế
n trên t
ừ
ng
kho
ả
ng c
ủ
a D
' 0
⇔ >
y
,
x D
∀ ∈0
⇔ − >
ad bc

y ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ừ
ng
kho
ả

đồ
ng bi
ế
n trên
t
ậ
p xác
đị
nh.
Giải.
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
2
' 2 6
y x mx m
= + + +
có
' 2
'
.1( 6)
∆ = − +
y
m m2
6

m
m m
.
Ví dụ: Đị
nh m
để
hàm s
ố

(2 1) 3
m x
y
x m
− +
=
+

đồ
ng
bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
Giải.
T
ậ
p xác


> ⇔ − − > ⇔

>

m
y m m
m
.
BÀI TẬP

1.
Cho hàm s
ố

3 2
( 2) ( 1) 2
= + + − − −
y x m x m x
(1).
Đị
nh m
để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t

đị
nh c
ủ
a nó.
3.
Cho hàm s
ố

2 3 2
1
( 1)
3
( 1) 2 1
−
= + − − +
m
y x m x x
(1).
Đị
nh m
để
hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác


GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 8 DeThiThuDaiHoc.com

BÀI TỐN 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a ; b]

Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a ; b].
Phương pháp Ví dụ
* Tính đạo hàm y’.
* Giải y’ = 0 tìm nghiệm
1 2
,
x x
…
( ; )
∈
a b

* Tính các giá trị

ạ
n [-1 ; 1].

Giải

*
Đạ
o hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)
= − = −
y x x x x
Cho y’ = 0
0(nhận)
3 ( 2) 0
2(loại)
x
x x
x

=
⇔ − = ⇔

=


* Ta có y(-1) = -2 ; y(0) = 2 ; y(1) = 0
* V
ậ
y:

3
3 1
y x x
= − +
trên
đ
o
ạ
n [0 ; 2] (TN THPT 2007).
2.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố

4 2
2 1
y x x
= − +
trên
đ
o
ạ
n [0 ; 2] (TN THPT 2008 – L
ầ
n 1).
3.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s

5.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố

2
ln(1 2 )
y x x
= − −
trên
đ
o
ạ
n [-2 ; 0] (TN THPT 2009).
6.
Tìm GTLN, GTNN c
ủ
a hàm s
ố

(3 )
= −
x
y x e
trên
đ
o
ạ
n [3 ; 3].

đồ
th
ị
(C) t
ạ
i
đ
i
ể
m
0 0 0
( ; )
M x y
∈

đồ
th
ị
(C) và có
h
ệ
s
ố
góc
0
'( )
k f x
=
là:


, (tung
độ

0
y
) bi
ế
t tr
ướ
c.
Cách giải:
Thay x
0
, (
0
y
) vào ph
ươ
ng trình c
ủ
a (C) ta tìm
đượ
c y
0,
(
0
x
) t
ươ
ng

c hồnh: Ta có y
0
= 0.
2.
Có h
ệ
s
ố
góc k cho tr
ướ
c.
Cách giải:
T
ừ
ph
ươ
ng trình k = f’(
0
x
) ta tìm
đượ
c
0
x
t
ừ

đ
ó tìm
đượ

ph
ươ
ng trình k = f’(
0
x
) = a ta tìm
đượ
c
0
x
t
ừ

đ
ó tìm
0
y
.
4.
Bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó vng góc v
ớ
i

ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 9 DeThiThuDaiHoc.com

+
.
1. Theo đề bài ta có x
0
= -1
⇒
y
0

( 1) 2
= − = −
y
. Mặt khác hệ số góc k = y’(-1) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 3(x + 1) hay y = 3x + 1.
2. Theo đề bài ta có y
0
= 2
0
0 0 0
0
1
2 1 2( 2) 5
2
x
x x x
x
−
⇒ = ⇒ − = + ⇒ = −
+
.

. Mặt khác hệ số góc k = y’(1) =
1
3
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 =
1
3
(x - 1) hay y =
1
3
x -
1
3
.
4. Theo đề bài ta có x
0
= 0
⇒
y
0
= -
1
2
. Mặt khác hệ số góc k = y’(0) =
3
4
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y +
1
2

y x
= +
.
Giải
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
.
1. Theo đề bài ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1 2 0
2
( 1)
x
y x x x x
x
x

2
y x
= −
.
Ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
3
1 2 1
'( ) ( 1) 4 2 3 0
1
2 ( 1) 2
=

−
= − ⇔ = − ⇒ − = ⇒ − − = ⇒

= −
−

x
y x x x x
x
x
.
Với

1 1
2 2
y x
= − +
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

= − +
.
BÀI TẬP
1. Viết PTTT với đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
+
=
+
tại điểm có hồnh độ
0
3
x
= −
(TN THPT 2006).
2. Cho HS
4 2
2 1
y x x
= − +
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007).
3. Cho HS
3 2
1
x
y
x

y
x
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng y = -x + 3. BÀI TỐN 4: Dùng đồ thị (C) y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m

Phương pháp
- Biến đổi, đưa phương trình về dạng: f(x) = m (1).
- Đặt: y = f(x) (C).
y = m (d) là đường thẳng song song với trục Ox.
- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta có:

Hàm bậc 3:
3 2
y ax bx cx d
= + + +
Hàm bậc 4:
4 2
y ax bx c
= + +

Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận *
CD
CT
m y

: (1) vơ nghiệm.
*
CT
m y
=
: (1) có 2 nghiệm.
*
CT CD
y m y
< <
: (1) có
4 nghiệm.
*
CD
m y
=
: (1) có 3 nghiệm.
*
CD
m y
>
: (1) có 2 nghiệm.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
3
3
y x x
= −
. Dựa vào đồ thị (C), biện luận
theo m số nghiệm của phương trình

Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn

 
⇔
 
− = =
 
thì phương trình (1)
có 2 nghiệm.
+ Nếu
2 1 2 1 3
m m
− < − < ⇔ − < <
thì phương trình
(1) có 3 nghiệm. * Ptrình
4 2 4 2
2 1 0 2 1 2
− − + = ⇔ − − = −
x x m x x m
(1)
* Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m – 2. Dựa vào đồ thị (C),
ta có:
+ Nếu
2 2 0
− < − ⇔ <
m m
thì phương trình (1) vơ
nghiệm.

= − + −
y x x
, gọi đồ thị của
hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
− + + + =
3 2
3 2 1 0
x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Học sinh tự làm.

2. Tìm các giá trị của m …
− + + + = ⇔ − + − = +
3 2 3 2
3 2 1 0 3 2 1
x x m x x m
(1)
Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m + 1. Để phương trình
có 3 nghiệm phân biệt thì:
2 1 2 3 1
m m
− < + < ⇔ − < <
.
Ví dụ: Cho hàm số
4 2

ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 12 DeThiThuDaiHoc.com

x x x m
− + − =
có 3
nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số
4 2
2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
− + − =
4 2
2 2 0
x x m
có 4 nghiệm
phân biệt. BÀI TỐN 5: Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu (đối với HS bậc 3:
3 2
y ax bx cx d
= + + +
).

Phương pháp Ví dụ
Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
y’ = 0 có 2
nghiệm phân biệt
'

∆ = − − = − −
y
m m m

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
2
1 0
1 3
' 2 2 0
1 3

= ≠
< −

⇔


∆ = − − >
> +



a
m
m m
m
. BÀI TẬP

4. Cho hàm số
4 2
2( 1)
= − − +
y x m x m
. Xác định m để hàm số có 3 cực trị. BÀI TỐN 6: Định m để hàm số nhận điểm
0
x
làm điểm cực đại (cực tiểu)

Phương pháp
Điểm
0
x
là điểm cực đại
0
0
'( ) 0
''( ) 0



=
⇔
<
y x
y x

đạ
i.
Giải
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn

2
2
1
'(1) 0
3 2 0
2
3
''(1) 0
1
3
4 2 0
2
m m
y
m m
m
y
m
m

= ∨ = −

=

− − =


⇔ ⇔ ⇔ = −
  
<

BÀI TỐN 7: Chứng minh hàm số y = f(x, m) ln có cực trị với mọi giá trị của tham số m

Phương pháp
Chứng tỏ f’(x, m) ln có nghiệm và đổi dấu khi x
đi qua các nghiệm đó.
- Với hàm số bậc 3, chứng tỏ y’ = 0 có delta dương
với mọi m.
- Với hàm số bậc 4, cần theo u cầu bài tốn để
tìm m sao cho y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc 3 nghiệm. Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
3 2
2 1
y x mx x
= − − +
ln có một điểm cực đại và
một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.
Giải
* Tập xác định: D = R.
* Đạo hàm:
2
' 3 2 2
y x mx
= − −

* Ta có
2 2
' ( ) 3.( 2) 6 0,
∆ = − − − = + > ∀ ∈


www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 14 DeThiThuDaiHoc.com
Chương II HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LƠGARIT

1. Luỹ thừa với số mũ ngun (
0
a
≠
,
,m n
∈
ℤ
)
0
1,( 0)
1

)
m .
a
a

b
n
m n
m
m
m
a
a
b
 
 
 
=
=



m
(a.b) .
m m
a b
=


2. Căn bậc n

và -
n
b
.
Tính chất (
, 0
a b
>
,
,m n
+
∈
ℤ
)


. .
n n n
a b a b
=



n
n
n
a a
b
b
=

.m n
m
n
a a
=
3. Luỹ thừa với số mũ thực (
0
a
>
,
,
R
α β
∈
)



.
a a a
α β α β
+
=



( )




(
)
.
a a
β
α α β
=


Nếu a > 1 thì
a a
α β
α β
> ⇔ >


Nếu 0 < a < 1 thì
a a
α β
α β
> ⇔ <4. Lôgarit
a. Định nghĩa:
Cho a, b > 0,
1




log 1
a
a
=



log log log
M
M N
a a a
N
= −
log
M
a M
a
=



log log
M
b M b

a
b
b
a

c. Cơng thức đổi cơ số:
Cho a, b, c > 0,
1
a
≠
, c
≠
1.
log
log
log
b
c
b
a
a
c
=

d. So sánh lơgarit:
Cho a > 0,
1
a
≠
.

10
log logx = lgx
x
=

log ln
e
x x
=

Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com


a

Với b
≤
0, phương trình vô nghiệm.
b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (đặt t =
x
a
, t
>
0).
- Lơgarit hố.
a. Phương trình lôgarit cơ bản
Dạng:
log
x b
a
=
, (a > 0, a
≠
1).
Ta có:
log = ⇔ =
b
x b x a
a


= ⇔ >


=
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >

( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
g x
f x g x
f x g x
>

> ⇔

>

- Đặt
x
t a
=
, (t > 0). Ta được PT:
2
. . 0
mt n t p
+ + =

- Giải phương trình trên tìm nghiệm t (nhớ với điều
kiện t > 0).
- Giải phương trình
log
x
a
a t x t
= ⇔ =
.
- Kết luận, nghiệm của (1).
Ví dụ: Giải phương trình
2 1
3 4.3 1 0
x x
+
− + =
.
Giải
2 1 2
3 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0

.
Với t =
3
1 1 1
3 3 log 1
3 3 3
x x
⇔ = ⇔ = = −
.
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = -1.
Dạng 2:
. . 0
x x
m a n a p
−
+ + =
hay
. 0
x
x
n
m a p
a
+ + =
.
Phương pháp
- Đặt
x
t a
=

6
x
(t > 0), ta được phương trình
2
6 (nhan)
6
5 0 5 6 0
1(loai)
t ä
t t t
t
t ï

=
− − = ⇔ − − = ⇔

= −

.
Với t = 6
6
6 6 log 6 1
⇔ = ⇔ = =
x
x
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp

Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
,(0 1)
f x g x
a a a
≤ < ≠
.
Phương pháp
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x)
≥
g(x) (BPT đổi chiều).
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
g(x).
Với BPT
( )f x
a c
≤

- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x)
≥

log
a
c
(BPT đổi
chiều)
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1 ; 2].
Dạng 4: Biến đổi về phương trình dạng
log ( ) log ( )
a a
f x g x
=
.
Phương pháp
- Dùng các cơng thức tính tốn, cộng, trừ lơgarit
để biến đổi.
- Cần chú ý đến ĐK của các biểu thức dưới dấu
lơgarit.

Ví dụ: Giải phương trình
3 9
log (9 ) log 5
x x
+ =
.
Giải
Điều kiện:
0
0
9 0
x
x
x
>

⇔ >

+ + =
.
Phương pháp
- ĐK: f(x) > 0.
- Đặt
log ( )
a
t f x
=
, ta được
2
. . 0
mt n t p
+ + =
. Giải
phương trình tìm t.
- Giải PT
log ( ) ( )
t
a
f x t f x a
= ⇔ =
để tìm x.
- Kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình
2
2 2
4log 3log 10 0
x x

.
Với t =
5
4
−
, ta có
5
4
2
5
log 2
4
x x
−
= − ⇔ =
.
Dạng 6: BPT lơgarit
log ( ) log ( ),(0 1)
a a
f x g x a
< < ≠
.
Phương pháp
- ĐK:
( ) 0
( ) 0
f x
g x
>


log log (3 1)
x x
≥ −
;
b.
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x
− > +
.
Giải
a. Điều kiện:
0
1
3 1 0
3
x
x
x
>

⇔ >

− >

. Khi đó:
2 2
1
log log (3 1) 3 1 2 1


. Khi đó:
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3
x x x x x
− > + ⇔ − < + ⇔ <
.
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là:
1
;3
2
T
 
=
 
 
.
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán

− −
   
+
   
   

b.
2 3 5 5
2 .8
−

c.
2
1,5
3
(0,04) .(0,125)
−
−

d.
2 3 3 1 2 3
(4 4 ).2
− −
−e.
5
4
2 3

2 .5
+
+ +

i.
3 2 1 2 4 2
8 .4 .2
+ − − −

j.
5 20
2 5 1 5
6
4 .9
+
+ +

k.
2
log 32
4

l.
49
log 15
7

m.
9
log 27

(0,5) .(0,5) 2
x x
− −
= c.
2 1 2
3 3 108
x x−
+ =
d.
1 1
2 2 2 28
+ −
+ + =
x x x

Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
a.
3.9 3 2 0
− − =
x x

b.
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =


3 9.3 6 0
x x+
− + =

j.
6 3
3. 2 0
x x
e e
− + =

k.
3
3 3 12 0
x x−
+ − =

l.
1 3
5 5 26
− −
+ =
x x

m.
1
2 2 3 0
−
+ − =
x x

   
x x

r.
(
)
(
)
2 3 2 3 14
x x
− + + =

Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
a.
4 4
log (5 2 ) log ( 3)
x x
− = +

b
2 2
log ( 1) 1 log
x x
+ = +

c.
4 2
log log (4 ) 5
x x
+ =

i.
6 1
6
log ( 4) log ( 1) 1
− − + =
x x

j.
4 4 4
log ( 3) log ( 1) 2 log 8
+ − − = −
x x
k.
2 3 4
log (log (log )) 0
=
x

l.
1 4
4
log (3 1) log (2 3 )
x x
+ = −

m.
3 3 3
log (9 1) log (2.3 1) log 2
+ − − =
x x

x x

r.
2
2 2
log 3log 10 0
− − =
x x

Bài tập 5. Giải các bất phương trình sau:
a.
2
2
2 3 2
1
7
7
x
x x− +
 
<
 
 

b.
2
3
1
2
4

3
1
9
3
x x
−
 
≥
 
 f.
2 1 1
7 2 5.7 2
x x x x
+ − −
− ≤ −

g.
2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− > −

h.
9 3 2 0
− − ≥

môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 18 DeThiThuDaiHoc.com
a.
2 2
log log (3 1)
x x

f.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −

g.
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1 0
x x
− − − − ≤

h.
1
2
2
log ( 2) log (3 ) 4
x x
+ + − ≥
i.
2
1 2
2
log ( 6 5) 2log (2 ) 0
x x x
− + + − ≥


 

m.
2 2
4 4
log ( 2 ) log ( 4)
x x x
− > +

n.
2
3 3
log 2 5log 2 4 0
x x
− + <
Hết chương II

Chương III NGUN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

1. Định nghĩa ngun hàm
Cho hàm số f(x) xác đònh trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x
∈
K.
2. Bảng ngun hàm
Hàm số sơ cấp Ngun hàm bổ sung



sin cos
xdx x C
= − +
∫

2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫

2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫


ax b dx
α
+
∫

1
1 1
. ( )
1
ax b C
a
α
α
+
= + +
+



1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫



1 1


sin
tan ln | |
os
x
xdx dx cosx C
c x
= = − +
∫ ∫

os
cot ln |sin |
sinx
c x
xdx dx x C
= = +
∫ ∫

3. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). Kí hiệu:
( )
b
f x dx

GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 19 DeThiThuDaiHoc.com
Công thức:
( ) ( )| ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

4. Các bài tốn đổi biến số
Bài tốn Ví dụ
Bài tốn 1:
[ ]
( ) . '( )
b
a
f u x u x dx
∫

Phương pháp:

- Đặt
( ) '( )

x
I e xdx
π
=
∫

Giải
Đặ
t t = sinx
⇒
dt = cosxdx
Đổ
i c
ậ
n:
1
2
0 0
x t
x t
π




= ⇒ =
= ⇒ =

1
1 1 0


-
Đổ
i c
ậ
n.
- Th
ế
vào.
Ví dụ:
Tính
1
2
0
1
I x x dx
= +
∫

Giải
Đặ
t
2 2 2
1 1 2 2
t x t x tdt xdx
= + ⇒ = + ⇒ =

tdt xdx
⇒ =


0
a
a x dx
−
∫

Phương pháp: Đặt
sin cos
x a t dx a t
= ⇒ =

Bài tốn 4:
2 2
0
1
a
dx
a x
∫
+

Phương pháp
Đặt
2
tan (1 tan )
x a t dx a t dt
= ⇒ = +

Chú ý: Các em nên tập trung vào 2 bài tốn đầu, còn 2 bài tốn sau chỉ nên tham khảo.
BÀI TẬP

0
sin
xdx
π
∫

6.
2
0
cos
3 sin
x
dx
x
π
+
∫

7.
2
3
sin
2 s
π
π
−
∫
x
dx
co x

12.
4
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x
π
−
∫

13.
2
2
1
(6 4 1)
x x dx
− +
∫

14.
2
5
1
(2 1)
x dx
−
∫

2
1
0
.
x
e xdx
−
∫

20.
ln3
0
1
x
x
e
dx
e +
∫

21.
ln5
ln 2
( 1)
1
x x
x
e e
dx
e


www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 20 DeThiThuDaiHoc.com
5.
4
0
tan
xdx
π
∫
10.
2
0
(2sin 3)cos
x xdx
π
+

a
P x e dx
∫

Phương pháp:

Đặ
t
( )
x
u P x
dv e dx



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
1
0
x
I xe dx
=
∫
.
Giải. Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
2
0
(2 1)sin
π
= +
∫
I x xdx
.
Giải. Đặt
2 1 2
sin cos
= + ⇒ =


= ⇒ = −

u x du dx
dv xdx v x

Vậy
[ ]
2
2
0

=
u P x
dv co xdx

Ví dụ: Tính tích phân
2
0
(1 ) os
π
= −
∫
I x c xdx
.
Giải. Đặt
1
cos
= − ⇒ = −


= ⇒ =

u x du dx
dv xdx v sinx

Vậy
[ ]
2
2
0
0



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
2
1
2 ln
I x xdx
=
∫
.
Giải. Đặt
2
1
ln
2
u x du dx
x
dv xdx v x

= ⇒ =



= ⇒ =


Vậy
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
www.MATHVN.com Trang 21 DeThiThuDaiHoc.com
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1.
2
0
(2 1)
x cosxdx
π
−
∫

(2 )
x
x xe dx
+
∫

6.
1
0
(2 1)
x
x e dx
+
∫

7.
1
0
2 .
x
x e dx
−
∫

8.
2
0
(5 2 )
x
x e dx


Phương pháp
- Gi
ả
i ph
ươ
ng trình y = f(x) = 0 tìm nghi
ệ
m trên
đ
o
ạ
n [a ; b].
- N
ế
u khơng có nghi
ệ
m nào
∈
[a ; b] thì áp d
ụ
ng cơng th
ứ
c:
| ( ) | ( )
b b
a a
S f x dx f x dx
= =
∫ ∫

y x x
= −
, trục Ox, hai đường
thẳng x = -1, x = 1.
Giải
Đặt y = f(x) =
2
2
x x
−
. Ta có f(x) = 0
2
2 0
x x
⇔ − =
⇔
x = 0 hoặc x = 2 (loại).
Vậ
y di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng c
ầ
n tìm là:
1 0 1
2 2 2
1 1 0
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
S x x dx x x dx x x dx

i các
đườ
ng
2
y x x
= −
; y = 0 ; x = 0 ; x = 2 ;
2.
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
3
y x x
= +
, trục hồnh và các đường thẳng

Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

GV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn
GV: Bùi Văn Sơn
 
 
∫ ∫
3
2
3 3 9
.3 0
3 2 2
 
= − − =
 
 
(đvdt) .

BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
= +
y x
, y = 5x ;
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x
y e
=
, y = 2 và đường thẳng x = 1 ;
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0 và đường thẳng x = e.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6

ể
tròn xoay sinh ra do hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng (C)
2
2
y x x
= −
, trục
Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2 2
2 2 2 3 4
0 0
( )
2 (4 4 )
π π
= − = − +
∫ ∫
V x x dx x x x dx
3 5

i h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
hàm s
ố
y =
cosx, tr
ụ
c hồnh và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
;
6 2
x x
π π
= =
quay quanh trục hồnh ;
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = 0, x =
2
π
. Tính thể
tích c
ủ
Hết chương III

Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com


3. Mơ đun của số phức
Mơ đun của z = a + bi là:
2 2
| |
z a b
= +

4. Các phép tốn cộng, trừ, nhân số phức
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có:
a = a'
z = z'
b = b'
z + z' = (a + a' ) + (b + b')i
z - z' = (a - a') + (b - b')i
z.z' = (a.a' - b.b') + (ab' + a'b)i

⇔







5. Phép chia
Cho z = a + bi, z’ = c + di
≠
0
2 2
( )( )

Cho s
ố
ph
ứ
c z = a + bi, g
ọ
i
z
= a – bi là s
ố
ph
ứ
c
liên h
ợ
p c
ủ
a z. Ta có:
2 2
2
.
+ =
= +


z z a
z z a b

8. Căn bậc hai của số thực âm và phương trình
bậc hai hệ số thực


∆
> 0
Có 2 nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=∆
= 0
Có 1 nghiệm thực
2
b
x
a
= −∆
< 0
Có 2 nghiệm phức liên hợp
1,2
| |
2
b i

4.
3
(2 1) 5 2
P i i
= − + −

Bài tập 2. Tìm mơđun của số phức z, biết:
1.
( 2 3 )( 3 2 )
z i i
= + −
2.
4 5 (6 3 )
iz i i i
+ + = +

Bài tập 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức.
1.
4 2
7 18 0
z z
+ − =
(Thi thử TN 2009) 2.
2
2 2 0
x x
− + =
(TN THPT 2009)
3.
2
Hết chương IV
z = a + bi

z
= a - bi
Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT
THPTTHPT
THPT môn Toán
môn Toán môn Toán
môn Toán
www.mathvn.com

5. Hình nón
6. Mặt cầu

CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Dạng 1. Hình chóp có một cạnh bên d vng góc với mặt đáy B
Thì thể tích
1
.
3
=
V B d
B: Diện tích đáy; d: là chiều cao.

Ví dụ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC), SA=a; tam giác
ABC vng tại B, BC = a; AC = 2a.

Giải
Ta có thể tích
1 1
. .

 
= =
 
 
a
V a a
.
Bài tập tương tự
1. (*) (TN THPT 09) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh bằng a, biết

0
120
=BAC
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. (TN THPT 08L2) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác
vng tại B, biết AB = a,
3
=
BC a
và SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
3. (TN THPT 07L1) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác
vng tại B, biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
4. (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là hình
vng cạnh bằng a và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. PHẦN HÌNH HỌC
1
.

π
=

a
a
2a
A
B
C
S
3
4
3
V R
π
=

2
4
S R
π
=

V = a.b.c

Tài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp
ốt nghiệp ốt nghiệp
ốt nghiệp THPT

a
2a
2a
2a
H
I
A
B
C
S
a
a
aI
A
B
C
S
Dạng 2. Biết hình chiếu vng góc của một đỉnh lên mặt đáy. ( hình chiếu của đỉnh S lên đáy B là H)
Thì thể tích
1
.
3
=
V B SH
B: Diện tích đáy; SH: là chiều cao.

Ví dụ. (TN THPT 08L1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.

2 2 2
2 2 3
3 3 2 3
a a
AB BI a
 
= − = − =
 
 

Trong tam giác SAH vng tại H có
( )
2
2
2 2
3 33
2
3 3
 
= − = − =
 
 
 
a a
SH SA AH a
.
Vậy
2 3
1 1 3 33 11
. . .

(
)
∩ =
SAB ABC AB
. Từ S dựng đường thẳng vng góc với AB cắt
AB tại I; nên SI vng góc với đáy (ABC) mà
∆
SAB
vng cân tại S nên I
là trung điểm của AB =>
1
2 2
= =
a
SI AB
.
Khi đó thể tích
1 1
. .
3 3
∆
= =
ABC
V B h S SI
. Mà
2
1 3
. .sin
2 4
∆