Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7)
Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1:
a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx= 0 và x + y +z= -1
Tính giá trị biểu thức M=
xy zx yz
z y x
+ +
b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn
5 5 3 3
2x y x y+ =
.
Chứng minh H =
1
1
xy

là bình phơng của một số hữu tỷ.
Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x
2010
+ x
3
+ax
2
+ x + b chia hết cho đa thức H(x)= x
2
+ x +1
b/ Tìm x, y thoả mãn
2 2
2 2
1 1

Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1:
a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0 và x + y +z = - 1
Tính giá trị biểu thức M=
xy zx yz
z y x
+ +
b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn
5 5 3 3
2x y x y+ =
.
Chứng minh H =
1
1
xy

là bình phơng của một số hữu tỷ.
Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x
2010
+ x
3
+ax
2
+ x + b chia hết cho đa thức H(x)= x
2
+ x +1
b/ Tìm x, y thoả mãn
2 2
2 2
1 1

H ớng dẫn chấm Toán lớp 8
Bài 1: (2,5 điểm) Câu a=1,5 đ ; câu b=1 đ
a/ Vì x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0


1 1 1
0
x y z
+ + =
(0,25 đ)
Nên M=
xy zx yz
z y x
+ +
= xyz
2 2 2
1 1 1
x y z

+ +
ữ

(0,25 đ)
=
( )
2
1 1 1 2
xyz x y z
x y z xyz


(0,25 đ)
vậy H =
1
1
xy

=
( )
2
2
5 5
5 5
6 6 3 3
1

4 2
x y
x y
x y xy x y
+


= =
ữ

là bình phơng của một số hữu tỷ
Bài 2: (2 điểm) mỗi câu 1 điểm
a/Ta có G(x)= x
2010
+ x

2
+ x + b+ 2 chia cho H(x)=x
2
+ x + 1 đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a
Vậy để ax
2
+ x + b chia hết cho H(x)=x
2
+ x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= 0 với mọi x
Nên 1- a= 0 và b+ 2- a= 0
1a
=
và b= -1 (0,5 đ)
b/ Ta có
2 2
2 2
1 1
4x y
x y
+ =
2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
( 2 ) ( 2 ) 0 0x y x y
x y x y + + + = + =

x
x
x
y
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
x
y

=



=




=




=




=



=



(0,5 đ)
Bài 3: (2,5 điểm) Câu a =1 đ; câu b =1,5 đ
a/ Chứng minh biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y
Ta có M=
2 2
5 2 6 18 50x y xy x y+ + +
=
2 2 2
2 6 6 9 4 12 9 32x xy x y y y y + + + + + +
(0,25 đ)
=
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 3 2 3 32x x y y y

+ + +

+ b
3
+c
3
=3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 hoặc b=0; c=0 (0,5 đ)
xét các khả năng ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x=
10
; 2
7
x =
(0,75 đ)
Bài 4: (3 điểm) mỗi câu đúng cho 1 điểm
a/vì KH//AM nên ta có
; 2 2
KE KC KC KH BK KE KH
KE KH AM
AM MC MB AM MB AM MA
= = = + = = + =
b/ Trên tia AM lấy F sao cho MA=MF ta có tứ giác ACFB là hình bình hành nên BF
=P
AC.
Nên ta có
NB BF AC
NE AE AE
= =
. Ta có BE là phân giác nên ta có
1
BC EC NB BC
BA EA NE BA
= = =

//
2
GM ID GM
IG BC
GA IA GA
= =
MÔN : TOáN 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Kì THI HọC SINH GIỏI LớP 8
Năm học: 2011 - 2012
Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang).
Bài 1:(2,0 điểm)
1. Tìm hai số tự nhiên
,a b
sao cho
128a b+ =
và ƯCLN(a,b)=16.
2. Tìm số nguyên tố
p
sao cho
10; 14p p+ +
cũng là nguyên tố.
Bài 2:(2,0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a.
2 2 2
6. 12 54z 6 +x xy y
b.
20
1x x+ +
2. Cho đa thức bậc 3 ,

=
ữ
+ + + + +

tìm
x
để
0>p
.
2. Cho
, 0 1a b v a b> + =
, chứng minh rằng
4 4
1
8
+
a b
Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ
BH AC, H AC
, gọi M,
N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH.
a. Tính diện tích của tứ giác ABHD. b. Chứng minh
CF EB
.
c. Trên tia đối của tia
DC
uuur
lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q. C/ m
ã
ã

chia hết cho
2x
,
( )f x
chia cho
2
1x
thì d
2x
.
Bài 3: (2,0 điểm)
3. Cho biểu thức
3 2 2
3 2 2
8 2 4 1 3. 2
. : .
2 8 4 2 1
x x x x x x
P
x x x x x x

+ + +
=
ữ
+ + + + +

tìm
x
để
0>p

1 1
,a b N
, ƯC
( ) { }
1 1
; 1a b =
để
1 1
16a 16a v b b= =
0.25đ
Thay vào
128a b
+ =
ta đợc
1 1
8a b+ =
0.25đ
Suy ra
1 1
1; 7a b= =
hoặc
1 1
3; 5a b= =
0.25đ
Vậy
16; 112a b= =
hoặc
48; 80a b= =

0.25đ

b.
20 20 2 2 2 2 9 6 3
1 1 ( 1) ( 1)( 1)( 1) 1x x x x x x x x x x x x x

+ + = + + + = = + + + + + +0.5đ
2.(1.0đ) vì
( ) ( 2)f x x N
nên
(2) 0 8 4a 2 0(1)f b c= + + + =
0.25đ
( )f x
chia cho
2
1x
d
2x
nên
2
( ) 2 ( 1)f x x x N
(1) 2 0 1f a b c = + + =
(2)
( 1) 2 0 1f a b c + = + =
(3)
0.25đ
Từ (1); (2) và (3) suy ra
10 10
; 1

1 3
1 0
2 4
x x x

+ + = + +
ữ

với mọi x
Đề p >0
4( 1) 0 1x x + > <
; Kết luận đúng.
1 2x v x<
0.5đ
2. (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2
2 2
b
a b a b
a
aab a b a b b
+
+ ++ +
0.5đ

;
5 5
= =BH cm AH cm

0,25đ
kẻ
DK AC,K AC
Chứng minh đợc
DK BH=
0.25đ
Tính đợc
2
ABHD ABH ADH
1 1 24 32 768
S S S AH.BH DK.AH AH.BH . (cm )
2 2 5 5 25
= + = + = = =
Kết luận đúng
0.5đ
b. (0.75đ) Chứng minh đợc
EF BC

Chỉ ra đợc F là trực tâm của
BEC

Kết luận đợc
CF BE


0.75đ

Kết luận đợc
ã
ã
QNM MNP=
0.25đ
Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
Điểm số đợc làm tròn theo quy định
(h×nh vÏ)