S
Ở GD&ĐT VĨNH PHÚC
K
Ỳ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012
-2013
Đ
Ề THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 đi
ểm
).
a) Tính tổng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2012 2013
          S
.
b) Cho các s
ố nguyên
x và y th
ỏa mãn
4 5 7. x y
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của biểu
th
ức
5| | 3| |. P x y
Câu 2 (1,5 đi
ểm
).

ABC
(
AC AB
) có các đư
ờng cao
',AA ',BB
'CC
và tr
ực
tâm
.H
G
ọi
( )O
là đư
ờng tròn tâm
O, đư
ờng kính
BC. T
ừ
A k
ẻ các tiếp tuyến
AM,
AN
t
ới đường tròn
( )O
(M, N là các ti
ếp điểm). Gọi
'M

2
' '
.
' '
 

 
 
KB HB
KC HC
Câu 5 (1,0 đi
ểm
).
Cho b
ảng ô vuông
3 3
(3 hàng và 3 c
ột). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9
vào các ô c
ủa
b
ảng (mỗi số điền v
ào m
ột ô) sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng
con có kích thư
ớc
2 2
đ
ều bằng nhau và bằng một số
T nào đó. T

- Đi
ểm to
àn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- V
ới b
ài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương
ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý N
ội dung trình bày
Đi
ểm
1
(3đ)
1
Ta có:
2 2 2 2
*
2 2 2 2
1 1 ( 1) ( 1)
,1
( 1) ( 1)
   
    
 

n n n n
n
n n n n
2

Áp d
ụng kết quả trên, ta có
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1
1 1
2 3 2 3
.........................
1 1 1 1
1 1
2012 2013 2012 2013
    
    
    
C
ộng vế với vế của 2012 đẳng thức t
rên, ta đư
ợc
1
2013 .
2013
 S
2
Nh
ận xét: Nếu có
x, y th

ậy, trong tr
ường
h
ợp này,
P nh
ỏ nhất bằng 12.
TH
2
:
0 . x y
Khi đó
5| | 3| | 5 3    P x y x y
và
5 7 4 y x
Suy ra
7 4 13 21
5 3· .
5 5
  
   
x x
P x
Do đó, P nh
ỏ nhất khi
x l
ớn nhất.
Do x nguyên âm, y nguyên dương nên
2, 3  x y
. V
ậy, trong trường

 
xy x y
xy
(3)
x, y là các số hữu tỉ, nên từ (3) suy ra
xy
là số hữu tỉ.
+ N
ếu
3 2 0,  x y
thì ta có v
ế trái của (2) là một số vô tỉ,
v
ế phải của
(2) là m
ột số hữu tỉ, điều n
ày vô lí.
+ N
ếu
3 2 0,  x y
k
ết hợp với (2) ta có:
3 2
3 2 0
1
6 3 0
4
 

  




x
y
.
Thay vào (1) ta đư
ợc
1
2
 x y
th
ỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
(1,5đ)
Đ
ặt
,2 
y z
a b
x y
(v
ới
x, y, z > 0)
3 
x
c
z
B
ất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

    






a
x y z b
c
4
(3đ)
a
O
H
B'
C'
M'
A'
A
B
C
M
N
T
ừ giả thiết ta có:



' 90  

M
ặt khác
BC là đư
ờng kính của (
O) nên BC vuông góc v
ới
MM’ t
ại
trung đi
ểm của
MM’, do đó M’ đ
ối xứng với
M qua BC
b
AMC’ và ABM có


' AMC ABM
và chung góc MAB
' ~  AMC ABM
2
'
. '   
AM AC
AM AB AC
AB AM
(3)
Dễ thấy
' ~ ' AC H AA B
'

T
ứ giác
AMA’N n
ội tiếp



' AA M ANM
(6)
Có AM, AN là ti
ếp tuyến của (
O)


 AMN ANM
(7)
T
ừ (6) v
à (7)


' AMN AA M
(8)
T
ừ (5) và (8) ta có


AMH AMN
.
D

'
    
KB KH KC KB OD
OD OH OE KC OE
(9)
Ta có:


BDO ECO
(vì cùng b
ằng

' 'BB C
) và


BOD EOC
2
2
2
~ .        
OD OB OD OC
DBO CEO OD OE OC
OC OE OE OE
(10)