Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
MỤC LỤC
Trang
A. Phần mở đầu 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Phạm vi nghiên cứu 2
3. Đối tượng nghiên cứu 2
4. Mục tiêu nghiên cứu 2
B. Phần nội dung 3
1. Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 3
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 4
3. Giải pháp thực hiện 5
4. Nội dung cụ thể 6
4.1. Những kiến thức liên quan 6
4.1.1. Nguyên hàm 6
4.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm 7
4.2. Tích phân 8
4.2.1. Định nghĩa tích phân 8
4.2.2. Tính chất của tích phân 8
4.2.3. Phương pháp tính tích phân 8
4.3. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc
phục 9
4.3.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm 9
4.3.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản 10
4.4. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 10
4.4.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 10
4.4.1.1. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 10
4.4.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 11
4.4.1.3. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 12
4.4.1.4. Sai lầm khi đổi biến số 13
4.4.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải 14

thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể.
Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó
là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của
tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần
mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên
hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong
phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương
đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những
sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 2
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp
học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên
hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói
chung. Tôi vui lòng giới thiệu đến các đồng nghiệp và những người yêu Toán
sáng kiến kinh nghiệm: “Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích
phân và cách khắc phục”.
2. Phạm vi nghiên cứu
Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm
trong quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12.
3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12A2 và 12A8 – Trường THPT Kiên Lương
4. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt
được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong
quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương
trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc
giải các bài toán Tích phân. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến

thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự;
bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và
tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình
thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào
các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa
phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn
bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em
có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù
các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng
sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 4
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải,
tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy
kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân
tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai
sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi
sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất
khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động
tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời
giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em
hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh
nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh
dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận
dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho
các em tìm kiếm lời giải.
Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó
là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở lớp 12A2 tôi nhận
nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học
sinh trung bình, yếu nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải

bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó;
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,
định lí;
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống
và khác nhau giữa chúng;
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
3.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ;
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề;
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3.3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế;
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh;
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 6
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp
tới bài giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang
cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay).
3.4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng
– phân tích – tổng hợp – đánh giá;
- Giáo viên đánh giá học sinh;
- Học sinh đánh giá học sinh.
3.5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với
từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải
khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học,
tự làm bài tập.

= +
∫
(C: hằng số)
4.1.1.3. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
( ) ( )
f ' x dx f x C= +
∫
Tính chất 2:
( ) ( )
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
(k là hằng số khác 0)
Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
4.1.1.4. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
4.1.1.5. Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp
1
x
x dx C
1
α+
α
= +

a
+ +
= +
∫
x
x
a
a dx C
lna
= +
∫
mx n
mx n
1 a
a dx C
m lna
+
+
= +
∫
cosx.dx sinx C= +
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
sinx.dx cosx C= − +
∫
1

+
∫
4.1.2. Phương pháp tính nguyên hàm
4.1.2.1. Phương pháp đổi biến số
Định lí: Nếu
( ) ( )
f t dt F t C= +
∫
và
( )
t u x=
là hàm số có đạo hàm liên
tục thì
( )
( )
( ) ( )
( )
f u x .u' x dx F u x C
= +
∫
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 8
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
4.1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số
( )
u u x=
và
( )
v v x=
có đạo hàm liên tục trên K

Tính chất 1:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
(k là hằng số)
Tính chất 2:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 
± = ±
 ∫ ∫ ∫
Tính chất 3:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
với
a c b
< <
4.2.3. Phương pháp tính tích phân
4.2.3.1. Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên

= ϕ ϕ
∫ ∫
4.2.3.2. Phương pháp tích phân từng phần
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 9
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây
Định lý: Nếu
( )
u u x=
và
( )
v v x=
là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên
[ ]
a; b
thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
b b
b
a
a a
u x .v' x .dx u x .v x u' x .v x .dx= −
∫ ∫
Hay viết gọn là
b b
b
a

hàm f(x) trên R.
( ) ( ) ( )
1 1
(1 ) .
− − − − −
− − −
   
= − = − = − + + − − +
   
= − + + = −
∫ ∫ ∫ ∫
x x x x x
x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C
x e e xe
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:
( ) ( ) ( )
1 2
1 1
− − − − −
   
= − = − = − + + − − +
   
∫ ∫ ∫ ∫
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C
−
= − +
x

 
= =
 
x
u du dx
x x
dv xdx v x
2
1 cos sinx
.cos 1 0 1
cos cos
⇒ = + = + ⇒ =
∫
x
I x dx I
x x
(Vô lý)
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 10
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Lời giải đúng:
( )
cos
sinx
tan ln cos
cosx cosx
= = = − = − +
∫ ∫ ∫
d x
I xdx dx x C

∫
với n ≠ – 1
* Lời giải đúng:
Đặt 2x + 1 = t
( )
( )
6
6
5
5
2x 1
dt dt t
dt 2dx dx 2x 1 dx t C C
2 2 12 12
+
⇒ = ⇒ = ⇒ + = = + = +
∫ ∫
4.4. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục
4.4.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải
4.4.1.1. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm
Ví dụ 4. Tính tích phân
3
0
I x 1dx
= +
∫
* Lời giải có sai lầm:
( )
3
3 3

( )
4
1
0
I 2x 1 dx
= −
∫
* Lời giải có sai lầm:
( )
( )
1
4
5
1
0
0
2x 1
2
I 2x 1 dx
5 5
−
= − = =
∫
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 12
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm
của hàm hợp, đã dùng
1
x
x dx C

−
= − = =
∫
(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt
t 2x 1= −
)
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ
bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợi
tưng ứng với
u ax b
= +
. Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy
đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
2
2
I x 4dx
−
= +
∫
b)
7
3
1
I dx
x 3
=
−
∫

I cos 4x dx
6
π
π
π
 
= −
 ÷
 
∫
4.4.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
Ví dụ 6. Tính tích phân
( )
1
2
3
dx
I
x 1
−
=
+
∫
* Lời giải có sai lầm :
( )
1
1
2
3
3

không xác định tại
[ ]
x 1 3;1
= − ∈ −
suy ra hàm
không liên tục trên
[ ]
3;1−
, nên không sử dụng được công thức Newton –
Leinbitz như cách giải trên
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 13
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo
thói quen: Khi tính
b
a
f (x)dx
∫
cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục
trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính
tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
5
4
0
dx
I
(x 4)
=

x
−
− +
=
∫
4.4.1.3. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân
Ví dụ 7. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx
−
=
∫
* Lời giải có sai lầm :
( )
1
1 1 1
2
1
x x x
0
0 0 0
0
x 1 1 e 1
I xe dx xdx. e dx . e . 1
2 2 e 2e
− − −
− −
 

- Chọn u sao cho du dễ tính
- Chọn dv sao cho dễ tính
v dv=
∫
- Áp dụng công thức
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
( )
0
1
I x ln x 2 dx
−
= +
∫
b)
( )
2
0
I 2x 1 sin xdx
π
= −
∫
c)
( )
2
2
0
I x x cos xdx
π
= −

dx = costdt
1
1 1 1
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin 2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin 2
2 2 4 2 4
+
⇒ = − = = = + = +
∫ ∫ ∫
c t t t
I t t dt c t dt dt
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận
* Lời giải đúng: Đặt x = sint
⇒
dx = cost.dt
Đổi cận:
x 0 t 0;x 1 t
2
π
= ⇒ = = ⇒ =
2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin 2
1 sin .cos . os . . ( )

* Lời giải có sai lầm: Đặt x = 2x + 1
Đổi cận:
x 0 t 1;x 1 t 3
= ⇒ = = ⇒ =
3
3
4
5
1
1
20
4 81
−
⇒ = = =
−
∫
dt t
I
t
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên
không tính vi phân dt
* Lời giải đúng: Đặt
t 2x 1 dt 2dx= + ⇒ =
; Đổi cận:
x 0 t 1;x 1 t 3
= ⇒ = = ⇒ =
3
3
4
5

1 x
=
+
∫
c)
2
5
0
I sin xdx
π
=
∫
d)
2
cos x
0
I sin x.e dx
π
=
∫
e)
( )
3
3
1
1
I . ln x dx
x
=
∫

* Lời giải có sai lầm:
( ) ( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
0 0 0
0
2x 1
I 4x 4x 1dx 2x 1 dx 2x 1 dx 2
4
−
= − + = − = − = =
∫ ∫ ∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai
( )
2
2x 1 2x 1− = −
với
[ ]
x 0; 4∈
thay vì dùng
( )
2
2x 1 2x 1− = −
với
[ ]
x 0; 4∈

 
=
 
( n ≥ 1, n
nguyên).
Khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách
cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
0
I 1 sin 2xdx
π
= −
∫
b)
3
3 2
0
I x 2x xdx= − +
∫

c)
2
2
2
1
2
1
I x 2 dx
x

Đổi cân:
1 1
x 0 t 0;x t arcsin
4 4
= ⇒ = = ⇒ =
1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
4 4 4
3
2
0 0 0
sin t sin t
I cost.dt cos t.dt sin t.dt
cos t
1 cos t
⇒ = = =
−
∫ ∫ ∫
Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm
ra được đáp số.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu
thức
2
1 x
−
thông thường ta đặt x = sint ( hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ 9,
nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi x = 1/4 ta không
tìm chính xác được t
* Lời giải khác:

1 x
−
, nếu cân của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới
tính tích phân bằng cách đặt x =sint( hoặc x = cost) còn nếu không thì ta phải
tìm phương pháp khác
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
7
3
2
0
x
I dx
1 x
=
+
∫
b)
2
2
1
dx
I
x x 1
=
+
∫
Ví dụ 12. Tính tích phân I =
∫
+

2(t 1) dt C
1 sin x (1 t) t 1
−
⇒ = = + = − +
+ + +
∫ ∫ ∫

0
0
dx 2 2 2
I
x
1 sinx tg0 1
tg 1 tg 1
2 2
π
π
− −
⇒ = = = −
π
+ +
+ +
∫

do tg
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Đạt t = tg
2

 
−
 ÷
π π −π
   
 
= = = = − = − =
 ÷  ÷
π π
+
   
   
+ − −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a)
0
dx
I
sinx
π
=
∫
b)
0
dx
I
1 cosx

hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp
trên cơ sở tôi đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 20
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đến lời
giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề
thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm
trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải.
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012 – 2013. Đựơc phân tích kỹ,
chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập, tự chọn, tăng tiết. Kết quả
bài kiểm tra 1 tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) trên các đối
tượng lớp 12A2 (42 học sinh) ; 12A8 (40 học sinh) như sau
Lớp Sĩ số
Xếp loại
Giỏi Khá Tbình Yếu
12A2 42 52,4% 9,5% 26,2% 11,9%
12A8 40 12,5% 10,0% 17,5% 60,0%
So sánh với kết quả kiểm tra của 3 lớp 12A3 (36 học sinh), 12D3 (38 học
sinh), 12D4 (40 học sinh) do tôi phụ trách trong năm học 2011 – 2012 như sau:
Lớp Sĩ số
Xếp loại
Giỏi Khá Tbình Yếu
12A3 36 13,9% 16,7% 33,3% 36,1%
12D3 38 7,9% 13,2% 15,8% 63,2%
12D4 40 12,5% 17,5% 35,0% 35,0%
Nhận thấy kết quả số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều và số học sinh đạt
điểm yếu, kém giảm đi rỏ rệt. Hy vọng các em sẽ có nhiều thành công hơn trong
các kỳ thi sắp tới.

sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường
cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh
được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh
được những sai lầm đó trong khi làm bài tập.
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có
thể không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng
nghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
Kiên Lương, ngày 10 tháng 4 năm 2013
Người viết sáng kiến
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 22
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
Hồ Tuấn Thoại
Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 23
Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kỹ năng toán 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
2. Sách giáo khoa Giải tích 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
3. Sách Bài tập Giải tích 12
(Nhà xuất bản giáo dục)
4. Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao
(Nhà xuất bản giáo dục)
5. Sách Bài tập Giải tích 12 Nâng cao
(Nhà xuất bản giáo dục)
6. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp
( Nguyễn Cam – NXB Trẻ )
7. Phương pháp giải toán Tích phân
(Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)
8. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán