Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 1

SỐ PHỨC

I. LÝ THUYẾT
1.Mỗibiểudiễndạng
 
2
, , 1
z a bi a b i
    
gọilàmộtsốphức,agọilàphầnthực,bgọi
làphầnảo.
2.Chocácsốphức
' ' '
,
z a bi z a bi
   
.Tacóđịnhnghĩa:
'
'
'
.
a a
z z
b b



.
6. Phépcộngvàtrừhaisốphức
,
a bi c di 
đượcđịnhnghĩatheoquytắccộng,trừđathức:
       
a bi c di a c b d i
      
.
7.Phépnhânhaisốphức
,
a bi c di 
đượcđịnhnghĩatheoquytắcphépnhânđathức,vớilưu
ý
2
1
i
 
.
8. Phépchiahaisốphức
a bi
c di


đượctínhbằng:
  
2
a bi c di
a bi
c di

0 
phươngtrìnhcócácnghiệmthực
1,2
2
b
x
a
  

;
 +)
0 
phươngtrìnhcócácnghiệmphức
1,2
2
b i
x
a
  
 

Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 2

II. BÀI TẬP
1. Các phép toán về số phức.
Bài 1.Tính.
a)

c)
   
2
3 4 5 7i i
 
;     d)
   
2 3 2 5 4i i i
   
;
e)
     
2 4 5 2 3 4 6
i i i i     
;   g)
   
3 2
3 1 2i i
  
.
Giải.
a)
        
3 4 3 2 4 7 3 4 7 9i i i i i
        
 
 

 
2

     


133 169 .i 

d)
      
2 3 2 5 4 4 7 5 4 8 51i i i i i i
         
.
e)
         
2 4 5 2 3 4 6 18 16 14 27 4 43i i i i i i i
            
.
g)
   
   
3 2
2 3 2
3 1 2 27 27 9 1 4 4i i i i i i i
         


   
27 27 9 1 4 4
21 30 .
i i i
i
      


;     d)
3 2
3
2
i
i
i



.
Giải.
a)
  
  
 
  
5 5 3 4 20 4 3
5 5 20 5 35 80 60 75 25
3 .
3 4 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 25 25 25
i i i
i i i i
i
i i i i i i
  
    
       
     

 
5 7 6 8
5 7 26 82 163 159
3 4 3 4 3 4
6 8 6 8 6 8 100 50 50
i i
i i
i i i i
i i i
 
  
             
  
.
d)
  
  
3 2 2
3 2 4 7 4 22
3 3 3 .
2 2 2 5 5 5
i i
i i
i i i i
i i i
  
 
      
   


1 1 7 7 7 1
(1 )(4 3 ) 7 (7 )(7 ) 7 50 50
i i
z i
i i i i i i
 
     
     
.
b)
2 2
5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39
4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25
i i i i
z i
i i i
       
    
   
.
c)
2
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13
4 (4 )(4 ) 4 1 17 17
i i i i
z i
i i i
   
    
   

 
.
Bài 6. Tínhgiátrịbiểuthức
   
2 2
1 3 1 3P i i
   
 (TN2008–lần1).
Giải.
   
2 2
2 2
1 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 2 6 4.
P i i i i i i
             

Bài 7. Tìmsốphứcliênhợpcủa:
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
    


Giải:
Tacó
3 3 53 9
5 5
(3 )(3 ) 10 10 10

4 3 4 3 11 27z z i i i
      

  
2
2 2
11 27 4 3
11 27 37 141
4 3 4 3 25
i i
z z i i
i
z
 
   
    
 

Bài 9. Tìmsốphứcsau:
 
15
1
z i
 
.

Giải.
Tacó:
     
2 14 7

  
  
 

Giải
a)Tacó
4 2
3 3 4 2 1 3
i
z i i i i i
i

        
. 
Vậy
4 2
3
i
z i
i

  
cóphầnthựclà1vàphầnảolà3.
b)Tacó
 
2
2
7 2 3 2 7 2 9 12 4 2 10z i i i i i i
          
.

cóphầnthựclà4vàphầnảolà-1.
Bài 11. Tìmphầnảocủasốphức
z
thỏamãn
   
2
2 1 2z i i
  
.
(ĐH–A2010CB).
Giải.
      
2
2 1 2 1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i i i z i
          
.
Sốphứczcóphầnảobằng
2

.
Bài 12. Chocácsốphức
1 2
1 2 , 2 3z i z i   
.Xácđịnhphầnthực,ảocủasốphức
1 2
2z z
 (TN2010–CB).
Giải.
Tacó
 

i
 


 
 

 
 (ĐH–B2011NC).
Giải.
 
 
  
   
3
3
3
1 3 1
1 3
1 1 1
1 3 3 1
2
i i
i
z
i i i
i
 
 
 

 
 
 
       
 

 
1
16 16
8
2 2
i
i
 
 

Chú ý: Nếu áp dụng dạng lượng giác của số phức thì tính toán sẽ nhanh hơn.
Bài 15
a)Chosốphức
1
1
i
z
i



tínhgiátrịcủa
2010
z

i i
         
          

Bài 16
a)Tínhtổngsau:
2 3 2009
1
i i i i
    
.
b)Cho2sốphứcz
1
,z
2
thỏamãn
1 2
1
z z
 
;
1 2
3
z z 
tính
1 2
z z
.
Giải.
a)Tacó

Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 6

Từgiảthiếttacó:
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) 3.
a b a b
a a b b

   


   



Suyra:
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2( ) 1 ( ) ( ) 1 1
a b a b a a b b z z
         
.


x
x i y i
y
y

 

  


       
 
 


 



b)
2 3 3 2
( 2) 4 3 ( 1)
4 ( 1) 3.
x x
x i y i
y y
 
   
 
      

x y i x y x i
y x x y
y

    

 

         
  
      
 

 


Bài 2.Tìmcácsốthựcx, ybiết:
a)
   
5 1 2 1 2 5x y i y y i
      
;
b)
   
3 1 2 2 2 7x x i y y i
       
;
c)
   
2 5 1 1 5x x i y y i



   


         
 
  


 



Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 7

c)
10
2  5 1 
3
2 5 (1 ) 1 ( 5)
1 5 8
3
x
x y
x x i y y i
x y

;
c)
   
 
2 2 2 2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
i x i xy y x xy y i
      
.
Giải.
a)

     
1 2 1 2 1 2 2 1 1
1
2 2 1 1
1
1
i x y i i x x y i
x
x y
x
y
           





x y
x y
x
y
 
        
 
      
  



  


 



  

 

 




c)
   


 
2 2
2 2
9
3 4 0
2
3 2 0 *
x xy y
x xy y

  




   


Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 8

2 2 2 2
9
3 4 3 2
2
x xy y x xy y
      

y







Bài 4. Tìmcácsốthựcx, ysaocho
z x yi 
thỏamãn
3
18 26z i
 
.
Giải.
Tacó:

 
   
3
3
3 2 2 3
3 2
2 3
18 26 18 26
3 3 18 26
3 18
3 26
z i x yi i

3 1 26
t t y
t y ty
t t
t
t
t y y
t y

 

 

 
    
 

 
 



.
Từđótacó
3
1.
x
y



b)
  
3 2 3 2 1 3 9 7
1 3
z
i z i i i
i
         
 
.
c)
 
  
  
5 10 3 4
5 10 25 50
3 4 5 10 1 2
3 4 3 4 3 4 25
i i
i i
i z i z i
i i i
 
  
         
  
.
Bài 2.Tìmsốphức
x


         
       
    

b)Tacó:

 
 
(3 7 ) 2 (4 )(5 2 ) 2 4 (5 2 ) (3 7 )
2 22 3 (3 7 )
2 19 10
19 10 10 19
2 2
i ix i i ix i i i
ix i i
ix i
i i
x
i
          
    
  
 
   
i
c)
   
4 3 11 27
5 3 4 3
5 3 34

8 10 15
2 3 .
1 2 1 2 1 2 5
i z i
i i
i i
z i
i i i
   
 
 
     
  

Sốphứczcóphầnthựcbằng2,phầnảobằng-3.
Bài 4. Tìmsốphứczthỏamãn
   
3
2 2 1
z z i i   
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:

          
3
2 2 1 2 2 11 1



 10

Vậy
13
9
3
z i 
.
Bài 5.Tìmsốphứczthỏamãn
   
2
3 3 2 2 .z z i i   

Kếtquả:
11 19
2 2
z i
 
.
Bài 6.Tìmsốphứczthỏamãn
   
3
3 2 2 .z z i i   

Kếtquả:
15
10
4

2
5
a b a b i i
a b
a b
a
b
      
 



   

 

 




Sốphứczcóphầnthực-2,phầnảo5.
Bài 8.Tìmsốphứczthỏamãnđiềukiện
5 3
1 0
i
z
z

  



 


  




 



 


Cácsốphứczthỏamãnđềbàilà
1 3 , 2 3z i z i
    
.
Bài 9.Tìmsốphứczthỏamãn
 
2 3 1 9z i z i   
  (ĐH–D2011CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  





   



 

 


Vậy
2z i 
.

4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Bài 1. Giảiphươngtrình
2
4 7 0
z z
  
.
Giải.
Tacó
'
3 0   
nênphươngtrìnhcóhainghiệmphức
z 2 3i
   .

  (TN2009–CB).
 g)
2
2 6 5 0
z z
  
  (TN2010–BT-THPT).
Bài 3.Giảiphươngtrình
 
4 3 2
2 – 2 1 0 1
z z z z   
.
Giải:
Doz =0khônglànghiệmcủa(1).Chiahaivếcủaphươngtrìnhcho
2
z

tađược:
2 2
2 2
2
2 1 1 1
– 2 1 0 2 1 0
1 1
2 3 0.
z z z z
z z z z
z z
z z

1
z
= -1

z=
1 3
2
i 


Vớiy = 3

= z +
1
z
= 3z=
3 5
2



Vậyphươngtrìnhđãchocó4nghiệm.
Bài 4.Giảiphươngtrình:
   
2
2 2
4  12 0
z z z z
    
.

z
z

 




    


 
    





  






 

.
Vậyphươngtrìnhđãchocó4nghiệmnhưtrên.


3
1 4 (1 )z i i   
.
Giải.
a)Tacó
(2 3 )(1 ) 4 5z i i i i     
.Dođó
2 2
5 1 26
z   
.
b)
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 ) 2 5i i z i i z z i         
.Dođó
2 2
( 2) 5 29
z    
.
c)Tacó
(2 4 ) 2 (1 3 ) 8 6z i i i i     
.Dođó
2 2
8 6 100 10
z
   
.
d)Tacó
3
(1 ) 2 2i i   

.Dođó
 
2
2
9 4 97
z    
.
Bài 5.TínhModuncủacácsốphứcsau:
a)
(1 2 ) 1 3z i i   
;  b)
3 2
1 3
z
i
i
 
 
;  c)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
  

 
.
Đápsố.
a)

3
1 2
3z
z 
.
Giải.
+)
1 2 1 2
3 5 6 3 61
z z i z z     
.
+)
1 2 1 2
2 2
7 1 5 2
2 2 2
z z z z
i
z z
 
   
.
+)
3 3
1 2 1 2
3z 49 6 3z 2437
z i z      
.
Bài 7 (A - 2009). Gọi
1 2

.
Bài 8. Chosốphứczthỏamãn
 
2
1 2 4 20
i z z i
   
.Tínhmôđuncủaz.
(CĐ–2011CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.

    
   
   
2
1 2 4 20 3 4 4 20
3 4 4 3 4 20
2 4 4 4 4 20
2 4 20
4 4 4
4
3
i z z i i a bi a bi i
a b a b i a bi i
a b a b i i

z
 thỏa nãm
 
5
2
1
z i
i
z

 

. Tính môđun của số phức
2
1
z z

  
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:

 
 
    
 
5



 



 




Tacó
2
1 2 3 13
z z i
 
      
.
Bài 10 (D - 2012). Chosốphứczthỏamãn
 
 
2 1 2
2 7 8
1
i
i z i
i

   


a b a b i i
a b
a b
a
b
 
         
 
       
       
  



  



 




Tacó
3 4 5
i
 
   
.
Bài 11 (A - 2011). Tínhmôđuncủasốphứczbiết

a
b
      
         
   
   
      
 



   





 


 



Vậy
2
3
z
 


   

         
  
.
Khiđó
 
4 4 4 4 8 8 8 2
z iz i i i i z iz            
.
Bài 13 (A - 2011). Tìmtấtcảcácsốphứczthỏamãn
2
2
z z z 
.
Giải.
Giảsử
z
a bi 
.Khiđó:
 
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
0
1 1
;


Bài 14. Tìmsốphứcz thỏamãn:       
a)
2 3 4z z i  
;     
6 21
2
3
z i
 
 
 
 
 
 
.
b)
3 4z z i  
.     
7
4
6
z i
 
  
 
 
.
Bài 15. Tìmsốphứcz thỏamãn
2

Vậycácsốphứccầntìmlà:
1 , 1i i 
.
Bài 16. Tìmsốphức
z
thỏamãn
 
2 10
z i  
và
. 25
z z

 (ĐH–B2009).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
Xéthệ:
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 16

  
 
   
   




 




2 2
4 2 20
25
a b
a b
   



 


 
3
4
5
0
a
b
a
b
 

Giảsử
 
,z a bi a b  

.
Xéthệ
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 1
1
0
a b
z
a b a b
a b
a b
a b
iz
a b

 



    


Gọisốphứccầntìmlà
z a bi 
.
Theobàiratacó:
2 2
2 2
1 2
2 ( 1) 2
( 2) ( 1) 4
2
3
2 2
1 2.
a
b
a b i
a b
b a
b a
a
b


 




  
    

u
z i
 


làmộtsốthuầnảo.
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 17

   
 
     
 
         
 
2
2
2
2
2 3
2 3
1

   
 
   
     
 
2 2
2 2
2
2
2
2
2 3 1 0
1 1 5
1 1 5
3 2 1 0 2 1
; 0;1 , 2; 3
1 0
1 0
a a b b
a b
a b
a b a b a b
a b
a b
a b


    
   


1
4
z i
z i
 

 
.
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
   
   
       
   
   
2 2 2 2
2 2
2 2
2 3 4 1
2 3
2 3
1 1
4 1
4
4 1 0
3 1


  

Tậpcácđiểmbiểudiễnsốphứczthỏamãnhệthức
2 3
1
4
z i
z i
 

 
làđườngthẳng
3 1y x 
.
Bài 3. TrongmặtphẳngtọađộOxytìmtậphợpcácsốphứczthỏamãnđiềukiện
 
3 4 2
z i
  
 (ĐH–D2009).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
     
   
   

 
1
z i i z
  
.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang


 18

(ĐH–B2010CB).
Giải.
Giảsử
 
,z a bi a b  

.
      
     
     
 
2 2 2
2
2 2
2
2
1 1 1
1
1
2 1 0

R 
.
