CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (HỌC KÌ 2 ;
12NC&CHUẨN)
I. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
vectơ đơn vò
, ,i j k
r ur ur

( )
1i j k= = =
r r ur
.
B.
( )
1 2 3 1 2 3
; ;
a
a a a a a i a j a k
=
⇔ + +
uur
uur ur ur uur
; M(x;y;z)⇔
OM xi y j zk
= + +
uur
uuuuur
ur uur
C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z

u v
y z z x x y
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
 
=
 
v v
8.
,u v
ur r
cùng phương⇔
[ , ] 0=
r r
r
u v
9.
( )
.
cos ,
.
u v
u v
u v
=
r r
r r

x x x
+ +
;y
G
=
3
A B C
y y y+ +
; z
G
=
3
A B C
z z z+ +
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
(k
≠
1)
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .

AD
uuur
≠0, V
ABCD
=
1
, .
6
AB AC AD
 
 
uuur uuur uuur
, V
ABCD
=
1
.
3
BCD
S h

(h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT PHẲNG
I. Mặt phẳng
Mặt phẳng
α
được xác đònh bởi: {M(x
0
;y
0

c/
α
//
β
⇒
n n
α β
=
uur uur
d/
α
⊥
β
⇒
n u
α β
=
uur uur
và ngược lại
e/
α
// d⇒
d
u u
α
=
uur uur
f/
α
⊥d⇒

u
∆
uur
=(a;b;c)}
i.Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2



=

; Oy:
0
0
x
z
=
=



; Oz:
0
0
x
y
=


=


b/ (AB):
AB
u AB=
r uuur
; c/ ∆

r uur
;
Góc giữa hai mp
*cos(
α
,
α
’)=cosϕ=
. '
. '
n n
n n
ur uur
r uur
;
Góc giữa đường thẳng và
mp *sin(∆,
α
)=sinψ=
.
.
n u
n u
ur r
r r
.
III. KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y

}
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,
α
)=
2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
+ + +
+ +
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)=
1
[ , ]MM u
u
uuuuur r
r
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=
0 0
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u
r uur uuuuuuuur
uur uur
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
2
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x - a)

*Điều kiện để mặt phẳng
α
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng
α
là
tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó
n
α
uur
=
IM
uuur
)
3. Nếu d(I,
α
)<R thì
α
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao
của
α
và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
2 2
- ( , )
R d I
α
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với
α
+H=∆
∩

*Bài 8: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và
2OC i j k= + +
uuur r ur ur
.
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b/ Tính chu vi và diện
tích của ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d/ Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ đỉnh A. e/ Tính các góc của
∆ABC.
*Bài 9: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1). a/ CMR: A, B, C, D là bốn
đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A.
Bài 10: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3).
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc. b/ Tính diện
tích tứ giác ABCD.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
3
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 11: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa
độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC).
Bài 12: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0).
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC). b/ Tìm trực
tâm H của ∆ABC.
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
II/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình ø tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –
1).
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. Lập pt tổng quát của

b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục: Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao
cho : OR = 2OP = 2OQ.
c/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3).
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
4
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
d/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X).
e/. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và khoảng cách từ C tới mặt
phẳng (P)
bằng
2
2
.Biết A(1;0;1); B(2;–1;0); C(1;1;1)
Bài 16 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 1
x y z
− − −
∆ = =
−
và điểm
A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
∆
sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
1
3
.
B/ Vò trí tương đối của hai mặt phẳng.
Bài 1: Xác đònh m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?






1 5
2 2
1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy,
Oz.
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0). b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng:
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
− + − =
+ − + =



.
Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1).
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b/ Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC. c/ Tính thể tích hình tứ
diện OABC.
Bài 5: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với
các trục Ox, Oy
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
5


Bài 6: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 7: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
2 5 0
2 3 0
x y z
x z
− + + =


− + =

trên mp: x + y + z – 7 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng: (d
1
):
1 0
2 0
x y
x z
+ + =



2 4 3
x y z +
= =
.
Bài 12: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
1 3 2
3 2 1
x y z
+ + −
= =
− −
;
2 1 1
2 3 5
x y z
− + −
= =
−
.
Bài 13: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt:
1 2
3 4 1
x y z
− +
= =
và cắt đt:
2 0
1 0
x y z
x



2 3 0
2 0
và mp(α) có phương trình: z + 3y – z + 4
= 0.
a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α). b/ Lập ptđt ∆ nằm trong mp(α), đi qua điểm H
và vuông góc với đt a.
Bài 5: Cho đt a:
x y z
z y z
+ − − =
− + + =



2 6 0
2 3 13 0
và mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
6
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α). b/ Gọi ϕ là góc giữa a và
mp(α) .Hãy tính sinϕ .
c/ Lập pt của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên
mp(α).
Bài 6: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 =
0.
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α)
và (β).



3
2
2
; ∆’ :
x y
x z
− + =
− − − =



5 0
2 3 2 5 0
a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó.
b/ Viết phương trình mp(α) chứa ∆ và song song với ∆’.
c/ Chứng minh ∆ và ∆’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng.
Bài 9: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng:
1
4
x t
y t
z t
= −


=




= +

và cắt hai đường thẳng:
2 1 0
4 3 0
x y z
x y z
− − + =


− + − =

;
1 2 2
1 4 3
x y z
− + −
= =
.
Bài 11: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng:
1 0
2 3 0
x y z
y z
+ + − =


+ − =




− + − =

nằm trong mpOyz.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
7
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 14: Cho 3 đt d
1
:
5 2
14 3
x t
y t
z t
=


= −


= −

; d
2
:
1 4
2
1 5

3
cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm
của chúng.
c/ Tìm góc nhọn giữa d
1
và d
2
. d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d
1

và d
2
.
Bài 15: Cho đt d:
5 2 3 5 0
4 5 15 0
x y z
x y z
− + − =


+ + + =

và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 =
0;
(R): x + y + 2z – 4 = 0 .a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R).
b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng:
1 1 1
x y z
= =

đường thẳng đó.
d
1
:
3 5 0
2 1 0
x y
y z
+ − =


− − =

; d
2
:
2 0
2 0
x y z
x z
− − =


+ =

.
Bài 18: Cho đt d:
2 4 3 0
2 3 2 3 0
x y z

0.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
8
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
Bài 7: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−
;
2 2 1
4 2 4
x y z+ + +
= =
− −
Bài 8: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: (P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x +
2y - 2z + 3 = 0
D/GĨC
Bài 1: Tìm góc tạo bởi đường thẳng:
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
= =
với các trục tọa độ.
Bài 2: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau:
1 2 2
3 1 4
x y z
− + +

x y z
x
+ − + =


+ =

. E/ HÌNH CHIẾU.
Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +
12 = 0.
Bài 2: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0.
Bài 3: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt
∆
:
1 1
2 1 2
x y z
− +
= =
−
.
Bài 4: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0.
a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P). b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên
mp(P).
c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P).
Bài 5: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng:d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =

+ y
2
+ z
2
+4x + 8y – 2z – 4 = 0
c/ 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết:
a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1). b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và
B(–4; 0; 7).
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
9
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0. d/ Có tâm I(6; 3; –4) và
tiếp xúc với Oy.
e/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mpOxy.
g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1).D(0;0;1)
h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d:
1 2


= −


=

và d’:
2
1 2
x
y h
z h
=


= +


=

. Lập p.trình mặt cầu nhận đoạn vuông
góc chung của d và d’ làm đường kính.
B/ Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mp(P):
a/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2

a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P). b/ CMR: mp(P) cắt
mặt cầu (S).
c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P). Tìm tâm và bán kính của
đường tròn đó.
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a/
2 2 2
6 2 2 10 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z

+ + − + − + =

+ − + =

b/
2 2 2
12 4 6 24 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z

+ + − + − + =

+ + + =

Bài 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu: x
2
+ y



− + − =

.
GV Biên Soạn Hoa Hồng Tun
10
CHUN ĐỀ KHƠNG GIAN OXYZ
C/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:(S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x + 4z + 1 = 0 ; d:
1 2
2 1 1
x y z
− −
= =
−
Bài 2: Cho mc(S): (x+2)
2
+ (y–1)
2
+ (z +5)
2
= 49 và d:
5 3



=− −


=− +

a/ Tìm giao điểm A, B của d và mc(S). Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường
thẳng d.
b/ Tìm p.trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A và B.
M Ộ T S Ố DẠNG TỐN THI TNTHPT VÀ ĐẠI HỌC
Bài 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):
( ) ( ) ( )
36221
222
=−+−+−
zyx
và (P): x + 2y + 2z +18 = 0.
1. Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt
phẳng (P).
2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa
độ giao điểm của
d và (P). (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d có PT :
1 1
2 2 1
x y z+ −
= =
−
1)Tính khoảng cách từ điểm O đến đường d

2012 NC)
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( 1;2;1)M −
và mặt phẳng
( )P
có
phương trình
2 2 3 0x y z+ + − =

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng
d
đi qua
M
và vuông góc với
( )P

2) Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với
( )P
(TN chuẩn 2013)
Bài 7:Trong kg với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
( 1;1;0)A −
và đường thẳng
d
có phương trình


1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P
(TNTHPT -
2014)
2) Tìm điểm M thuộc
( )P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
( )P

Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp
( )
P : 2x y 2z 1 0
+ − − =
và đường thẳng
x 2 y z 3
d :
1 2 3
− +
= =
−
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và
vuông góc với (P). (KA- 2014)
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng d:
1 1