BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KÌ II
PHẦN A. GIẢI TÍCH
I.Giới hạn.
Bài tập 1. Tính các giới hạn sau
a)
3
3 2
2 3 4
lim
3 1
x
x x
x x
→+∞
+ −
− − +
b)
2
3
(3 1)(5 3)
lim
(2 1)( 1)
x
x x
x x
→+∞
+ +
− +
c)
2 2
1 4 1

d)
2
lim (2 3 4 3)
x
x x x
→±∞
− − − −
Bài tập 3. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
2
4 7 2
lim
3 2
x
x x
x x
→
− −
− +
b)
3
2
3
27
lim
3 18
x
x

2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −
b)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
c)
3
0
1 4 . 1 6 1
lim
8 1 1
x
x x
x
→

c x
x
→
−
+ −
c)
3
0
1. 2 1 1
lim
sinx
x
x x
→
+ + −
d)
3
2
0
2 1 1
lim
sinx
x
x x
→
+ − +
II. Hàm số liên tục.
Bài tập 1.Cho hàm số
+


−


+ ≤

2
5 6
3
( )
3
2 1 3
x x
khi x
f x
x
x khi x
Bài tập 3.Cho hàm số

+ −


−
=


+ ≤


3
3 2 2

x x
x
f x
x
x
trên
¡
Bài tập 5.
a)Chứng minh rằng phương trình
+ − + + =
4 3 2
3 1 0x x x x
có nghiệm thuộc
−( 1;1)
.
b)Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt. 6x
3
– 3x
2
- 6x + 2 = 0
c)Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x
3
- 10x = 7
d)Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
+ + =
3
1000 0,1 0x x
e)Chứng minh rằng phương trình :
− − − =
2 5

x x
y
x
5.
− +
=
+
2
2 3
2 1
x x
y
x
6.
+
=
−
sin cos
sin cos
x x
y
x x
7.
 
+
=
 ÷
−
 
4

' 0y ≥
với mọi
x
∈
¡
b)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
2 2
1 2 1 2
1x x x x+ − =
b)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
8x x− ≥
Bài tập 3.Cho hàm số
2
2y x x= −
a) Tính
'( )y x
,
''( )y x
,

( )C
biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
5 2013y x= − +
d)Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
đi qua điểm
(2;2)A
e)Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
biết rằng tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần
lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
2
5
g) Tìm trên trục hoành điểm P để từ P kẻ đến
( )C
được hai tiếp tuyến.
Bài tập 5.Cho parabol
2
( ): 2 1P y x mx m= − + −
. Tìm m để
a) Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (P) tại hai
điểm đó vuông góc với nhau
b) Parabol cắt đường thẳng
2y x m= − −
tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến
của (P) tại hai điểm đó vuông góc với nhau
Bài tập 6. Tìm đạo hàm cấp n (
*
n ∈¥

( ABC ) .
2. Chứng minh rằng : BC
⊥
( AOI ) .
3 . Tính góc giữa AB và mp ( AOI ) .
4 . Tính góc giữa đường thẳng AI và OB .
Bài tập 2. Hình chóp S.ABC. ∆ABC vuông tại A, góc
µ
=
0
60B
,
AB a=
, hai mặt bên (SAB)
và (SBC) vuông góc với đáy;
SB a
=
. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC).
1. CMR: SB ⊥ (ABC) 2. CMR: (BHK) ⊥ SC.
3. CMR: ∆BHK vuông 4. Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK)
Bài tập 3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
⊥ ( )SA ABCD
và
SA = 2a.
1. Chứng minh
⊥( ) ( )SAC SBD
;
⊥( ) ( )SCD SAD
2. Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC);
3. Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))

a. Chứng minh mp(SIC) ⊥ mp(SED);
b. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SED);
c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SED);
d. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SED);
Bài tập 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, AC cắt BD tại O.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BĐ’B’)
b. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(BDD’B’) .
c. G là trọng tâm ∆ABA’. Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(BDD’B’).
d. I là trung điểm của GB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(BDD’B’).
e. K là trọng tâm ∆BMD. Tính khoảng cách từ K đến mp(BDD’B’). Suy ra khoảng
cách từ điểm J đến mp(BDD’B’) với J là trung điểm của KO.
Bài tập 9.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mp(ABCD), SA = a
3
. E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường
thẳng chéo nhau
a. AC và SD b. AC và SE