Chương 4:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
1.Định nghĩa:
Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng
F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)
•
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1
là hàm y=φ(x,c)
Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và
y’(x) là đạo hàm của nó
•
Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi
cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là
nghiệm riêng.
•
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưng
nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát
cho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm
kỳ dị
2
1' yy
−=
2
1' y
dx
dy
y −==
VD: Xét phương trình vi phân cấp 1
Ta có:
)1:(
1

)sin( cxy
+=⇒
x
y
y
=
'
x
y
dx
dy
y =='
0:
≠=⇒
yĐK
x
dx
y
dy
0,lnlnln
≠+=⇒=⇒
∫ ∫
ccxy
x
dx
y
dy
0,.
≠=⇒
cxcy

0=+ ydyxdx
c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về
dạng tách biến
∗
Phương trình dạng: y’=f(y)
dx
yf
dy
=
)(
•
Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b là
nghiệm riêng của phương trình.
•
Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng
tách biến:
y
y
y
2
1
'
−−
=
2
1
)
2
1
(

Ta có:
2
1
)
2
1
(
=
y
xy
=−
2
1
1±=y
Từ điều kiện đầu
Vậy nghiệm của bài toán là
Trường hợp: không thỏa điều kiện đầu
cxy
+=−⇒
2
1
ta giải được c = 0
nên ta loại nghiệm này
0)(.)()(.)(
2211
=+
dyygxfdxygxf
0)(.)(
21
≠

xf
0)(
1
=
yg
•
Nếu
riêng của phương trình.
tại x=a thì x=a là 1 nghiệm
•
Nếu
tại y=b thì y=b là 1 nghiệm
0)1()1(
22
=+++ dyxydxyx
0)1).(1(
22
≠++ yx
VD1: Tìm nghiệm của phương trình
Vì
)1).(1(
22
yx ++
0
11
22
=
+
+
+

22
*222
)1).(1( ceyx
c
==++⇒
dxydyxy )1(
2
+−=
0)1.(
≠+
yx
)1.(
+
yx
0
1
1
2
=+
+
dx
x
dy
y
y
cxyy
y
=+++−⇒ ln1ln
2
2

Ta thấy và
nên đều là nghiệm của phương trình này.
Đặt
Thay vì tìm hàm y(x) ta tìm hàm z(x).
Thay vào phương trình đầu ta được:
thỏa phương trình (*)
∗
Phương trình dạng
(với z=z(x))
Ta có:
yxy
+=
2'
2''2
−=⇒+=
zyyxz
zz
=−
2'
VD: Tìm nghiệm của phương trình
Đặt
Thay y’ vào phương trình đầu ta đươc:
02
≠+
z
dx
z
dz
=
+

y
fy =
''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
3.2 Phương trình đẳng cấp:
b)Cách giải:
a) Dạng:
Đặt
uufxu
−=
)('
Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:
1'
++=
x
y
ey
xy
''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
1'1'
+=⇒++=+
uu
exuuexuu
VD1: Tìm nghiệm của phương trình:
Đặt

dx
e
du
u
1
0)2(
=−+
xdydxyx
)0:(21 ≠+=⇒ xĐK
x
y
dx
dy
''. xuuyxuy
x
y
u +=⇒=⇒=
VD2: Tìm nghiệm của phương trình
Đặt
uxuu 21'
+=+
)01:(
1
≠+=
+
⇒
uĐK
x
dx
u

xQ
)()(' xQyxPy
=+
3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1
•
Nếu thì phương trình
thì phương trình
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất.
a. Dạng:
(*)
được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
•
Nếu
]).([
)()(
∫
+=
∫∫
−
cdxexQey
dxxPdxxP
xxxyy cossincos'
=+
b. Cách giải:
VD1: Tìm nghiệm của phương trình
]).([
)()(
∫
+=

∫∫
−
cdxexxey
xdxxdx