Căn thức và biến đổi căn thức
1. CĂN THỨC VÀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC

1.1 ĐIỀU KIỆN CĂN THỨC CÓ NGHĨA
1.1.1 Phương pháp giải
A
có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi
0A
≥
Các trường hợp cụ thể:
- Nếu biểu thức có dạng
A
thì áp dụng điều kiện có nghĩa của
A
Ví dụ:
1x −
có nghĩa khi và chỉ khi
1 0 1x x
− ≥ ⇔ ≥
- Nếu biểu thức có dạng
A B±
thì ta cho cả hai cùng xác định, tức là
0
0
A
B
≥


≥


≠
).
Ví dụ:
2 1
1
x
x
+
−
xác định khi và chỉ khi
1 0 1x x
− > ⇔ >
- Nếu biểu thức có dạng
A
B
thì điều kiện xác định của biểu thức là
0
0
A
B
≥


>

.
Ví dụ:
1
2
x

≥


≥

hoặc
0
0
A
B
≤


≤

Ví dụ:
( 1).( 2)x x
− −
xác định khi và chỉ khi
1 0
2 0
x
x
− ≥


− ≥

hoặc
1 0


2x
⇔ ≥
hoặc
1x
⇔ ≤
- Nếu biểu thức có dạng
A
B
thì điều kiện xác định của biểu thức là cả
A
và
B
cùng dấu,
tức là
0
0
A
B
≥


>

hoặc
0
0
A
B
≤



1
2
x
x
≥

⇔

>

hoặc
1
2
x
x
≤

⇔

<


2x
⇔ >
hoặc
1x
⇔ ≤
- Dạng tổng hợp các phương pháp trên.

x
−
+
Bài 17.
2
5 6x x
− +
Bài 4.
2 1x −
Bài 11.
3
7
x
x
+
−
Bài 18.
2
2 5 3x x
− +
Bài 5.
2
2013x
+
Bài 12.
2
1x
+
Bài 19.
2

1.2 BIẾN ĐỔI, ĐƠN GIẢN CĂN THỨC
1.2.1 Các công thức biến đổi công thức
2
, 0
, 0
A khi A
A A
A khi A
≥

= =

− <

. .A B A B
=
A A
B
B
=
2 2
A B A B A B= =
( )
2
.A A A A
= =
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 3
Căn thức và biến đổi căn thức
Chú ý: Khi thực hiện biến đổi, đơn giản biểu thức cần chú ý đến việc đưa biểu thức trong căn
về dạng hằng đẳng thức bậc hai. Chẳng hạn,

2 16 6 9 36− +
k)
( )
28 2 14 7 . 7 7 8− + +
f)
8 2 18 50− +
Bài 2. Thực hiện phép tính
a)
2 3 6 216 1
.
3
8 2 6
 
−
−
 ÷
−
 
b)
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5
 
− −
+
 ÷
− − −
 
c)
5 2 6 8 2 15

2 2
5 3 2 5− + −
d)
( )
2 3. 6 2− +
b)
3 2 2 6 4 2+ + −
e)
3 5 2 3 . 3 5 2 3+ + − +
c)
7 2 6 7 2 6+ − −
f)
2 2 3 18 8 2+ + −
Bài 5. Chứng minh rằng:
4 3 16
5
5 1 5 2 5 3
+ + = −
− − −
Bài 6. Chứng minh rằng
2 3 3 5 1
.
2
6 1 6 2 6 3 9 6 4
 
+ + =
 ÷
− − − +
 
Bài 7. Đơn giản biểu thức:

- Tìm các nhân tử để thu gọn, đơn giản được.
- Tìm các lượng liên hiệp (nếu có).
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
1 1
1 1
x x x x
P
x x
  
+ −
= + +
 ÷ ÷
+ −
  
, với
0 1x
≤ ≠
.
Giải:
1 1
1 1
x x x x
P
x x
  
+ −
= + +
 ÷ ÷
+ −
  

0b >
và
a b≠
b)
1 1
1 1
a a a a
a a
  
+ −
+ −
 ÷ ÷
+ −
  
, với
0a
>
,
1a
≠
c)
8 2 4
4
a a a a
a
− + −
−
, với
0a
≥

− −
, với
1x
≥
,
3x
≠
.
a) Rút gọn
P
.
b) Tính giá trị của
P
khi
( )
4 2 3x = −
.
Bài 3. Rút gọn biểu thức
6 1 3
.
9
3
x x
P
x
x x
−
 
= +
 ÷

x x
Q
x x x
 
−
= +
 ÷
+ − +
 
, với
0x
≥
,
16x
≠
.
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 7
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

2.1 ĐỊNH NGHĨA
Hệ phương trình dạng
ax by c
a x b y c
+ =


′ ′ ′
+ =


Giải:
2
2 3 1
x y
x y
− =


+ = −


( )
2
2 2 3 1
x y
y y
= +


⇔

+ + = −



2
5 5
x y
y
= +

- Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một
ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
- Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một
ẩn.
- Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ: giải hệ phương trình
2
2 3 1
x y
x y
− =


+ = −

Giải:
2
2 3 1
x y
x y
− =


+ = −


3 3 6
2 3 1
x y
x y

1; 1−
(hoặc
1x
=
,
1y = −
).
2.2.3 Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Đôi khi việc giải hệ phương trình bằng cách trực tiếp gặp khó khăn nên ta phải dùng ẩn phụ để
đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình cơ bản với ẩn mới. Thông thường khi gặp hệ
có dạng ẩn ở mẫu, có lượng nhân tử giống nhau ta dùng ẩn phụ để giải. Việc giải hệ phương
trình bằng cách đặt ẩn phụ ta làm theo các bước sau:
- Đặt điều kiện để hệ có nghĩa.
- Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
- Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt.
- Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1 1
2
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y

+ =

− −


=

−



=
−


Hệ phương trình đã cho trở thành:
2
2 3 1
X Y
X Y
+ =


− =


( )
2
2 2 3 1
X Y
Y Y
= −


⇔



Khi đó,
1 7
2 5
1 3
1 5
x
y

=

−



=
−



5
2
7
5
1
3
x
y


;
7 3
 
 ÷
 
.
2.2.4 Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
4 5 3
3 5
x y
x y
+ =


− =

d)
3 7
2 3
x y
x y
− =


+ =

b)
7 2 1

2 3
x y
x y

− = −


+ =


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a)
2 11 7
10 11 31
x y
x y
− = −


+ =

d)
10 9 8
15 21 0,5
x y
x y
− =


+ =


f)
2 2 3 5
9
3 2 3
2
x y
x y

+ =


− =


Bài 3. Giải các hệ phương trình sau
a)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 5 2 7 1
4 1 3 6 6 1 2 3
x y x y
x y x y
 − + = + −


+ − = − +


b)

2
2
4 5 1 2 3
3 7 2 5 2 1 3
x y x
x y x

− + = −


+ = − −


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau
a)
1 1 4
5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




− =



− = −

+ −

d)
4 5
2
2 3 3
3 5
21
3 2 3
x y x y
x y x y

+ = −

− +



− =

+ −

Bài 5. Xác định
m
và
n
để hệ phương trình sau có nghiệm
( )

,a b
để
( )
2 6f =
và
( )
1 0f
− =
.
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 12
Phương trình bậc hai một ẩn
3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

3.1 ĐỊNH NGHĨA
Phương trình bậc hai một ẩn là biểu thức có dạng
2
0ax bx c
+ + =
, trong đó
, ,a b c ∈¡
,
0a
≠
.
3.2 CÔNG THỨC NGHIỆM
3.2.1 Công thức nghiệm đầy đủ
Để giải phương trình bậc hai ta làm như sau:
- Xác định các hệ số
, ,a b c
.

2
b
x x
a
−
= =
.
* Nếu
0
∆ <
thì phương trình vô nghiệm.
3.2.2 Công thức nghiệm thu gọn
Để giải phương trình bậc hai ta làm như sau:
- Xác định các hệ số
, , , : 2a b c b b
′
=
.
- Tính giá trị của biệt thức
2
b ac
′ ′
∆ = −
.
- Kết luận nghiệm của phương trình:
* Nếu
0
′
∆ >
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

0
′
∆ <
thì phương trình vô nghiệm.
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 13
Phương trình bậc hai một ẩn
3.2.3 Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải các phương trình bậc hai sau bằng công thức nghiệm đầy đủ
a)
2
2 5 1 0x x
− + =
d)
2
3 2 8 0x x
− + + =
b)
2
4 4 1 0x x
+ + =
e)
2
2 2 2 1 0x x− + =
c)
2
5 2 0x x− + =
f)
( )
2
2 1 2 2 2 0x x

- Biện luận bài toán:
+ Nếu hệ số
a
có chứa tham số
m
thì ta xét các trường hợp sau:
* TH1:
0a
=
ta tìm giá trị của tham số
m
rồi thế vào phương trình đã cho để được một
phương trình mới (thường là phương trình bậc nhất một ẩn), giải phương trình mới này
tìm nghiệm.
* TH2:
0a
≠
. Ta đi tính biệt thức
2
4b ac∆ = −
.
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
0
∆ <
.
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi
0
∆ =
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

=
vào phương trình đã cho ta được:
4 3 0x
− + =

3
4
x⇔ =
* TH2:
0 1 0 1a m m
≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
Ta có:
2
4b ac∆ = −

( ) ( ) ( )
2
2 3 4. 1 2m m m=  −  − − +
 

( ) ( ) ( )
2
2 6 4 4 2m m m= − − − +

( )
2 2
4 24 36 4 8 4 8m m m m m
= − + − + − −

2 2

3
4
x
=
.
•
1m
≠
11
7
m
>
, phương trình đã cho vô nghiệm.
11
7
m
=
, phương trình đã cho có nghiệm kép.
11
7
m
<
, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
3.3.2 Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho phương trình
2
3 7 0x x m
+ + =
. Xác định
m

để phương trình có nghiệm kép. Hãy tìm nghiệm kép đó.
Bài 5. Cho phương trình
( ) ( )
2
1 2 3 2 0m x m x m− − − + − =
a) Giải phương trình khi
2m
=
.
b) Xác định
m
để phương trình có một nghiệm bằng -1 và tìm nghiệm còn lại.
c) Xác định
m
để phương trình vô nghiệm.
Bài 6. Cho phương trình
2
7 5 6 0x x m
− + + =
a) Giải phương trình khi
0m
=
.
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 16
Phương trình bậc hai một ẩn
b) Xác định
m
để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tìm nghiệm còn lại.
c) Xác định
m

=
.
b) Xác định
m
để phương trình đã cho có nghiệm kép. Hãy tìm nghiệm kép đó.
Bài 10. Cho phương trình
( ) ( )
2
2 2 1 3 0m x m x m
− − − + − =
a) Giải phương trình khi
3m
=
.
b) Xác định
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Bài 11. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm
a)
( )
2
2 1 3 0x m x m
− − − − =
b)
( )
2
1 0x m x m
+ + + =
c)
( )

thì khi đó
1 2
b
S x x
a
= + = −
1 2
c
P x x
a
= =
3.4.2 Các hệ quả
Hệ quả 1. Nếu phương trình bậc hai
2
0ax bx c
+ + =
(
0a
≠
) có
0a b c
+ + =
thì phương trình
có một nghiệm
1x
=
, nghiệm còn lại
c
x
a

=
(với điều kiện
2
4 0S P− ≥
) thì hai số
,u v
là
nghiệm của phương trình bậc hai
2
0x Sx P
− + =
.
Một số lưu ý khi làm bài tập liên quan đến định lý Viet:
- Xác định các hệ số rõ ràng.
- Tính biệt thức
∆
.
- Xác định điều kiện để phương trình có nghiệm, tức là
0
∆ ≥
(có nghiệm tức là có thể có
nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt)
- Tìm tổng và tích hai nghiệm thông qua các hệ số của phương trình.
- Cần đưa các hệ thức chứa
1 2
,x x
về dạng có chứa tổng và tích hai nghiệm đó.
Chẳng hạn,
( )
2



>


>

3.4.4 Bài tập áp dụng
Bài 1. Dùng định lý Viet nhẩm nghiệm các phương trình sau
a)
2
5 6 0x x
− + =
c)
2
7 10 0x x
− + =
b)
2
4 3 0x x− + =
d)
2
6 7 0x x− − =
Bài 2. Tìm hai số biết
a)
27S u v
= + =
và
. 182P u v
= =

Bài 4. Cho phương trình
2
3 0x mx m− + − =
.
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Khi phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
, tìm giá trị của
m
sao cho
1 2 1 2
2x x x x+ =
.
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 19
Phương trình bậc hai một ẩn
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2 2
1 2 1 2
2B x x x x= + −
.
Bài 5. Cho phương trình
( )
2 2
2 1 3 0x m x m
− + + + =

2 2
1 2
4x x+ =
.
Bài 7. Cho phương trình
( )
2 2
4 1 3 2 0x m x m m
− − + − =
. Tìm
m
để phương trình đã cho có hai
nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
2 2
1 2
7x x+ =
.
Bài 8. Cho phương trình
( ) ( )
2
1 2 1 3 0m x m x m+ − + + − =
. Xác định
m
để phương trình đã
cho có hai nghiệm
1 2
,x x

1 2
,x x
sao cho
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
.
Bài 11. Cho phương trình
2
2 3 2 0x mx m+ − − =
. Xác định
m
để phương trình đã cho có hai
nghiệm
1 2
,x x
sao cho
1 2
2 3 1x x
− =
.
Bài 12. Cho phương trình
2 2
4 4 0x mx m m− + − =
. Xác định
m
để phương trình đã cho có hai
nghiệm
1 2
,x x

.
Bài 16. Cho phương trình
2
2 (2 1) 1 0x m x m+ − + − =
. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của
phương trình không phục thuộc vào tham số
m
.
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 21
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1. Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h
thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng
đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi
được 1/3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm
vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự
định 24 phút.
Bài 3. Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B
trở về A. Thời gian xuối dòng ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa
hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêngcủa canô lúc xuôi và
lúc ngược bằng nhau.
Bài 4. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng
nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là 6
km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược.
Bài 5. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất
làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai thì cả hai người chỉ làm được 3/4
công việc. Hỏi một người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 6. Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được 4/5 hồ. Nếu vòi A chảy trong 3

. Tính hai
cạnh góc vuông.
Bài 13. Tìm một số tự nhiện có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số
hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 14. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng só đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu
số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.
Bài 15. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số
bằng 1/4. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24. Tìm phân số đó.
Bài 16. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1
vào cả tử và mẫu, phân số tăng 3/2. Tìm phân số đó.
Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 23
Hàm số
5. HÀM SỐ

5.1 HÀM SỐ BẬC NHẤT
5.1.1 Định nghĩa
Hàn số bậc nhất là hàm số có dạng
y ax b= +
, trong đó
,a b
là những số thực và
0a
≠
.
Ví dụ: các hàm số
2y x=
,
2 3y x= − +
là các hàm số bậc nhất.
5.1.2 Sự đồng biến, nghịch biến

0a
>
, hàm số đồng biến với mọi
0x
>
, nghịch biến với mọi
0x
<
.
- Khi
0a
<
, hàm số đồng biến với mọi
0x
<
, nghịch biến với mọi
0x
>
.
5.2.3 Đồ thị
Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường parabol đi qua gốc tọa độ.
5.3 BÀI TẬP
Bài 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
2 3y x= − +
c)
2
1
2
y x

1; 1B −
,
( )
2;2C
, điểm nào thuộc đồ
thị hàm số?
Bài 5. Cho hàm số
2
2 1y x x
= − + +
. Trong các điểm
( )
1;1A
,
1
;0
2
B
 
−
 ÷
 
,
( )
1;1C −
, điểm nào
thuộc đồ thị hàm số?
Bài 6. Cho hàm số
( )
3 4 5 6y m x m= − + −

và
4 6y x
= − −
bằng đồ thị.
Bài 10. Xác định
a
,
b
để đồ thị hàm số
y ax b
= +
đi qua hai điểm
( )
1; 1A −
và
( )
2;1B
.
Bài 11. Xác định hàm số
y ax b= +
biết rằng đồ thị hàm số của nó đi qua
( )
1; 1M −
và
( )
2; 4N −
.
Bài 12. Xác định hàm số
y ax b= +
biết rằng đồ thị hàm số của nó có hệ số góc bằng -2 và đi