Câu 1: (2,0 điểm)
1. Cho số x
( )
0; >∈ xRx
thoả mãn điều kiện: x
2
+
2
1
x
= 7
Tính giá trị các biểu thức: A = x
3
+
3
1
x
và B = x
5
+
5
1
x
2. Giải hệ phương trình:
1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x

− +
=
− +

Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2−x
+
2009
+
y
+
2010−z
=
)(
2
1
zyx
++
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p
2
+1 và 6p
2
+1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
1. Cho hình vuông
ABCD
có hai đường chéo cắt nhau tại
E
. Một đường

<≤−
DE
.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức
bdacdcbaP +++++=
2222
,trong đó
1
=−
bcad
.
Chứng minh rằng:
3≥P
.
Hết
SỞ GD VÀ ĐT
THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Đáp án chính thức
Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
(Đáp án này gồm 04 trang)
Câu ý Nội dung Điểm
1
1
Từ giả thiết suy ra: (x +
x

x
=18
⇒ 7.18 = (x
2
+
2
1
x
)(x
3
+
3
1
x
) = (x
5
+
5
1
x
) + (x +
x
1
)
⇒ B = x
5
+
5
1
x

0.5
0.5
2
Theo Viét, ta có:
1 2
b
x x
a
+ = −
,
1 2
.
c
x x
a
=
.
Khi đó
2 2
2
2 3
2
a ab b
Q
a ab ac
− +
=
− +
=
2

x x x≤
và
2
2
4x ≤
⇒

2 2
1 2 1 2
4x x x x+ ≤ +

( )
2
1 2 1 2
3 4x x x x⇒ + ≤ +
Do đó
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3( ) 3 4
3
2 ( )
x x x x
Q
x x x x
+ + + +
≤ =
+ + +
0.25
0.25
0.25


− =







= − =

=




⇔
= −



 


− =
=





2
+ (
2010−z
- 1)
2
= 0

2−x
- 1 = 0 x = 3

2009+y
- 1 = 0 ⇔ y = - 2008

2010−z
- 1 = 0 z = 2011
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Nhận xét: p là số nguyên tố ⇒ 4p
2
+ 1 > 5 và 6p
2
+ 1 > 5
Đặt x = 4p
2
+ 1 = 5p
2
- (p - 1)(p + 1)

∆
IBE =
∆
MCE (c.g.c).
Suy ra EI = EM ,
BEIMEC ∠=∠
⇒
∆
MEI vuông cân tại E
Suy ra
BCEEMI ∠==∠
0
45
Mặt khác:
AN
MN
CB
CM
AB
IB
==
⇒
IM // BN

BKEEMIBCE ∠=∠=∠

⇒
tứ giác BECK nội tiếp
0
180=∠+∠ BKCBEC

+ AE
2
= DE
2

⇔ (1-x)
2
+ (1-y)
2
= (x+y)
2
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
D
C
N
A
BI
K
M
E

( ) ( ) ( )( )
2222222222
dcbacdbdca ++=+++=
Vì
1=− bcad
nên
( )( )
)1()(1
2222
2
dcbabdac ++=++
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
( ) ( )
2222
; dcba ++

có:
( )( )
bdacdcbabdacdcbaP ++++≥+++++=
22222222
2
( )
bdacbdacP ++++≥⇒
2
12
(theo (1))
Rõ ràng
0>P
vì:
( )